Dihedral açı - Dihedral angle

Üçüncü bir düzlemde (pembe) iki yarım düzlem (α, β, yeşil) arasındaki, kesişim çizgisini dik açılarla kesen açı

Bir dihedral açının , kesişen iki düzlem ya da arasındaki açıdır yarım düzlemden . Olarak kimya , ortak iki atomlu üç atom iki set yarı düzlem arasındaki saat açısıdır. Gelen katı geometri , bu gibi tanımlanmıştır birlik a hattı ve ortak olarak, bu çizgi sahip iki yarım düzlemden kenar . Daha yüksek boyutlarda , bir dihedral açı, iki hiperdüzlem arasındaki açıyı temsil eder . Uçan bir makinenin düzlemlerinin, hem sancak hem de iskele ana düzlemleri yanal eksene yukarı doğru eğimli olduğunda pozitif dihedral açıda olduğu söylenir. Aşağıya doğru eğimli olduklarında negatif dihedral açıda oldukları söylenir.

Matematiksel arka plan

Kesişen iki düzlem , iki denklemle Kartezyen koordinatları cinsinden tanımlandığında

aralarındaki dihedral açı şu şekilde verilir:

ve tatmin eder

Alternatif olarak, N A ve n, B olan normal vektör düzlemlerine, bir yer alır

n A  ·  n B olan nokta ürün vektörlerin ve | n Bir | | n B | uzunluklarının ürünüdür.

Mutlak değer yukarıdaki formüllerde gereklidir, çünkü bir denklemdeki tüm katsayı işaretleri değiştirilirken veya bir normal vektörün tersi ile değiştirilirken düzlemler değişmez.

Bununla birlikte, sınırları aynı doğru olan iki yarım düzlemin dihedral açısı düşünüldüğünde mutlak değerlerden kaçınılabilir ve kaçınılmalıdır . Bu durumda, yarım düzlemler kesişimlerinin bir P noktası ve üç b 0 , b 1 ve b 2 vektörü ile tanımlanabilir , öyle ki P + b 0 , P + b 1 ve P + b 2 sırasıyla kesişme noktasına aittir. doğru, ilk yarı düzlem ve ikinci yarı düzlem. Bu yarı düzlem ikidüzlemli açı ile tanımlanır

,

ve tatmin Bu durumda, iki yarım uçak geçiş aynı sonucu verir, ve bu da değiştirilmesi etmez ile bu tür yerine bir dihedral açı tanımlar, (aşağıya bakınız) içinde kimyası ile değişiklikler arasında olabilir açının işareti, - π ve π .

polimer fiziğinde

Polimer fiziği gibi bazı bilimsel alanlarda , ardışık noktalar arasında bir noktalar zinciri ve bağlantılar düşünülebilir. Noktalar sıralı olarak numaralandırılmışsa ve r 1 , r 2 , r 3 , vb . konumlarda bulunuyorsa, bağ vektörleri u 1 = r 2r 1 , u 2 = r 3r 2 , ve u i = r ile tanımlanır. i+1 - r ben , daha genel olarak. Bu, bir protein yapısındaki kinematik zincirler veya amino asitler için geçerlidir . Bu durumlarda, genellikle birbirini izleyen üç nokta tarafından tanımlanan yarım düzlemlerle ve bu tür ardışık iki yarım düzlem arasındaki dihedral açıyla ilgilenilir. Eğer U 1 , u 2 ve u 3 arka arkaya üç bağ vektörlerdir, yarı Düzlemlerin kesişimi yönlendirilmiştir, aralığına ait bir dihedral açı oluşturan olanak tanıyan (- tt , π ] . Bu ikidüzlemli açı ile tanımlanır

veya atan2 işlevini kullanarak ,

Bu dihedral açı, zincirin yönüne bağlı değildir (noktanın dikkate alındığı sıra) — bu sıralamayı tersine çevirmek, her vektörü kendi zıt vektörüyle değiştirmekten ve 1 ve 3 endekslerini değiştirmekten oluşur. Her iki işlem de kosinüsü değiştirmez. , ancak sinüsün işaretini değiştirin. Böylece birlikte açıyı değiştirmezler.

