Tractrix - Tractrix

Bir direğin ucu tarafından oluşturulan Tractrix (yerde dümdüz uzanmış). Diğer ucu önce itilir, sonra bir tarafa dönerken parmakla sürüklenir.

Başlangıçta

(4,0)'

da nesne olan Tractrix

Bir tractrix (dan Latince fiil trahere "çekici, sürükleme"; çoğulu tractrices ) olan eğri kendisi boyunca sürtünme etkisi altında bir amacı, hareket, bir üzerine çekildiğinde , yatay düzleme bir yan hat segmenti bir traktöre bağlanmış (çekme) nesne ile çekici arasındaki başlangıç çizgisine dik açıda sonsuz küçük bir hızla hareket eden nokta . Bu nedenle bir takip eğrisidir . İlk olarak 1670'de Claude Perrault tarafından tanıtıldı ve daha sonra Isaac Newton (1676) ve Christiaan Huygens (1693) tarafından incelendi .

matematiksel türetme

Nesnenin $(a,0)$ (veya sağda gösterilen örnekte $(4,0)$ ) ve çekicinin orijinde olduğunu varsayalım , böylece $a$ , çeken ipliğin uzunluğu (sağdaki örnekte 4) olsun. . Ardından çektirme, $y$ ekseni boyunca pozitif yönde hareket etmeye başlar . İplik, her an nesne tarafından tanımlanan $y = y (x)$ eğrisine teğet olacaktır , böylece tamamen çekicinin hareketi ile belirlenecektir. Nesnenin koordinatlar ise Matematiksel olarak, $(x, y)$ , $y$ çekicinin -coordinate olan $y + işareti (y) \sqrt bir 2 - x 2$ ile, Pisagor teoreminin . İpliğin eğiminin eğriye teğet olanın eğimine eşit olduğunu yazmak, diferansiyel denkleme yol açar.

{\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}

başlangıç koşulu $y (a) = 0 ile$ . Onun çözümü

y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt=\pm \left(a\ ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\sağ),

burada $\pm$ işareti , çekicinin hareketinin yönüne (pozitif veya negatif) bağlıdır.

Bu çözümün ilk terimi de yazılabilir.

a\operatöradı {arsech} {\frac {x}{a}},

burada $arsek$ , ters hiperbolik sekant fonksiyonudur.

Çözümden önceki işaret, çekicinin yukarı veya aşağı hareket etmesine bağlıdır. Her iki dal da doruk noktasında $(a,0)$ buluşan traktrix'e aittir .

Tratrix'in temeli

Tractrix temel özelliği bir nokta arasındaki mesafenin sabit olmasıdır $P$ eğrisi üzerinde ve kesişme teğet çizgi de $P$ ile asimptot eğrisinin.

Tratrix birçok yönden kabul edilebilir:

Bu bir lokus düz bir hat üzerinde (patinaj) olmadan bir hiperbolik spiral haddeleme merkezinin.
Bu ise , sarmal bir katener tamamen esnek tarif fonksiyonu, elastik olmayan bir yerçekimi alanına tabi tutulur, iki nokta bağlanmış, homojen bir dizi. Katener, $y$ $($ $x$ $) =$ $a$ $cosh$ denklemine sahiptir. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} x/a$ .
Sabit bir hızda ve sabit bir yönde (başlangıçta araca dik) bir halat tarafından çekilen bir arabanın arka dingilinin ortasının belirlediği yörünge.
Düz bir çizgi üzerinde yuvarlanan bir dairenin her zaman dik olarak kesiştiği (doğrusal olmayan) bir eğridir.

Fonksiyon yatay bir asimptotu kabul eder. Eğri, $y$ eksenine göre simetriktir . Eğrilik yarıçapı $r = bir karyola x / y$ .

Tractrix'in sahip olduğu büyük bir çıkarım, asimptotu hakkında devrim yüzeyinin incelenmesiydi: sahte küre . Tarafından incelenmiştir Eugenio Beltrami sürekli negatif bir yüzey olarak 1868 yılında Gauss eğriliği , südoküre yerel bir modeldir hiperbolik geometrisi . Bu fikir Kasner ve Newman tarafından Mathematics and the Imagination (Matematik ve Hayal Gücü) adlı kitaplarında daha da ileri götürüldü; burada, bir oyuncak trenin, bir cep saatini traktrisi oluşturmak için sürüklediğini gösteriyorlar.

