Tekdüze en güçlü test - Uniformly most powerful test

Olarak istatistiksel hipotez testi , bir homojen en güçlü ( UMP ) testi a, hipotez testi sahip büyük gücü ${\ displaystyle 1- \ beta}$ , belirli bir olası tüm testler arasında boyut a . Örneğin, Neyman-Pearson lemmasına göre, olasılık-oran testi basit (nokta) hipotezleri test etmek için UMP'dir.

Ayar

Let bir alınan rasgele bir vektörü (ölçümlere tekabül eden), göstermektedirler parametrized ailesinin bir olasılık yoğunluk fonksiyonları veya olasılık fonksiyonları bilinmeyen deterministik parametresine bağlıdır, . Parametre alanı iki ayrık kümeye bölünmüştür ve . Let olduğunu anlamında olabildikleri hipotezi ve izin göstermektedirler hipotezi o . İkili hipotez testi, bir test fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilir . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f _ {\ theta} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi (x)}$

$\ Theta _ {\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {1} \\ 0 & {\ text {if}} \ theta \ in \ Theta _ {0} \ end {vakalar}}}$

yani ölçüm eğer yürürlükte olduğu ve bu ölçümün eğer yürürlüktedir . Bunun , ölçüm boşluğunun ayrık bir kaplaması olduğuna dikkat edin. ${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {1}}$${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle X \ in \ Theta _ {0}}$${\ displaystyle \ Theta _ {0} \ cup \ Theta _ {1}}$

Resmi tanımlama

Bir test fonksiyon boyutunun UMP olan başka herhangi bir test fonksiyonu için ise tatmin ${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi '(x)}$

${\ displaystyle \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = \ alpha' \ leq \ alpha = \ sup _ {\ theta \ in \ Theta _ {0}} \; \ operatöradı {E} _ {\ theta} \ varphi (X) \,}$

sahibiz

${\ displaystyle \ forall \ theta \ in \ Theta _ {1}, \ quad \ operatorname {E} _ {\ theta} \ varphi '(X) = 1- \ beta' (\ theta) \ leq 1- \ beta (\ theta) = \ operatöradı {E} _ {\ theta} \ varphi (X).}$

Karlin-Rubin teoremi

Karlin-Rubin teoremi, bileşik hipotezler için Neyman-Pearson lemasının bir uzantısı olarak kabul edilebilir. Skaler bir parametre θ ile parametrelendirilmiş bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir skaler ölçümü düşünün ve olasılık oranını tanımlayın . Herhangi bir çift için monoton azalmayan ise (yani ne kadar büyükse , o kadar olasıdır ), o zaman eşik testi: ${\ displaystyle l (x) = f _ {\ theta _ {1}} (x) / f _ {\ theta _ {0}} (x)}$${\ displaystyle l (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta _ {1} \ geq \ theta _ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H_ {1}}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} x> x_ {0} \\ 0 & {\ text {if}} x <x_ {0} \ end {case} }}$

Nerede öyle seçilir ki ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0}} \ varphi (X) = \ alpha}$

test için α boyutunda UMP testidir ${\ displaystyle H_ {0}: \ theta \ leq \ theta _ {0} {\ text {vs.}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Tam olarak aynı testin test için de UMP olduğunu unutmayın ${\ displaystyle H_ {0}: \ theta = \ theta _ {0} {\ text {vs.}} H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}.}$

Önemli durum: üstel aile

Karlin-Rubin teoremi, skaler parametre ve skaler ölçümle sınırlandırılması nedeniyle zayıf görünse de, teoremin tuttuğu bir dizi problem olduğu ortaya çıktı. Özel olarak, tek boyutlu bir üstel aile içinde olasılık yoğunluk fonksiyonları veya olasılık fonksiyonları ile

${\ displaystyle f _ {\ theta} (x) = g (\ theta) h (x) \ exp (\ eta (\ theta) T (x))}$

bir monoton azalmayan olabilirlik oranı yeterli istatistiği mesafede, azalmayan bir. ${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle \ eta (\ theta)}$

Misal

Let göstermektedirler iid normal dağılım ortalama ile boyutlu rasgele vektörler ve kovaryans matrisi . O zaman bizde ${\ displaystyle X = (X_ {0}, \ ldots, X_ {M-1})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ theta m}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f _ {\ theta} (X) = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ sol \ {- {\ frac {1} {2}} \ toplam _ {n = 0} ^ {M-1} (X_ {n} - \ theta m) ^ {T} R ^ {- 1} (X_ {n} - \ theta m) \ right \} \\ [4pt] = {} & (2 \ pi) ^ {- MN / 2} | R | ^ {- M / 2} \ exp \ left \ {- {\ frac { 1} {2}} \ toplam _ {n = 0} ^ {M-1} \ left (\ theta ^ {2} m ^ {T} R ^ {- 1} m \ sağ) \ sağ \} \\ [4pt] & \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} ^ {T} R ^ {- 1} X_ {n} \ right \} \ exp \ left \ {\ theta m ^ {T} R ^ {- 1} \ sum _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n} \ sağ \} \ end {hizalı}}}$

Bu tam olarak önceki bölümde gösterilen üstel aile biçimindedir, yeterli istatistik

${\ displaystyle T (X) = m ^ {T} R ^ {- 1} \ toplamı _ {n = 0} ^ {M-1} X_ {n}.}$

Böylece, testin

${\ displaystyle \ varphi (T) = {\ begin {case} 1 & T> t_ {0} \\ 0 & T <t_ {0} \ end {case}} \ qquad \ operatorname {E} _ {\ theta _ {0} } \ varphi (T) = \ alpha}$

boyutta UMP testidir test etmek için VS. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle H_ {0}: \ theta \ leqslant \ theta _ {0}}$${\ displaystyle H_ {1}: \ theta> \ theta _ {0}}$

Daha fazla tartışma

Son olarak, genel olarak UMP testlerinin vektör parametreleri veya iki taraflı testler (alternatifin her iki tarafında bir hipotezin bulunduğu bir test) için mevcut olmadığını not ediyoruz. Sebebi bu durumlarda, (örneğin parametrenin olası bir değeri için verilen boyutta en güçlü testi olmasıdır için () parametresi farklı bir değer için aynı boyutta en güçlü testi farklıdır mesela nerede ). Sonuç olarak, bu durumlarda hiçbir test tekdüze en güçlü değildir. ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {0}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta _ {2} <\ theta _ {0}}$

Referanslar

daha fazla okuma

• Ferguson, TS (1967). "Bölüm 5.2: Tekdüze en güçlü testler ". Matematiksel İstatistik: Karar teorik yaklaşımı . New York: Akademik Basın.
• Ruh Hali, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Bölüm IX.3.2: Tekdüze en güçlü testler ". İstatistik teorisine giriş (3. baskı). New York: McGraw-Hill.
• LL Scharf, İstatistiksel Sinyal İşleme , Addison-Wesley, 1991, bölüm 4.7.