Tukey'nin toplamsallık testi - Tukey's test of additivity

Olarak istatistik , katılabılirlik Tukey testi olarak adlandırılır, John Tukey , iki yönlü varyans analizi (kullanılan bir yaklaşımdır regresyon analizi faktörü değişkenleri (olup olmadığını değerlendirmek için, iki nitel faktörleri kapsar) kategorik değişkenler ), katkı ilişkili beklenen değer tepkisinin değişken. Veri setinde tekrarlanan değerler olmadığında, tamamen genel bir eklemeli olmayan regresyon yapısını doğrudan tahmin etmenin imkansız olduğu ve hala hata varyansını tahmin etmek için bilginin kaldığı bir durumda uygulanabilir. Test istatistiği Tukey tarafından önerilen, dolayısıyla bu genellikle denir geçersiz hipoteze göre belli bir serbestlik derecesine sahiptir "Tukey tek derecelik serbestlik testi."

Giriş

Tukey'in toplamsallık testi için en yaygın ayar, hücre başına bir gözlem ile iki yönlü faktöriyel varyans analizidir (ANOVA). Yanıt değişkeni Y _ij , satırları i  = 1,...,  m ile indekslenen ve sütunları j  = 1,...,  n ile indekslenen bir hücre tablosunda gözlenir . Sıralar ve sütunlar tipik olarak, kombinasyon halinde uygulanan çeşitli tedavi türlerine ve seviyelerine karşılık gelir.

İlave bir model ile beklenen cevap olarak ifade edilebilir durumları EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j , α _i ve β _j bilinmeyen bir sabit değerleridir. Bilinmeyen model parametreleri genellikle şu şekilde tahmin edilir:

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}_{i}={\bar {Y}}_ {i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{j}={\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

burada Y, _{I •} ortalamasıdır i ^inci veri tablosunun satır, Y _{• j} ortalamasıdır j ^inci veri tablosunun sütun ve Y'nin _•• veri tablosunun genel ortalamasıdır.

Toplamsal model, EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j  +  γ _ij ayarlanarak keyfi etkileşim etkilerine izin verecek şekilde genelleştirilebilir . Ancak, γ _ij'nin doğal tahmin edicisini _{uydurduktan sonra} ,

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}}_{ij}=Y_{ij}-({\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}),}$

takılan değerler

${\displaystyle {\widehat {Y}}_{ij}={\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}+ {\widehat {\gamma }}_{ij}\eşdeğer Y_{ij}}$

verilere tam olarak uyun. Bundan dolayı, burada σ varyans tahmin etmek için hiçbir serbestlik kalan derecedir ² ve yaklaşık bir hipotez testleri γ _ij gerçekleştirilebilir olabilir.

Tukey bu nedenle formun daha kısıtlı bir etkileşim modeli önerdi

${\displaystyle \operatöradı {E} Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\lambda \alpha _{i}\beta _{j}}$

λ = 0 sıfır hipotezini test ederek, yalnızca tek parametre λ'ya dayalı olarak toplamsallıktan bazı sapmaları saptayabiliriz.

Yöntem

Tukey testini gerçekleştirmek için,

${\displaystyle SS_{A}\equiv n\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2} }$

${\displaystyle SS_{B}\equiv m\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2} }$

${\displaystyle SS_{AB}\equiv {\frac {(\sum _{ij}Y_{ij}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}}_{\cdot) \cdot })({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot}))^{2}}{\sum _{i}({\ bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}}}$

${\displaystyle SS_{T}\equiv \sum _{ij}(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot})^{2}}$

${\displaystyle SS_{E}\eşdeğer SS_{T}-SS_{A}-SS_{B}-SS_{AB}}$

Ardından aşağıdaki test istatistiğini kullanın

${\displaystyle {\frac {SS_{AB}/1}{MS_{E}}}.}$

Sıfır hipotezi altında, test istatistiği 1, q serbestlik derecesine sahip bir F dağılımına sahiptir  ; burada q  =  mn  - ( m  +  n ) hata varyansını tahmin etmek için serbestlik derecesidir.

Ayrıca bakınız

• Tukey'nin çoklu karşılaştırmalar için menzil testi

Referanslar