Transfer matrisi yöntemi (optik) - Transfer-matrix method (optics)

Bir katman boyunca bir ışının yayılması

Transfer-matris yöntemi içinde kullanılan bir yöntemdir optik ve akustik çoğalmasını analiz etmek için elektromanyetik ya da akustik dalgalar bir geçiş tabakalı ortam . Bu, örneğin, yansıma önleyici kaplamaların ve dielektrik aynaların tasarımı için geçerlidir .

Yansıma ve ışık iki arasında tek bir arabirimden ortam tarafından açıklanmıştır Fresnel denklemleri . Ancak, şekildeki gibi çoklu arayüzler olduğunda , yansımaların kendileri de kısmen iletilir ve daha sonra kısmen yansıtılır. Kesin yol uzunluğuna bağlı olarak, bu yansımalar yıkıcı veya yapıcı olarak müdahale edebilir . Bir katman yapısının genel yansıması, sonsuz sayıda yansımanın toplamıdır.

Transfer matrisi yöntemi, Maxwell denklemlerine göre , bir ortamdan diğerine sınırlar boyunca elektrik alanı için basit süreklilik koşulları olduğu gerçeğine dayanmaktadır . Alan bir katmanın başında biliniyorsa, katmanın sonundaki alan basit bir matris işleminden türetilebilir . Bir katman yığını daha sonra tek tek katman matrislerinin ürünü olan bir sistem matrisi olarak temsil edilebilir. Yöntemin son adımı, sistem matrisinin tekrar yansıma ve iletim katsayılarına dönüştürülmesini içerir .

Elektromanyetik dalgalar için formalizm

Aşağıda, transfer matrisinin, normal insidansta bir katman yığını boyunca yayılan belirli bir frekansın elektromanyetik dalgalarına (örneğin ışık) nasıl uygulandığı açıklanmaktadır . Bir açıda geliş, emici ortam ve manyetik özelliklere sahip ortam ile başa çıkmak için genelleştirilebilir . Yığın katmanlarının eksene dik olduğunu ve bir katman içindeki alanın, dalga numarası ile sola ve sağa hareket eden bir dalganın süperpozisyonu olarak temsil edilebileceğini varsayıyoruz , ${\görüntüleme stili z\,}$ ${\görüntüleme stili k\,}$

${\displaystyle E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,}$.

O Maxwell'in denklemden aşağıdaki Çünkü ve bir sınırın öteki sürekli olmalı, vektörü olarak alan gösterilmesinin uygun olduğuna , ${\ekran stili E\,}$${\displaystyle H=1/ikZ_{c}dE/dz\,}$${\görüntüleme stili (E(z),H(z))\,}$

${\displaystyle H(z)=1/Z_{c}E_{r}e^{ikz}-1/Z_{c}E_{l}e^{-ikz}\,}$.

ve ile ve ile ilgili iki denklem olduğundan , bu iki gösterim eşdeğerdir. Yeni gösterimde, pozitif yöne doğru bir mesafe boyunca yayılma , tek modüler matris ile tanımlanır.${\ekran stili E\,}$${\görüntüleme stili H\,}$${\displaystyle E_{r}\,}$${\displaystyle E_{l}\,}$${\görüntüleme stili L\,}$${\görüntüleme stili z\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}}\sin kL&\cos kL\end{ dizi}}\sağ),}$

ve

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\başlangıç{dizi) }{c}E(z)\\H(z)\end{dizi}}\sağ)}$

Böyle bir matris tabakasının içinden yayılma temsil orta ve dalga sayısı tabakanın kalınlığı: bir sistem için, tabakalar, her bir tabakanın bir transfer matrisi vardır , burada daha yüksek bir doğru arttığı değerleri. Sistem transfer matrisi daha sonra ${\görüntüleme stili k\,}$${\görüntüleme stili L\,}$${\görüntüleme stili N\,}$${\görüntüleme stili j\,}$${\displaystyle M_{j}\,}$${\görüntüleme stili j\,}$${\görüntüleme stili z\,}$