Özellikler

Olarak katener evolüt bir tractrix arasında

Eğri, denklem ile parametrelenebilir . $x=t-\tanh(t),y=1/{\cosh(t)}$
Tanımlandığı geometrik yoldan dolayı, traktriks, asimptot ile teğet noktası arasındaki teğet parçasının sabit uzunluğu $a olma özelliğine sahiptir$ .
Yay uzunluğu arasındaki bir dalın $x = x 1$ ve $x = x 2$ olan $bir ln x 1 / x 2$ .
Tratriks ile asimptotu arasındaki alan, $π bir 2 / 2$ hangi entegrasyon veya Mamikon teoremi kullanılarak bulunabilir .
Zarf ve normaller tractrix arasında (yani, evolüt tractrix arasında) olduğu katener (ya da zincir eğrisi ile gösterilir) $y = bir COSH x / a$ .
Onun asimptot hakkında tractrix döner yarattığı dönme yüzeyi bir olduğunu südoküre .

Pratik uygulama

1927'de, P. G. A. H. Voigt , korna boyunca ilerleyen bir dalga cephesinin sabit bir yarıçapa sahip küresel olduğu varsayımına dayanan bir korna hoparlör tasarımının patentini aldı . Buradaki fikir, korna içindeki sesin dahili yansımasından kaynaklanan bozulmayı en aza indirmektir. Ortaya çıkan şekil, bir traktörün dönüş yüzeyidir.
Önemli bir uygulama sac metal için şekillendirme teknolojisindedir. Özellikle derin çekme sırasında sacın büküldüğü kalıbın köşesi için bir traktrik profil kullanılır.

Bir dişli kayış -pulley tasarımı, dişler için bir Tractix katener şeklini kullanarak mekanik güç iletimi için gelişmiş bir verimlilik sağlar. Bu şekil, kasnağa bağlanan kayış dişlerinin sürtünmesini en aza indirir, çünkü hareketli dişler minimum kayma teması ile birbirine geçer ve ayrılır. Orijinal triger kayışı tasarımlarında, önemli kayma ve sürtünmeye neden olan daha basit yamuk veya dairesel diş şekilleri kullanılmıştır.

Çizim makineleri

Ekim-Kasım 1692'de Christiaan Huygens, üç traktrik çekme makinesi tanımladı.
1693'te Gottfried Wilhelm Leibniz , teorik olarak herhangi bir diferansiyel denklemi entegre edebilen bir "evrensel çekiş makinesi" tasarladı. Konsept, çekiş ilkesini uygulayan bir analog hesaplama mekanizmasıydı. Cihaz Leibniz'in zamanının teknolojisiyle inşa edilmesi pratik değildi ve asla gerçekleştirilmedi.
1706'da John Perks , hiperbolik karelemeyi gerçekleştirmek için bir çekiş makinesi yaptı .
1729'da Giovanni Poleni , logaritmik fonksiyonların çizilmesini sağlayan bir çekiş cihazı yaptı .

Tüm bu makinelerin geçmişi HJM Bos'un bir makalesinde görülebilir.

Ayrıca bakınız

Dini'nin yüzeyi
Hiperbolik fonksiyonlar için $tanh$ , $sech$ , $CSCH$ , $arcosh$
$ln$ için doğal logaritma
$sgn$ için işaret işlevi
$sin$ , $cos$ , $tan$ , $arccot$ , $csc$ için trigonometrik fonksiyon

Notlar

Referanslar

Kasner, Edward; Newman, James (1940). Matematik ve Hayal Gücü . Simon & Schuster'ın fotoğrafı . P. 141–143 .
Lawrence, J. Dennis (1972). Özel Düzlem Eğrileri Kataloğu . Dover Yayınları. s. 5, 199 . ISBN'si 0-486-60288-5.

Dış bağlantılar

O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Tractrix" , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi
"Tractrix" . GezegenMath .
"Uçakta ünlü eğriler" . GezegenMath .
Tractrix üzerinde MathWorld
Modül: Leibniz'in Pocket Saat ODE PHASER de

Languages

In other projects