Tek taraflı temas - Unilateral contact

Olarak temas mekanik terimi tek taraflı kontaklama olarak da adlandırılan, tek taraflı bir kısıtlama , mekanik belirtmektedir kısıtlaması iki sert / yumuşak organlar arasında nüfuz etmesini önler. Bu tür kısıtlamalar, tanecikli akışlar, bacaklı robot , araç dinamiği , parçacık sönümleme , kusurlu eklemler veya roket inişleri gibi düzgün olmayan çok gövdeli dinamik uygulamalarda her yerde mevcuttur . Bu uygulamalarda, tek taraflı kısıtlamalar, etkilerin meydana gelmesine neden olur ve bu nedenle, bu tür kısıtlamalarla başa çıkmak için uygun yöntemler gerektirir.

Tek taraflı kısıtlamaların modellenmesi

Tek taraflı kısıtlamaları modellemek için temel olarak iki tür yöntem vardır. İlk tür, Hertz modellerini, ceza yöntemlerini ve bazı düzenlileştirme kuvveti modellerini kullanan yöntemler de dahil olmak üzere düzgün temas dinamiğine dayanırken, ikinci tür, değişken eşitsizlikler olarak tek taraflı temaslarla sistemi modelleyen pürüzsüz olmayan temas dinamiklerine dayanır .

Pürüzsüz temas dinamikleri

Hertz kontak modeli

Bu yöntemde, tek taraflı kısıtlamalar tarafından üretilen normal kuvvetler, cisimlerin yerel malzeme özelliklerine göre modellenir. Özellikle, temas kuvveti modelleri sürekli ortam mekaniğinden türetilir ve boşluk ve cisimlerin çarpma hızının fonksiyonları olarak ifade edilir. Örnek olarak, sağdaki şekilde klasik Hertz temas modelinin bir çizimi gösterilmektedir. Bu modelde, temas cisimlerin lokal deformasyonu ile açıklanır. Daha fazla kontak modeli, bazı bilimsel incelemelerde veya kontak mekaniğine ayrılmış makalelerde bulunabilir .

Düzgün olmayan temas dinamikleri

Düzgün olmayan yöntemde, cisimler arasındaki tek taraflı etkileşimler temel olarak Signorini'nin nüfuz etmeme koşuluyla modellenir ve etki sürecini tanımlamak için etki yasaları kullanılır. Signorini koşulu, tamamlayıcılık sorunu olarak ifade edilebilir:

${\displaystyle g\geq 0,\dörtlü \lambda \geq 0,\dörtlü \lambda \perp g}$,

burada iki cisim arasındaki mesafeyi ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi tek taraflı kısıtlamalar tarafından üretilen temas kuvvetini belirtir. Ayrıca, dışbükey teorinin yakın noktası kavramı açısından, Signorini koşulu eşdeğer olarak şu şekilde ifade edilebilir: ${\görüntüleme stili g}$${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$,

burada bir yardımcı parametreyi belirtir ve aşağıdaki gibi tanımlanan değişkene kümedeki yakın noktayı temsil eder : ${\görüntüleme stili \rho >0}$${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|yx\|}$.

Yukarıdaki ifadelerin her ikisi de tek taraflı kısıtlamaların dinamik davranışını temsil eder: bir yandan, normal mesafe sıfırın üzerinde olduğunda, temas açıktır, bu da cisimler arasında temas kuvveti olmadığı anlamına gelir ; Öte yandan, normal mesafe sıfıra eşit olduğunda, kontak kapanır ve sonuç olarak . ${\displaystyle g_{\rm {N}}}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle g_{\rm {N}}}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$

Şekil 2: a) tek taraflı temas, b) Signorini grafiği, c) sürekli ortam mekaniği tabanlı model

Pürüzsüz olmayan teoriye dayalı yöntemleri uygularken, çoğu durumda hız Signorini koşulu veya Signorini ivme koşulu aslında kullanılır. Hız Signorini koşulu şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0}$,

burada darbe sonrası nispi Normal hız anlamına gelir. Hız Signorini koşulu, önceki koşullarla birlikte anlaşılmalıdır . Hızlanma Signorini koşulu, kapalı temas ( ) altında şu şekilde kabul edilir: ${\ Displaystyle U_{\rm {N}}^{+}}$${\displaystyle g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g}$${\displaystyle g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0}$

${\displaystyle {\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0}$,

burada aşırı noktalar, zamana göre ikinci dereceden türevi belirtir.

