Termal dalgalanmalar - Thermal fluctuations

Bir kristalin yüzeyinde atomik difüzyon . Atomların sallanması, termal dalgalanmalara bir örnektir. Benzer şekilde, termal dalgalanmalar, atomların ara sıra bir yerden komşu bir yere sıçraması için gerekli enerjiyi sağlar. Basit olması için, mavi atomların termal dalgalanmaları gösterilmemiştir.

Olarak istatistiksel mekanik , termal dalgalanmaları dengedeki bir sistemde meydana ortalama durumundan sisteminin rastgele sapmalar vardır. Tüm termal dalgalanmalar, sıcaklık arttıkça daha büyük ve daha sık hale gelir ve aynı şekilde, sıcaklık mutlak sıfıra yaklaştıkça azalır .

Termal dalgalanmalar, sistemlerin sıcaklığının temel bir tezahürüdür : Sıfır olmayan sıcaklıktaki bir sistem, denge mikroskobik durumunda kalmaz, bunun yerine Boltzmann dağılımı tarafından verilen olasılıklarla tüm olası durumları rastgele örnekler .

Termal dalgalanmalar genellikle bir sistemin tüm serbestlik derecelerini etkiler : Rastgele titreşimler ( fononlar ), rastgele dönüşler ( rotonlar ), rastgele elektronik uyarılar vb. olabilir.

Basınç, sıcaklık veya entropi gibi termodinamik değişkenler de aynı şekilde termal dalgalanmalara maruz kalır . Örneğin, denge basıncına sahip bir sistem için, sistem basıncı denge değeri civarında bir dereceye kadar dalgalanır.

Yalnızca istatistiksel toplulukların 'kontrol değişkenleri' ( mikrokanonik topluluktaki partikül sayısı N , hacim V ve iç enerji E gibi ) dalgalanmaz.

Termal dalgalanmalar birçok sistemde bir gürültü kaynağıdır . Termal dalgalanmalara neden rasgele kuvvetleri, kaynağıdır difüzyon ve dağılımı (dahil sönümleme ve viskozite ). Rastgele sürüklenmenin ve sürüklenmeye karşı direncin rekabet eden etkileri, dalgalanma-dağılım teoremi ile ilişkilidir . Termal dalgalanmalar, faz geçişlerinde ve kimyasal kinetikte önemli bir rol oynar .

Merkezi Limit Teoremi

Bir serbestlik derecesi sistemi tarafından işgal edilen faz uzayının hacmi, konfigürasyon hacminin ve momentum uzay hacminin ürünüdür . Enerji, göreli olmayan bir sistem için momentumun ikinci dereceden bir formu olduğundan, momentum uzayının yarıçapı , bir hiper kürenin hacmi, bir faz hacmi vererek değişecek şekilde olacaktır .

burada sistemin belirli özelliklerine bağlı bir sabittir ve Gama işlevidir. Bu hiper kürenin çok yüksek bir boyuta sahip olması durumunda, ki bu termodinamikte olağan durumdur, esasen tüm hacim yüzeye yakın olacaktır.

özyineleme formülünü kullandığımız yer .

Yüzey alanının iki dünyada bacakları vardır: (i) enerjinin bir fonksiyonu olarak kabul edildiği makroskopik olan ve faz hacminin farklılaşmasında sabit tutulan hacim gibi diğer kapsamlı değişkenler, ve (ii) belirli bir makroskopik durumla uyumlu olan ciltlerin sayısını temsil ettiği mikroskobik dünya. Planck'ın "termodinamik" olasılık olarak adlandırdığı bu miktardır. Normalize edilemediği için klasik bir olasılıktan farklıdır; yani, tüm enerjiler üzerindeki integrali birbirinden uzaklaşır - ancak enerjinin gücü olarak ayrılır ve daha hızlı değil. Tüm enerjiler üzerindeki integrali sonsuz olduğundan, Laplace dönüşümünü düşünmeye çalışabiliriz.

hangi fiziksel bir yorum verilebilir. Pozitif bir parametre olan üssel azalan faktör, hızla artan yüzey alanını aşacak ve böylece belirli bir enerjide çok keskin bir tepe noktası oluşacaktır . İntegralin katkısının çoğu, enerjinin bu değeri ile ilgili yakın bir çevreden gelecektir. Bu, aşağıdakilere göre uygun bir olasılık yoğunluğunun tanımlanmasını sağlar.

tüm enerjiler üzerindeki integrali , bölme işlevi veya üretici işlev olarak adlandırılan tanımının gücü üzerinde birliktir . İkinci isim, logaritmasının türevlerinin merkezi momentleri üretmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır, yani,

ve böyle devam eder, burada birinci terim ortalama enerjidir ve ikincisi enerjideki dağılımdır.