${\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.}$

Tipik olarak, katman yapısının yansımasını ve geçirgenliğini bilmek isteriz . Katman yığını ile başlarsa, negatif için alan şu şekilde tanımlanır: ${\displaystyle z=0\,}$${\görüntüleme stili z\,}$

${\displaystyle E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,}$

burada gelen dalganın genliği , sol ortamdaki dalga numarası ve katman yapısının genlik (yoğunluk değil!) yansıtma katsayısıdır. Katman yapısının diğer tarafında, alan sağa yayılan bir iletilen alandan oluşur. ${\ekran stili E_{0}\,}$${\görüntüleme stili k_{L}\,}$${\görüntüleme stili r\,}$

${\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}$

genlik geçirgenliği nerede , en sağdaki ortamdaki dalga sayısı ve toplam kalınlıktır. Eğer ve ise , o zaman çözebiliriz ${\görüntüleme stili t\,}$${\görüntüleme stili k_{R}\,}$${\görüntüleme stili L'}$${\displaystyle H_{L}=1/ikZ_{c}dE_{L}/dz\,}$${\displaystyle H_{R}=1/ikZ_{c}dE_{R}/dz\,}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\başlangıç) {dizi}{c}E(0)\\H(0)\end{dizi}}\sağ)}$

sistem matrisinin matris elemanları açısından ve elde ${\displaystyle M_{mn}\,}$${\displaystyle M_{s}\,}$

${\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i( k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\sağ]}$

ve

${\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11) })}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\sağ] }$.

Geçirgenlik ve yansıma (yani, katman tarafından iletilen ve yansıtılan olay yoğunluğunun fraksiyonları ) genellikle daha pratik kullanıma sahiptir ve sırasıyla ve (normal olayda) ile verilir. ${\displaystyle \sol|E_{0}\sağ|^{2}}$${\displaystyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$${\displaystyle R=|r|^{2}\,}$

Örnek

Örnek olarak, k dalga numarasında (havada) havada asılı duran, kırılma indisi n ve kalınlığı d olan tek bir cam tabakasını düşünün . Camda dalga sayısı . transfer matrisi ${\görüntüleme stili k'=nk\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{ dizi}}\sağ)}$.

Genlik yansıma katsayısı şu şekilde basitleştirilebilir:

${\displaystyle r={\frac {(1/nn)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}}$.

Bu konfigürasyon, bir Fabry-Pérot interferometresini veya etalonu etkin bir şekilde tanımlar : için , yansıma kaybolur. ${\displaystyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$

akustik dalgalar

Ses dalgalarına transfer matrisi yöntemini uygulamak mümkündür. Bunun yerine elektrik alanının D ve türev F , yer değiştirme u ve stres , bir p-dalga modülü , kullanılmalıdır. ${\displaystyle \sigma =Cdu/dz}$${\görüntüleme stili C}$

Abeles matris formalizmi

Katmanlı bir arayüzden yansıma

Abeles matris yöntemi , bir tabakalı arayüzden speküler yansıtıcılık hesaplamak için bir hesaplama hızlı ve kolay bir şekilde dik bir fonksiyonu olarak momentum transferi , S _z :

${\displaystyle Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =2k_{z}}$

burada θ gelen radyasyonun gelme/yansıma açısı ve λ radyasyonun dalga boyudur. Ölçülen yansıtma , arayüze dik olan saçılma uzunluğu yoğunluğu (SLD) profilindeki ρ ( z ) varyasyona bağlıdır . Saçılma uzunluğu yoğunluk profili normalde sürekli değişen bir fonksiyon olmasına rağmen, ara yüzey yapısı genellikle kalınlık ( d _n ), saçılma uzunluğu yoğunluğu ( ρ _n ) ve pürüzlülük (σ _n,n+ ) katmanlarının bulunduğu bir döşeme modeli ile iyi bir şekilde yaklaşıklanabilir. ₁ ) süper ve alt fazlar arasına sıkıştırılır. Daha sonra, her katmanı tanımlayan parametreleri değiştirerek teorik ve ölçülen yansıtma eğrileri arasındaki farkları en aza indirmek için bir iyileştirme prosedürü kullanılır.

Bu açıklamada arayüz n katmana bölünmüştür . Olay nötron ışını dalga vektörü, tabakaların her biri tarafından kırılan bir yana k , tabaka içinde n , aşağıdaki eşitlikle verilir:

${\displaystyle k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}}$

Fresnel yansıma katmanı arasındaki katsayı n ve n + 1 aşağıdaki formülle verilir:

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}}$

Her bir katman arasındaki ara yüzün mükemmel bir şekilde pürüzsüz olması pek mümkün olmadığından, her ara yüzün pürüzlülüğü/yaygınlığı Fresnel katsayısını değiştirir ve Nevot ve Croce (1980) tarafından açıklandığı gibi bir hata fonksiyonu ile açıklanır .

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n} k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2})}$

Her katmanın kalınlığını hesaba katan bir faz faktörü, β tanıtılır.

${\görüntüleme stili \beta _{0}=0}$

${\displaystyle \beta _{n}=ik_{n}d_{n}}$

nerede . Daha sonra her katman için karakteristik bir matris, c _n hesaplanır. ${\displaystyle ben^{2}=-1}$

${\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _ {n}\sağ)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\sağ)&\exp \left(-\beta _{n}\sağ)\end{ dizi}}\sağ]}$

Elde edilen matris, bu karakteristik matrislerin çarpımı olarak tanımlanır.

${\displaystyle M=\prod _{n}c_{n}}$

yansıtıcılığın şu şekilde hesaplandığı:

${\displaystyle R=\sol|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\sağ|^{2}}$

Ayrıca bakınız

• nötron reflektometrisi
• elipsometri
• Jones hesabı
• X-ışını yansıtma

Referanslar

daha fazla okuma

• Çok Katmanlı Yansıtıcılık : İlk prensipler, karmaşık kırılma indislerine sahip bir çok katmandan iletim ve yansıma olasılıklarının türetilmesi.
• MIT Açık Derste Katmanlı Malzemeler ve Fotonik Bant Diyagramları (Ders 23) Malzemelerin Elektronik, Optik ve Manyetik Özellikleri .
• MIT Açık Kurs Nano-Makro Taşıma Süreçlerinde İnce Filmler ve Çok Katmanlar Yoluyla EM Dalga Yayılımı (Ders 13) . Kısa tartışma akustik dalgaları içerir.

Dış bağlantılar

Bu hesaplamayı uygulayan bir dizi bilgisayar programı vardır:

• FreeSnell , granüler filmler gibi daha gelişmiş özellikler de dahil olmak üzere transfer matrisi yöntemini uygulayan bağımsız bir bilgisayar programıdır.
• Thinfilm , yansıma ve iletim katsayılarının yanı sıra Psi ve Delta elipsometrik parametrelerinin çıktısını veren transfer matrisi yöntemini uygulayan bir web arayüzüdür .
• Luxpop.com , transfer matrisi yöntemini uygulayan başka bir web arayüzüdür.
• Python ve Mathematica'da transfer matrisi hesaplama programları .
• EMPy ("Elektromanyetik Python") yazılımı .
• motofit , nötron ve X-ışını reflektometri verilerini analiz etmek için bir programdır.
• OpenFilters , optik filtreler tasarlamak için bir programdır.
• Py_matrix , isteğe bağlı dielektrik tensörlere sahip çok katmanlılar için transfer matrisi yöntemini uygulayan açık kaynaklı bir Python kodudur. Özellikle plazmonik ve manyetoplazmonik hesaplamalar için yaratılmıştır.
• Tarayıcı içi hesap makinesi ve tesisatçı , matris yöntemi ve Nevot-Croce pürüzlülük yaklaşımı kullanan Javascript etkileşimli yansıtma hesaplayıcısı ( Emscripten aracılığıyla C'den dönüştürülmüş hesaplama çekirdeği )