Bu yöntemi iki katı cisim arasındaki tek taraflı kısıtlamalar için kullanırken, Signorini koşulu tek başına çarpma sürecini modellemek için yeterli değildir, bu nedenle çarpma öncesi ve sonrası durumlar hakkında bilgi veren etki yasaları da gereklidir. Örneğin, Newton iade yasası kullanıldığında, bir geri dönüş katsayısı şu şekilde tanımlanacaktır: burada çarpmadan önceki nispi normal hızı belirtir. ${\displaystyle e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}}$${\ Displaystyle U_{\rm {N}}^{-}}$

Sürtünme tek taraflı kısıtlamaları

Sürtünmeli tek taraflı kısıtlamalar için, normal temas kuvvetleri yukarıdaki yöntemlerden biri ile modellenirken, sürtünme kuvvetleri genellikle Coulomb'un sürtünme kanunu ile tanımlanır . Coulomb'un sürtünme yasası şu şekilde ifade edilebilir: teğetsel hız sıfıra eşit olmadığında, yani iki cisim kayarken, sürtünme kuvveti normal temas kuvvetiyle orantılıdır ; bunun yerine teğetsel hız sıfıra eşit olduğunda, yani iki gövde nispeten sabit olduğunda, sürtünme kuvveti statik sürtünme kuvvetinin maksimumundan daha fazla değildir. Bu ilişki maksimum dağılma ilkesi kullanılarak şu şekilde özetlenebilir: ${\ Displaystyle U_{\rm {T}}}$${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\ Displaystyle U_{\rm {T}}}$${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\ lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,}$

nerede

${\displaystyle D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}}$

sürtünme konisini temsil eder ve kinematik sürtünme katsayısını belirtir. Normal temas kuvvetine benzer şekilde, yukarıdaki formülasyon, yakın nokta kavramı açısından eşdeğer olarak şu şekilde ifade edilebilir: ${\görüntüleme stili \mu }$

${\displaystyle \lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}}) }$,

burada bir yardımcı parametreyi belirtir. ${\görüntüleme stili \rho >0}$

Çözüm teknikleri

Tek taraflı kısıtlamalar sürekli ortam mekaniğine dayalı temas modelleri tarafından modellenirse, temas kuvvetleri, tercih edilen temas modeline bağlı olan açık bir matematiksel formül aracılığıyla doğrudan hesaplanabilir. Bunun yerine düzgün olmayan teoriye dayalı yöntem kullanılırsa, Signorini koşullarının çözümü için iki ana formülasyon vardır: doğrusal olmayan / doğrusal tamamlayıcılık sorunu (N/LCP) formülasyonu ve artırılmış Lagrange formülasyonu. Temas modellerinin çözümü ile ilgili olarak, pürüzsüz olmayan yöntem daha sıkıcıdır, ancak hesaplama açısından daha az maliyetlidir. Temas modelleri ve pürüzsüz olmayan teori kullanılarak çözüm yöntemlerinin daha ayrıntılı bir karşılaştırması Pazouki ve diğerleri tarafından yapılmıştır.

N/LCP formülasyonları

Bu yaklaşımı takiben, tek taraflı kısıtlamalı dinamik denklemlerin çözümü, N/LCP'lerin çözümüne dönüştürülür. Özellikle, sürtünmesiz tek taraflı kısıtlamalar veya düzlemsel sürtünmeli tek taraflı kısıtlamalar için sorun LCP'lere dönüştürülürken, sürtünmeli tek taraflı kısıtlamalar için sorun NCP'lere dönüştürülür. LCP'leri çözmek için, Lemek ve Dantzig'in algoritmasından kaynaklanan pivotlama algoritması en popüler yöntemdir. Ne yazık ki, sayısal deneyler, en iyi optimizasyonları kullanarak bile, çok sayıda tek taraflı temasa sahip sistemler işlenirken pivot algoritmasının başarısız olabileceğini göstermektedir. NCP'ler için, çokyüzlü bir yaklaşım kullanmak, NCP'leri daha sonra LCP çözücüsü tarafından çözülebilen bir dizi LCP'ye dönüştürebilir. Bu yöntemlerin ötesindeki diğer yaklaşımlar, örneğin NCP-fonksiyonları

veya koni tamamlayıcılık problemlerine (CCP) dayalı yöntemler de NCP'leri çözmek için kullanılmaktadır.