Aynı dihedral açı için daha basit bir formül aşağıdaki gibidir (kanıt aşağıda verilmiştir)

Veya eşdeğer olarak,

Bu, vektör dörtlü çarpım formülü kullanılarak önceki formüllerden ve aynı vektörün iki katını içeriyorsa bir skaler üçlü ürünün sıfır olduğu gerçeğinden çıkarılabilir:

Çapraz çarpım tanımı verildiğinde , bu , ikinci atomdan üçüncüye eksene bakarken dördüncü atomun birinci atoma göre saat yönündeki açısıdır. Özel durumlar (olağan durumlar denilebilir ) , ve , bunlar trans , gauche + ve gauche konformasyonları olarak adlandırılır.

stereokimyada

Synantipericlinal.svg Newman projeksiyon bütan -sc.svg Sawhorse projeksiyon bütan -sc.png

Dihedral açıya göre konfigürasyon isimleri
syn n- Gauche içinde bütan konformasyon (−60°) Newman izdüşümü

syn n- Bütan
testere tezgahı projeksiyonu
Dihedral açının bir fonksiyonu olarak n- bütanın serbest enerji diyagramı .

Gelen stereokimyası , bir torsiyon açısı , bir ile birleştirilmiş bir molekülün iki parçanın geometrik ilişkiyi tanımlayan bir dihedral açı da belirli bir örneği olarak tanımlanır kimyasal bağ . Bir molekülün doğrusal olmayan üç atomunun her kümesi bir yarı düzlemi tanımlar. Yukarıda açıklandığı gibi, bu tür iki yarı düzlem kesiştiğinde (yani, ardışık olarak bağlanmış dört atom kümesi), aralarındaki açı bir dihedral açıdır. Moleküler konformasyonu belirtmek için dihedral açılar kullanılır . 0° ile ±90° arasındaki açılara karşılık gelen stereokimyasal düzenlemelere syn (s), ±90° ile 180° arasındaki açılara karşılık gelenlere ise anti (a) denir . Benzer şekilde, 30° ile 150° veya -30° ile −150° arasındaki açılara karşılık gelen düzenlemelere klinal (c), 0° ile ±30° veya ±150° ile 180° arasındaki düzenlemelere periplanar (p) denir .

İki tür terim, dört açı aralığı tanımlayacak şekilde birleştirilebilir; 0° ila ±30° eşdüzlemsel (sp); 30° ila 90° ve -30° ila −90° senklinal (sc); 90° ila 150° ve -90° ila −150° antiklinal (ac); ±150° ila 180° antiperiplanar (ap). Sinperiplanar konformasyon, syn - veya cis - konformasyon olarak da bilinir ; anti veya trans olarak antiperiplanar ; ve gauche veya skew olarak senklinal .

Örneğin, n - bütan ile, iki merkezi karbon atomu ve metil karbon atomlarından herhangi biri cinsinden iki düzlem belirtilebilir. Syn- 60 seviyesinde bir dihedral açı ile yukarıda gösterilen -conformation, ° 'den daha az kararlı olan , anti 180 °' lik bir dihedral açı ile -conformation.

Makromoleküler kullanım için T, C, G + , G , A + ve A sembolleri önerilir (sırasıyla ap, sp, +sc, −sc, +ac ve −ac).

Proteinler

Bir proteinin tasviri, ω, φ ve ψ'nin nereye atıfta bulunduğunu gösterir.