Aslında artar hiçbir hızlı enerji aktarımı sağlar bir gücünden daha bu anlar sonlu olacağı. Bu nedenle, Gauss dalgalanmaları (yani ortalama ve en olası değerler çakışır) için çakışacak olan ortalama değer hakkındaki faktörü genişletebiliriz ve en düşük mertebeden terimleri koruyarak sonuçlanabilir.

Bu, ilk iki momenti tarafından tanımlanan Gauss veya normal dağılımdır. Genel olarak, 'yapı' işlevi olarak adlandırılan önceki yoğunluğun aksine, kurallı veya sonsal yoğunluk olarak adlandırılan olasılık yoğunluğunu belirtmek için tüm momentlere ihtiyaç duyulur . Bu, termodinamik sistemler için geçerli olduğu için merkezi limit teoremidir .

Faz hacmi olarak artarsa , bölme fonksiyonu olan Laplace dönüşümü, olarak değişecektir . Bu yapı, işlev için bir ekspresyon olacak şekilde normal dağılım yeniden düzenlenmesi ve en değerlendirirken -ver

Birinci anın ifadesinden , ikinci merkezi andan itibaren, . Bu iki ifadenin, enerjinin ortalama değerinde değerlendirilen yapı fonksiyonunun ifadesine dahil edilmesi,

.

Payda tam olarak Stirling'in yaklaşık değeridir ve yapı fonksiyonu enerjinin tüm değerleri için aynı fonksiyonel bağımlılığı koruyorsa, kanonik olasılık yoğunluğu,

gama yoğunlukları olarak bilinen üstel dağılım ailesine ait olacaktır. Sonuç olarak, kanonik olasılık yoğunluğu, bağımsız ve özdeş olarak dağılmış bir rastgele değişkenler dizisinin, dizi sınırsız olarak arttıkça normal yasaya yöneldiğini iddia eden yerel büyük sayılar yasasının yetkisi altına girer.

Denge ile ilgili dağılım

Aşağıda verilen ifadeler, dengeye yakın ve ihmal edilebilir kuantum etkileri olan sistemler içindir.

Tek değişken

Diyelim ki bir termodinamik değişken. Olasılık dağılımı için entropi ile belirlenir :

Entropi, Taylor'ın maksimumu ( denge durumuna karşılık gelen) etrafında genişlemişse , en düşük dereceli terim bir Gauss dağılımıdır :

Miktar , ortalama kare dalgalanmadır.

Çoklu değişkenler

Yukarıdaki ifade, olasılık dağılımı için basit bir genellemeye sahiptir :

ortalama değeri nerede ?

Temel termodinamik büyüklüklerin dalgalanmaları

Aşağıdaki tabloda, termodinamik değişkenlerin ve bir cismin herhangi bir küçük bölümündeki ortalama kare dalgalanmaları verilmiştir . Bununla birlikte, küçük parça, ihmal edilebilir kuantum etkilerine sahip olmak için hala yeterince büyük olmalıdır.

Ortalamalar termodinamik dalgalanmaların. olan ısı kapasitesi sabit basınçta; olan ısı kapasitesi sabit hacimde.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

  • Khinchin, AI (1949). İstatistik Mekaniğin Matematiksel Temelleri . Dover Yayınları . ISBN'si 0-486-60147-1.
  • Lavenda, BH (1991). İstatistiksel Fizik: Olasılıksal Bir Yaklaşım . Wiley-Interscience . ISBN'si 0-471-54607-0.
  • Landau, LD; Lifshitz, EM (1985). İstatistiksel Fizik, Bölüm 1 (3. baskı). Bergama Basın . ISBN'si 0-08-023038-5.