Tolman–Oppenheimer–Volkoff denklemi - Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation

Gelen astrofizik , Tolman-Oppenheimer-Volkoff'un (TOV) denklemi kısıtlar tarafından modellendiği haliyle, statik yerçekimi dengede olduğu izotrop bir malzemeden bir küresel simetrik yapısı genel görelilik . denklem

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}) }}\sağ)\sol(1+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}\sağ)\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{ 2}}}\sağ)^{-1}}$

Burada, bir radyal koordinattır ve ve yarıçaptaki malzemenin sırasıyla yoğunluğu ve basıncıdır . Miktar , içindeki toplam kütle aşağıda tartışılmaktadır. ${\metin stili r}$${\textstyle \rho (r)}$${\metin stili P(r)}$${\metin stili r}$${\metin stili m(r)}$${\metin stili r}$

Denklem, Einstein denklemlerinin zamanla değişmeyen, küresel simetrik bir metrik için çözülmesiyle elde edilir . Tolman–Oppenheimer–Volkoff denkleminin bir çözümü için bu metrik şu şekilde olacaktır:

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\sağ) ^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\sağ)}$

nerede kısıtlama tarafından belirlenir ${\textstyle \nu (r)}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}=-\left({\frac {2}{P+\rho c^{2}}}\sağ){\frac {dP}{dr}} }$

Bir takviye zaman durum denklemi , basınca yoğunluğu ile ilgilidir, Tolman-Oppenheimer-Volkoff'un denklemi tamamen dengede izotropik malzeme küresel simetrik yapısını belirler. Düzen terimleri ihmal edilirse, Tolman-Oppenheimer-Volkoff denklemi , genel göreli düzeltmeler önemli olmadığında küresel olarak simetrik bir izotropik malzeme gövdesinin denge yapısını bulmak için kullanılan Newton hidrostatik denklemi olur . ${\textstyle F(\rho ,P)=0}$${\textstyle 1/c^{2}}$

Denklem, bir vakumda sınırlı bir malzeme küresini modellemek için kullanılıyorsa, sıfır basınç koşulu ve koşul sınırda uygulanmalıdır. İkinci sınır koşulu, sınırdaki metrik, vakum alanı denklemlerinin benzersiz statik küresel simetrik çözümü ile sürekli olacak şekilde uygulanır , Schwarzschild metriği : ${\textstyle P(r)=0}$${\textstyle e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\sağ)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{ \frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ teta \,d\phi ^{2})}$

Toplam kütle

${\metin stili m(r)}$uzak bir gözlemci tarafından hissedilen yerçekimi alanı ile ölçülen yarıçap içinde bulunan toplam kütledir . tatmin eder . ${\metin stili r}$${\textstyle m(0)=0}$

${\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho }$

Burada, yine uzak bir gözlemci tarafından hissedilen yerçekimi alanı ile ölçülen nesnenin toplam kütlesidir. Sınır kısmında ise metrik sürekliliği ve tanımı, gerektirmektedir ${\metin stili M}$${\metin stili r=R}$${\metin stili m(r)}$

${\displaystyle M=m(R)=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \,dr}$

Öte yandan, cismin yoğunluğunu hacmine entegre ederek kütleyi hesaplamak, daha büyük değeri verecektir.

${\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}\rho }{\sqrt {1-{\frac {2Gm}{rc^{2 }}}}}}\,dr}$

Bu iki miktar arasındaki fark,

${\displaystyle \delta M=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\rho \left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2Gm}) {rc^{2}}}}}}\sağ)\,dr}$

olacak yerçekimi bağlanma enerjisi bölünür nesnenin ve negatiftir. ${\textstyle c^{2}}$

Genel görelilikten türetme

Statik, küresel simetrik mükemmel bir akışkan olduğunu varsayalım. Metrik bileşenleri, Schwarzschild metriği için olanlara benzer :

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^ {2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2 }\theta \,d\phi ^{2}}$

Mükemmel akışkan varsayımıyla, gerilim-enerji tensörü köşegendir (merkezi küresel koordinat sisteminde), enerji yoğunluğu ve basıncın özdeğerleri ile:

${\displaystyle T_{0}^{0}=\rho c^{2}}$

ve

${\displaystyle T_{i}^{j}=-P\delta _{i}^{j}}$

Akışkan yoğunluğu ve akışkan basıncı nerede . ${\textstyle \rho (r)}$${\metin stili P(r)}$