Artırılmış Lagrange formülasyonu

N/LCP formülasyonlarından farklı olarak, artırılmış Lagrange formülasyonu, yukarıda açıklanan yakın işlevleri kullanır, . Dinamik denklemlerle birlikte bu formülasyon, kök bulma algoritmaları aracılığıyla çözülür . LCP formülasyonları ve artırılmış Lagrange formülasyonu arasında karşılaştırmalı bir çalışma Mashayekhi ve diğerleri tarafından yapılmıştır. ${\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$

Ayrıca bakınız

• Çok gövdeli dinamikler
• temas dinamiği  – Çok gövdeli sistemlerin hareketi
• temas mekaniği  - Birbirine dokunan katıların deformasyonunun incelenmesi
• ayrık eleman yöntemi  - Çok sayıda küçük parçacığın hareketini ve etkisini hesaplamak için sayısal yöntemler
• Pürüzsüz olmayan mekanik  – Mekanikte, konumların ve hızların zaman değişimlerinin artık düzgün fonksiyonlar olmasını gerektirmeyen bir modelleme yaklaşımı
• çarpışma tepkisi
• Varyasyon eşitsizlikleri

Referanslar

daha fazla okuma

Açık kaynaklı yazılım

Pürüzsüz olmayan tabanlı yöntemi kullanan açık kaynak kodları ve ticari olmayan paketler:

• Siconos  – Pürüzsüz olmayan dinamik sistemleri modellemek için açık kaynaklı bilimsel yazılım
• Açık kaynaklı bir çoklu fizik simülasyon motoru olan Chrono , ayrıca proje web sitesine bakın

Kitaplar ve makaleler

• Acary V., Brogliato B. Düzgün Olmayan Dinamik Sistemler için Sayısal Yöntemler. Mekanik ve Elektronik Uygulamaları. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
• Brogliato B. Düzgün Olmayan Mekanik. İletişim ve Kontrol Mühendisliği Serisi Springer-Verlag, Londra, 1999 (2dn Ed.)
• Demyanov, VF, Stavroulakis, GE, Polyakova, LN, Panagiotopoulos, PD "Mekanik, Mühendislik ve Ekonomide Yarı Türevlenebilirlik ve Düzgün Olmayan Modelleme" Springer 1996
• Glocker, Ch. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen , VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik'in 18/182 sayısı. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995
• Glocker Ch. ve Studer C. Lineer Tamamlayıcılık Sistemlerinin Sayısal Değerlendirmesi için Formülasyon ve Hazırlık. Çok Gövdeli Sistem Dinamiği 13(4):447-463, 2005
• Jean M. Düzgün olmayan temas dinamiği yöntemi. Uygulamalı Mekanik ve Mühendislikte Bilgisayar Yöntemleri 177(3-4):235-257, 1999
• Moreau JJ Sonlu Özgürlük Dinamiklerinde Tek Taraflı Temas ve Kuru Sürtünme, Pürüzsüz Olmayan Mekanik ve Uygulamalar, cilt 302 , CISM Kursları ve Dersleri . Springer, Viyana, 1988
• Pfeiffer F., Foerg M. ve Ulbrich H. Düzgün olmayan çok gövdeli dinamiklerin sayısal yönleri. Bilgisayar. Yöntemler Uyg. Makine Engrg 195 (50-51): 6891-6908, 2006
• Potra FA, Anitescu M., Gavrea B. ve Trinkle J. Sert çok gövdeli dinamikleri temaslar, eklemler ve sürtünme ile entegre etmek için doğrusal olarak örtük yamuk yöntemi. Int. J. Sayı. Met. İngilizce 66(7):1079-1124, 2006
• Stewart DE ve Trinkle JC Esnek Olmayan Çarpışmalar ve Coulomb Sürtünmesi ile Sert Cisim Dinamiği için Örtülü Bir Zaman Adımlama Şeması. Int. J. Sayı. Yöntem Mühendisliği 39(15):2673-2691, 1996
• Studer C. Pürüzsüz olmayan dinamik sistemlerin artırılmış zaman adımlı entegrasyonu , Doktora Tezi ETH Zürih, ETH E-Koleksiyon, 2008'de çıkacak
• Studer C. Tek Taraflı Temaslar ve Sürtünme Sayıları - Düzgün Olmayan Dinamiklerde Modelleme ve Sayısal Zaman Entegrasyonu , Uygulamalı ve Hesaplamalı Mekanikte Ders Notları, Cilt 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009