Aşkınlık derecesi - Transcendence degree

Gelen soyut cebir , aşma derecesi a cisim genişlemesi L / K uzantısının "boyutu", belirli bir daha kaba bir ölçüsüdür. Özellikle, büyük olarak tanımlanır kardinalitesi bir bir cebirsel bağımsız alt kümesi içinde L üzerinde K .

Bir alt G arasında L a, aşma baz ve L / K bunun üzerinde cebirsel bağımsız ise K ve eğer ayrıca L bir bir cebirsel uzatma alanının K ( G ) (elemanlarını bitişik ile elde edilen alan S için K ). Her alan uzantısının bir aşkınlık tabanına sahip olduğu ve tüm aşkınlık tabanlarının aynı kardinaliteye sahip olduğu gösterilebilir; bu kardinalite, uzantının aşkınlık derecesine eşittir ve trdeg _K  L veya trdeg( L / K ) olarak gösterilir.

Herhangi bir alan ise K belirtilirse, bir saha aşılması derecesi L tekabül etmektedir göreli asal alan aynı özelliğine , yani, Q, eğer L 0 karakteristiği ve ait F _p ise L karakteristiği olan p .

Cisim genişlemesi L / K olan saf aşkın bir alt grup ise, G ve L cebirsel fazla bağımsızdır K ve bu şekilde L = K ( G ).

Örnekler

• Bir uzantı ancak ve ancak onun aşkınlık derecesi 0 ise cebirseldir; Boş seti burada bir aşılmasıdır temel olarak hizmet vermektedir.
• n değişkenli K ( x ₁ ,..., x _n ) rasyonel fonksiyonların alanı, aşkınlık derecesi n bölü K olan tamamen aşkın bir uzantıdır ; örneğin , bir aşkınlık tabanı olarak { x ₁ ,..., x _n } alabiliriz.
• Daha genel olarak, bir aşma derecesi işlev alanı L bir bölgesinin N boyutlu cebirsel çeşitli toprak alanı üzerinde K olduğu , n .
• S ( √2 , e ) üzerinden aşma derecesi 1 olan Q √2 çünkü cebirsel ise , e olan aşkın .
• Aşılması derecesi C ya da R fazla Q olan süreklilik önem düzeyi . (Herhangi bir elemanı üzerinde sadece sayılabilir birçok cebirsel elemana sahiptir, çünkü bu, aşağıdaki Q , çünkü S sayılabilir kendisi).
• Aşılması derecesi Q ( e , π üzerinden) Q , ya 1 ya da 2'dir; kesin cevap bilinmiyor çünkü e ve π'nin cebirsel olarak bağımsız olup olmadığı bilinmiyor .
• Eğer S a, kompakt Riemann yüzeyi , alan Cı ( S arasında) Meromorfik fonksiyonları üzerinde S üzerinde aşma derecesi 1 sahiptir C .

Vektör uzayı boyutlarıyla analoji

Vektör uzayı boyutları teorisi ile bir analoji vardır . Analoji cebirsel olarak bağımsız kümelerle lineer olarak bağımsız kümeleri eşleştirir ; S kümeleri, öyle ki L , kapsayan kümelerle K ( S ) üzerinde cebirseldir ; tabanları aşma bazlar ; ve boyut ile aşkınlık derecesi. Aşkınlık tabanlarının her zaman var olduğu gerçeği (tabanların lineer cebirde her zaman var olduğu gerçeği gibi) seçim aksiyomunu gerektirir . Herhangi iki bazın aynı kardinaliteye sahip olduğunun kanıtı, her durumda bir değişim lemmasına bağlıdır .

Bu benzetme, vektör uzaylarında lineer bağımsızlığın ve alan uzantılarında cebirsel bağımsızlığın sırasıyla lineer matroidler ve cebirsel matroidler olarak adlandırılan matroidlerin örneklerini oluşturduğunu gözlemleyerek daha resmi hale getirilebilir . Böylece, aşkınlık derecesi bir cebirsel matroidin rank fonksiyonudur . Her lineer matroid, cebirsel bir matroid için izomorfiktir, ancak tersi değildir.

Gerçekler

Eğer M / L alan uzantısı ve L / K sonra aşma derecesi bir alan uzantısıdır M / K aşılması derece toplamına eşit olan M / L ve L / K . Bu, M / L' nin bir aşkınlık tabanı ile L / K'dan birinin birleşimi alınarak M / K'nın bir aşkınlık tabanının elde edilebileceğini göstererek kanıtlanmıştır .

Uygulamalar

Aşkınlık bazları, alan homomorfizmaları hakkında çeşitli varoluş ifadelerini kanıtlamak için kullanışlı bir araçtır. Bir örnek: bir göz önüne alındığında cebirsel olarak kapalı alan L , bir alt alan K ve bir alan otomorfizm f arasında K , bir alan otomorfizması vardır L uzanan f (yani olan kısıtlama için K olan f ). Kanıt, bir aşma temelinde ile başlanır S ve L / K . Elemanları K ( G ) unsurları polinomların sadece katsayılarıdır S katsayılı K ; Bu nedenle otomorfizm f birine uzatılabilir K ( G her eleman göndererek) S kendisine. L alanı , K ( S )' nin cebirsel kapanışıdır ve cebirsel kapanışlar, izomorfizme kadar benzersizdir; bu, otomorfizmin K ( S )'den L'ye daha da genişletilebileceği anlamına gelir .

Başka bir uygulama olarak, C karmaşık sayı alanının (alanlar olarak) C ile izomorf olan (birçok) uygun alt alanı olduğunu gösteriyoruz . Kanıt, bir aşma baz almak S ve C / S . S sonsuz olduğunu (hatta sayılamayan) seti, bu yüzden orada var (birçok) eşler f : S → S hangi injective ama surjective . Bu tür herhangi bir harita, örtük olmayan bir alan homomorfizmasına Q ( S ) → Q ( S ) genişletilebilir . Böyle bir alan homomorfizmi, sırayla, cebirsel kapanış C'ye kadar genişletilebilir ve sonuçta ortaya çıkan alan homomorfizmaları C → C , örtük değildir.

Aşkınlık derecesi, bir alanın boyutunun sezgisel olarak anlaşılmasını sağlayabilir. Örneğin, bağlı bir teoremi Siegel ise bildiren X boyutlu bir kompakt, bağlantılı kompleks çeşitlidir , n ve K ( X ) bir alanı belirtir (genel olarak tanımlanmış) meromorfik fonksiyonları üzerinde, daha sonra trdeg _Cı ( K ( X )) ≤  n .

Referanslar