Daha ileri gitmek için Einstein'ın alan denklemlerini çözüyoruz:

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }}$

Önce bileşeni ele alalım : ${\textstyle G_{00}}$

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu }}{r^{2 }}}\left(1-{\frac {d}{dr}}yeniden^{-\lambda }\sağ)}$

Bu ifadeyi 0'dan 'a entegre ederek elde ederiz. ${\metin stili r}$

${\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm}{rc^{2}}}}$

nerede önceki bölümde tanımlandığı gibidir. Ardından, bileşeni düşünün . Açıkça, biz var ${\metin stili m(r)}$${\textstyle G_{11}}$

${\displaystyle -{\frac {8\pi G}{c^{4}}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda }-1}{r^ {2}}}}$

( için ifademizi kullanarak ) sadeleştirebileceğimiz${\textstyle e^{\lambda }}$

${\displaystyle {\frac {d\nu }{dr}}={\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\sağ)^ {-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\sağ)}$

Gerilim-enerji tensörünün sürekliliğini talep ederek ikinci bir denklem elde ederiz: . Bunu (konfigürasyonun statik olduğu varsayıldığından) ve bunu (konfigürasyon aynı zamanda izotropik olduğu için) gözlemleyerek, özellikle şunu elde ederiz: ${\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }^{\mu }=0}$${\textstyle \partial _{t}\rho =\partial _{t}P=0}$${\textstyle \kısmi _{\phi }P=\kısmi _{\theta }P=0}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\mu }T_{1}^{\mu }=-{\frac {dP}{dr}}-{\frac {1}{2}}\left(P+\rho c^{2}\sağ){\frac {d\nu }{dr}}\;}$

Terimleri yeniden düzenlemek verimleri:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\sağ){\frac {d\nu }{dr} }\;}$

Bu bize her ikisi de içeren iki ifade verir . ortadan kaldırarak elde ederiz: ${\textstyle d\nu /dr}$${\textstyle d\nu /dr}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\sağ)\ sol({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pi G}{c^{4}}}r^{2}P\sağ)\left(1-{ \frac {2Gm}{c^{2}r}}\sağ)^{-1}}$

2 faktörünü çıkarmak ve faktörleri yeniden düzenlemek ve Tolman–Oppenheimer–Volkoff denklemiyle sonuçlanır: ${\metin stili G/r}$${\textstyle c^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {G}{r^{2}}}\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\ sağ)\sol(m+4\pi r^{3}{\frac {P}{c^{2}}}\sağ)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r }}\sağ)^{-1}}$

Tarih

Richard C. Tolman , 1934 ve 1939'da küresel simetrik metrikleri analiz etti. Burada verilen denklemin formu, J. Robert Oppenheimer ve George Volkoff tarafından 1939 tarihli "On Massive Neutron Cores" makalesinde türetildi . Bu yazıda, nötronların yozlaşmış Fermi gazının durum denklemi , bir nötron yıldızının kütleçekimsel kütlesi için ~0.7 güneş kütlesinin üst sınırını hesaplamak için kullanıldı  . Bu durum denklemi bir nötron yıldızı için gerçekçi olmadığından, bu sınırlayıcı kütle de aynı şekilde yanlıştır. Kullanılması yerçekimsel dalga gözlemlerini ikili dan nötron yıldızı birleşmeler (gibi GW170817 ) ve elektromanyetik radyasyon (dan sonraki bilgileri kilonova ), veri maksimum kütle sınırı yakın 2.17 olduğunu düşündürmektedir güneş kütlesi . Bu limit için daha önceki tahminler 1,5 ila 3,0 güneş kütlesi aralığındadır.

Newton sonrası yaklaşım

In Sonrası Newton yakınlaştırılması , hafifçe saptığı yani yerçekimi alanları Newton alanın , denklem kuvvetleri cinsinden genişletilebilir . Başka bir deyişle, sahip olduğumuz ${\textstyle 1/c^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}\rho \left(1+{\frac {P}{\rho c^{2}) }}+{\frac {4\pi r^{3}P}{mc^{2}}}+{\frac {2Gm}{rc^{2}}}\sağ)+O(c^{- 4}).}$

Ayrıca bakınız

• hidrostatik denklem
• Tolman–Oppenheimer–Volkoff sınırı
• Einstein alan denklemlerinin çözümleri
• Statik küresel simetrik mükemmel akışkan

Referanslar