İlk olarak 1963'te GN Ramachandran , C. Ramakrishnan ve V. Sasisekharan tarafından geliştirilen bir Ramachandran grafiği (bir Ramachandran diyagramı veya bir [ φ , ψ ] grafiği olarak da bilinir ), omurga dihedral açıları için enerjisel olarak izin verilen bölgeleri görselleştirmenin bir yoludur ψ karşı cp arasında amino asit kalıntıların protein yapısı . Bir protein zincirinde üç dihedral açı tanımlanır:

  • ω (omega) C α − C' − N − C α zincirindeki açıdır ,
  • φ (phi) C' − N − C α − C' zincirindeki açıdır
  • ψ (psi) N − C α − C' − N zincirindeki açıdır ( Ramachandran tarafından φ′ olarak adlandırılır )

Sağdaki şekil, bu açıların her birinin konumunu göstermektedir (ancak tanımlanma şeklini doğru bir şekilde göstermemektedir).

Peptit bağının düzlemselliği genellikle ω'yi 180° (tipik trans durumu) veya 0° (nadir cis durumu) olarak sınırlar. Trans ve cis izomerlerindeki C a atomları arasındaki mesafe sırasıyla yaklaşık 3,8 ve 2,9 A'dır. Proteinlerdeki peptit bağlarının büyük çoğunluğu trans'tır , ancak prolinin nitrojenine peptit bağı , diğer amino asit çiftlerine kıyasla artan bir cis prevalansına sahiptir .

Yan zincir dihedral açıları χ n (çi- n ) ile gösterilir. Trans , gauche + ve gauche konformasyonları olarak adlandırılan 180°, 60° ve -60° civarında kümelenme eğilimindedirler . Belirli yan zincir dihedral açılarının kararlılığı φ ve ψ değerlerinden etkilenir . Örneğin, Cı arasında doğrudan sterik etkileşimler vardır y yan zincirinin gauche + zaman rotamer ve sonraki kalıntı omurgası azot ψ yakındır -60 ° 'dir. Bu, omurgaya bağımlı rotamer kitaplıklarındaki istatistiksel dağılımlardan açıkça görülmektedir .

Zincirlerde dihedral açılardan Kartezyen koordinatlara dönüştürme

Polimer omurgalarını, özellikle proteinleri dahili koordinatlarda temsil etmek yaygındır ; yani ardışık dihedral açıların ve bağ uzunluklarının bir listesi. Bununla birlikte, bazı hesaplamalı kimya türleri bunun yerine kartezyen koordinatları kullanır . Hesaplamalı yapı optimizasyonunda, bazı programların yinelemeleri sırasında bu temsiller arasında ileri geri gitmesi gerekir. Bu görev hesaplama süresine hükmedebilir. Birçok yinelemeli veya uzun zincirli işlemler için, aynı zamanda kümülatif sayısal yanlışlığa da neden olabilir. Tüm dönüştürme algoritmaları matematiksel olarak aynı sonuçları üretirken, hız ve sayısal doğruluk açısından farklılık gösterirler.

Geometri

Her polihedron, her kenarda, o kenarı paylaşan iki yüzün ilişkisini tanımlayan bir dihedral açıya sahiptir. Yüz açısı olarak da adlandırılan bu dihedral açı, çokyüzlüye göre iç açı olarak ölçülür . 0°'lik bir açı, yüz normal vektörlerinin antiparalel olduğu ve yüzlerin birbiriyle örtüştüğü anlamına gelir; bu, bunun dejenere bir çokyüzlülüğün parçası olduğu anlamına gelir . 180°'lik bir açı, bir döşemede olduğu gibi yüzlerin paralel olduğu anlamına gelir . Bir polihedronun içbükey kısımlarında 180°'den büyük bir açı vardır.

Kenar geçişli bir çokyüzlüdeki her dihedral açı aynı değere sahiptir. Bu, 5 Platonik katıyı , 13 Katalan katısını, 4 Kepler- Poinsot çokyüzlüünü , iki yarı - düzenli katıyı ve iki yarı-düzenli ikili katıyı içerir.

Ortak bir P noktasında buluşan ve AP, BP ve CP kenarlarına sahip olan bir polihedronun 3 yüzü verildiğinde, APC ve BPC içeren yüzler arasındaki dihedral açının kosinüsü:

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar