dörtyüzlü - Tetrahedron

düzenli tetrahedron
(Döner model için tıklayınız)
Tip	Platonik katı
kısa kod	3> 2z
Elementler	F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2)
yan yüzler	4{3}
Conway gösterimi	T
Schläfli sembolleri	{3,3}
	h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Yüz yapılandırması	V3.3.3
Wythoff sembolü	3 | 2 3 | 2 2 2
Coxeter diyagramı	=
Simetri	T D , A, 3 , [3,3], (* 332)
Rotasyon grubu	T , [3,3] + , (332)
Referanslar	U 01 , C 15 , W 1
Özellikler	düzenli , dışbükey deltahedron
Dihedral açı	70.528779° = arccos( 1 ⁄ 3 )
3.3.3 ( Tepe şekli )	Kendinden çift ( çift ​​çokyüzlü )
Ağ

İn geometrisi , bir dörtyüzlü : (çoğul tetrahedra veya yüzlüler olarak da bilinen), üçgen piramit , a, çok yüzlü , dört oluşan üçgen yüzleri , altı düz kenarları ve dört köşe köşe . Dörtyüzlü, tüm sıradan dışbükey çokyüzlülerin en basitidir ve 5'ten az yüzü olan tektir.

Tetrahedron, daha genel bir Öklid simpleksinin üç boyutlu halidir ve bu nedenle 3-simplex olarak da adlandırılabilir .

Dörtyüzlü, düz bir çokgen tabanı ve tabanı ortak bir noktaya bağlayan üçgen yüzleri olan bir çokyüzlü olan bir tür piramittir . Bir tetrahedron durumunda taban bir üçgendir (dört yüzden herhangi biri taban olarak kabul edilebilir), bu nedenle bir tetrahedron "üçgen piramit" olarak da bilinir.

Tüm dışbükey çokyüzlüler gibi , bir tetrahedron tek bir kağıt yaprağından katlanabilir. Böyle iki ağa sahiptir .

Herhangi tetrahedron'un için (denilen bir küre vardır circumsphere dört köşe yalan hangi) ve başka küreyi ( insphere ) teğet Tetrahedron yüzlerinin.

düzenli tetrahedron

Bir Düzenli tetrahedron dört yüzleri olduğu bir tetrahedron olan eşkenar üçgenler . Antik çağlardan beri bilinen beş düzenli Platonik katıdan biridir.

Düzenli bir dörtyüzlüde, tüm yüzler aynı boyut ve şekildedir (uyumlu) ve tüm kenarlar aynı uzunluktadır.

Düzenli tetrahedra tek başına mozaik oluşturmaz (boşluğu doldurmaz), ancak iki tetrahedranın bir oktahedron oranında düzenli oktahedra ile değiştirilirse , bir mozaik olan alternatif kübik petek oluştururlar. Dahil olmak üzere düzenli olmayan bazı tetrahedra'nın, schläfli ortoşema ve Tepesi tetrahedron , ile mozaik olabilir .

Düzenli tetrahedron kendi kendine çifttir, bu da onun dualinin başka bir düzenli tetrahedron olduğu anlamına gelir . Bu tür iki ikili dörtyüzlüden oluşan bileşik şekil, yıldız şeklinde bir oktahedron veya yıldız sekizgen oluşturur.

Düzenli bir tetrahedron için koordinatlar

Aşağıdaki Kartezyen koordinatlar, orijinde ortalanmış kenar uzunluğu 2 ve iki düz kenarı olan bir dört yüzlünün dört köşesini tanımlar:

${\displaystyle \left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sağ)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1, {\frac {1}{\sqrt {2}}}\sağ)}$

Birim küre üzerinde simetrik olarak 4 nokta olarak ifade edilir , merkezde orijinde, daha düşük yüz seviyesiyle, köşeler şunlardır:

${\displaystyle v_{1}=\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\sağ)}$

${\displaystyle v_{2}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{ 3}}\sağ)}$

${\displaystyle v_{3}=\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1} {3}}\sağ)}$

${\displaystyle v_{4}=(0,0,1)}$

kenar uzunluğu ile . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{3}}}}$

Yine başka bir koordinat seti, kenar uzunluğu 2 olan alternatif bir küp veya demicube'a dayanmaktadır . Bu form Coxeter diyagramına sahiptir. ve Schläfli sembolü h{4,3}. Bu durumda tetrahedron kenar uzunluğu 2 √ 2'dir . Bu koordinatları ters çevirmek ikili dörtyüzlü oluşturur ve çift birlikte, köşeleri orijinal küpünki olan yıldız şekilli sekiz yüzlüyü oluşturur.

Dörtyüzlü: (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)

Çift dörtyüzlü: (-1,-1,-1), (-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)

Açılar ve mesafeler

Kenar uzunluğu a olan düzgün bir dörtyüzlü için :

Yüz bölgesi	${\displaystyle A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,}$
Yüzey alanı	${\displaystyle A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,}$
Piramidin yüksekliği	${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,}$
Merkezden tepe noktasına uzaklık	${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,h={\frac {\sqrt {6}}{4}}\,a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\ ,a\,}$
Kenardan zıt kenar mesafesine	${\displaystyle l={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,a\,}$
Ses	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}h={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}={\frac {a^{3} }{6{\sqrt {2}}}}\,}$
Yüz-tepe-kenar açısı	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\sağ)=\arctan \left({\sqrt {2}}\sağ)\,}$ (yaklaşık 54.7356°)
Yüz-kenar-yüz açısı , yani "iki yüzlü açı"	${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\sağ)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\sağ)\,}$ (yaklaşık 70.5288°)
Köşe-Merkez-Köşe açısı, tetrahedron merkezinden herhangi iki köşeye doğrular arasındaki açı. Aynı zamanda bir tepe noktasındaki Plato sınırları arasındaki açıdır . Kimyada buna tetrahedral bağ açısı denir . Bu açı (radyan cinsinden), aynı zamanda, tetrahedronun bir kenarının küreye merkezi olarak çıkıntı yapmasından kaynaklanan birim küre üzerindeki jeodezik segmentin yay uzunluğudur.	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\sağ)=2\arctan \left({\sqrt {2}}\sağ)\,}$ (yaklaşık 109.4712°)
Bir yüz tarafından karşılanan bir tepe noktasındaki katı açı	${\displaystyle \arccos \sol({\frac {23}{27}}\sağ)}$ (yakl. 0,55129 steradians ) (yakl. 1809,8 kare derece )
Yarıçapı circumsphere	${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,}$
Yüzlere teğet olan küre yarıçapı	${\displaystyle r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}\,}$
Kenarlara teğet olan orta kürenin yarıçapı	${\displaystyle r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}}\,}$
Ekspheres yarıçapı	${\displaystyle r_{\mathrm {E}}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\,}$
Karşı tepe noktasından dış küre merkezine olan uzaklık	${\displaystyle d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,}$

Taban düzlemine göre eğimli bir yüzün (2 √ 2 ) iki kez, bir kenarı (taşımaktadır √ 2 olgusuna karşılık gelen), yatay tabanından kat edilen mesafe tepe noktası iki kez birlikte bir kenarı boyunca olan bir yüzün ortancası . Diğer bir deyişle, Cı olan ağırlık merkezi baz, mesafe C bazın bir tepe için iki katı olan C bazın bir kenarının orta noktasına. Bu, bir üçgenin medyanlarının merkezinde kesiştiği gerçeğinden kaynaklanır ve bu nokta, her birini, biri diğerinin iki katı uzunluğunda olan iki parçaya böler ( kanıta bakınız ).

Kenar uzunluğu a , çevreleyen küresinin yarıçapı R ve 3-uzayda rastgele bir noktadan dört köşesine d _i uzaklıklarına sahip düzgün bir dörtyüzlü için ,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{ 4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^) {2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\sağ)^{2};\\4\left(a^{4 }+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\sağ)&=\left(a^{2} +d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\sağ)^{2}.\end{aligned}} }$

Düzenli tetrahedronun izometrileri

Bir küpün köşeleri , her biri düzenli bir tetrahedron oluşturan dörtlü iki gruba ayrılabilir (yukarıya bakın ve ayrıca küpteki iki tetrahedradan birini gösteren animasyon ). Simetrileri Bir küpün olanların yarısına düzenli tetrahedron tekabül ait: tetrahedra haritasına olanlar kendilerine değil, birbirine.

Tetrahedron, nokta tersine çevrilmesiyle kendisine eşlenmemiş tek Platonik katıdır .

Düzenli tetrahedron oluşturan 24 İzometriler sahip simetri grubu T _d , izomorf (* 332), [3,3] , simetrik grubu , S ₄ . Aşağıdaki gibi kategorize edilebilirler:

• T , [3,3] ⁺ , (332), alternatif grup , A ₄ (özdeşlik ve 11 uygun rotasyon) ile aşağıdaki eşlenik sınıfları ile izomorfiktir (parantez içinde köşelerin permütasyonları veya buna uygun olarak yüzler verilmiştir, ve birim kuaterniyon gösterimi ):
  • kimlik (kimlik; 1)
  • ±120°'lik bir açıyla karşı düzleme dik bir tepe boyunca bir eksen etrafında dönme: 4 eksen, eksen başına 2, birlikte 8 ((1 2 3) , vb.; 1 ± ben ± j ± k/2)
  • 180°'lik bir açıyla döndürme, böylece bir kenar karşı kenara eşlenir: 3 ((1 2)(3 4) , vb.; i , j , k )
• bir kenara dik bir düzlemde yansımalar: 6
• düzleme dik bir eksen etrafında 90° dönüşle birleştirilmiş bir düzlemdeki yansımalar: 3 eksen, eksen başına 2, birlikte 6; eşdeğer olarak, ters çevirme ile birleştirilmiş 90° dönüşlerdir ( x , − x ile eşlenir ): dönüşler, küpün yüz yüze eksenler etrafındaki dönüşlerine karşılık gelir

Düzenli dörtyüzlülerin ortogonal izdüşümleri

Düzenli dörtyüzlü , iki özel dik çıkıntıya sahiptir , biri bir tepe noktası üzerinde veya eşit olarak bir yüz üzerinde ortalanmış ve diğeri bir kenar üzerinde ortalanmış. Birincisi A ₂ Coxeter düzlemine karşılık gelir .

Ortografik projeksiyon

tarafından merkezli	Yüz/tepe noktası	Köşe
resim
projektif simetri	[3]	[4]

Düzenli tetrahedron kesiti

Düzenli bir tetrahedronun iki çarpık dik karşıt kenarı, bir dizi paralel düzlemi tanımlar. Bu düzlemlerden biri tetrahedronla kesiştiğinde ortaya çıkan kesit bir dikdörtgendir . Kesişen düzlem kenarlardan birine yakın olduğunda dikdörtgen uzun ve incedir. İki kenarın ortasındayken kesişim karedir . Bu orta noktayı geçtiğinizde dikdörtgenin en boy oranı tersine döner. Orta nokta kare kesişimi için ortaya çıkan sınır çizgisi, tetrahedronun her yüzünü benzer şekilde geçer. Dörtyüzlü bu düzlemde ikiye bölünürse, her iki yarı da kama olur .

Bu özellik , iki özel kenar çiftine uygulandığında tetragonal disfenoidler için de geçerlidir .

küresel döşeme

Tetrahedron ayrıca küresel bir döşeme olarak temsil edilebilir ve bir stereografik izdüşüm yoluyla düzleme yansıtılabilir . Bu izdüşüm uyumludur , açıları korur, ancak alanları veya uzunlukları korumaz. Küre üzerindeki düz çizgiler, düzlem üzerinde dairesel yaylar olarak yansıtılır.

Ortografik projeksiyon	stereografik izdüşüm

sarmal istifleme

Düzenli tetrahedra, Boerdijk-Coxeter sarmalı adı verilen kiral bir periyodik olmayan zincirde yüz yüze istiflenebilir . Olarak dört boyutta , tüm dışbükey normal 4-polytopes tetrahedral hücreleri ile ( 5-hücresi , 16-hücresi ve 600 hücre ) ve tilings gibi yapılabilir 3-küre üç boyutlu periyodik hale bu zincirler ile 4-politopun sınır yüzeyinin alanı.

Diğer özel durumlar

Dörtyüzlü simetri alt grup ilişkileri

Dörtyüzlü diyagramlarda gösterilen dörtyüzlü simetriler

Bir ikizkenar dörtyüzlü ayrıca denilen Disfenoid , dört yüzler bir tetrahedron olan uyumlu üçgenler. Bir boşluk doldurucu tetrahedron gibi karo uzaya kendisinin uyumlu kopya ile paketleri Disfenoid tetrahedral petek .

Bir trirectangular dört yüzlü bir tepe üç yüz açılardır doğru açılar . Bir tetrahedronun üç çift zıt kenarı da dik ise, buna ortosentrik tetrahedron denir . Yalnızca bir çift zıt kenar dik olduğunda, buna yarı ortosentrik tetrahedron denir . Bir eşkuvvetli tetrahedron olduğu bir dengedir cevians vertices birleştirme incenters karşılıklı yüze olan aynı anda ve bir eş açılı tetrahedron ile karşılıklı yüze temas noktalarına köşe birleştirme eşzamanlı cevians sahip yazılı küre tetrahedron .

Düzensiz tetrahedra izometrileri

Düzensiz (işaretsiz) bir tetrahedronun izometrileri, 7 vaka ile tetrahedronun geometrisine bağlıdır. Her durumda 3 boyutlu bir nokta grubu oluşturulur. Yüz veya kenar işaretlemesi dahil edilirse diğer iki izometri (C ₃ , [3] ⁺ ) ve (S ₄ , [2 ⁺ ,4 ⁺ ]) mevcut olabilir. Aşağıda her bir tip için dörtyüzlü diyagramlar dahil edilmiştir, kenarları izometrik eşdeğerliğe göre renklendirilmiştir ve benzersiz kenarlar için gri renklidir.

dörtyüzlü adı				Kenar denklik diyagramı	Açıklama
Simetri
Schön.	Cox.	Küre	Kat.
düzenli tetrahedron					Dört eşkenar üçgen Bu simetri grubu oluşturur , T d izomorf, simetrik grubu , S 4 . Düzenli bir tetrahedron Coxeter diyagramına sahiptir ve Schläfli sembolü {3,3}.
T d T	[3,3] [3,3] +	*332 332	24 12
Üçgen piramit					Bir eşkenar üçgen tabanı ve üç eşit ikizkenar üçgen kenarı Tabanın 6 izometrisine karşılık gelen 6 izometri verir. Köşe permütasyon gibi, bu 6 izometri simetri grup oluşturan kimlik 1, (123), (132), (12), (13) ve (23) yanında, Cı 3V , izomorf simetrik grubu , S 3 . Üçgen piramidin Schläfli sembolü {3}∨( ) vardır.
C 3v Cı 3	[3] [3] +	*33 33	6 3
aynalı sfenoid					Ortak bir taban kenarına sahip iki eşit skalen üçgen Bunun iki çift eşit kenarı (1,3), (1,4) ve (2,3), (2,4) vardır ve aksi halde eşit kenar yoktur. Sadece iki izometri 1 ve grup veren yansıma (34), Cı- s da izomorfik, siklik grup , Z, 2 .
C s = C 1h = C 1v	[ ]	*	2
Düzensiz tetrahedron (simetri yok)					Dört eşit olmayan üçgen Tek izometrisi özdeşliktir ve simetri grubu önemsiz gruptur . Düzensiz bir dörtyüzlü, Schläfli sembolüne ( )∨( )∨( )∨( ) sahiptir.
Cı 1.	[ ] +	1	1
Disfenoidler (Dört eşit üçgen)
dörtgen disfenoid					Dört eşit ikizkenar üçgen 8 izometrisi vardır. (1,2) ve (3,4) kenarları diğer 4'ten farklı uzunluktaysa, 8 izometri özdeşlik 1, yansımalar (12) ve (34) ve 180° dönüşler (12)(34), (13)(24), (14)(23) ve simetri grubu D 2d'yi oluşturan uygunsuz 90° dönüşler (1234) ve (1432) . Bir tetragonal disfenoidin Coxeter diyagramı vardır ve Schläfli sembolü s{2,4}.
D 2d S 4	[2 + ,4] [2 + ,4 + ]	2*2 2×	8 4
eşkenar dörtgen disfenoid					Dört eşit skalen üçgen 4 izometrisi vardır. İzometriler 1 ve 180° dönüşlerdir (12)(34), (13)(24), (14)(23). Bu Klein dört grup V 4 ya da Z, 2 2 nokta grubu olarak, bu D 2 . Eşkenar dörtgen bir disfenoidin Coxeter diyagramı vardır ve Schläfli sembolü sr{2,2}.
D 2.	[2,2] +	222	4
Genelleştirilmiş disfenoidler (2 çift eşit üçgen)
digonal disfenoid					İki çift eşit ikizkenar üçgen Bu, dik fakat farklı uzunluklarda iki zıt kenar (1,2) ve (3,4) verir ve ardından 4 izometri 1, yansımalar (12) ve (34) ve 180° dönüş (12)(34) olur. . Simetri grubu olduğu Cı- 2v izomorf, Klein, dört grup V 4 . Digonal disfenoidde Schläfli sembolü { }∨{ } bulunur.
C 2v Cı 2	[2] [2] +	*22 22	4 2
fillik disfenoid					İki çift eşit skalen veya ikizkenar üçgen Bunun iki çift eşit kenarı (1,3), (2,4) ve (1,4), (2,3) vardır, ancak bunun dışında eşit kenar yoktur. Sadece iki izometri 1 ve dönme (12) (34), grup veren C 2 izomorf siklik grup , Z, 2 .
Cı- 2	[2] +	22	2

Genel Özellikler

Ses

Bir tetrahedronun hacmi, piramit hacim formülü ile verilir:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$

burada A ₀ tabanın alanıdır ve h tabandan tepeye olan yüksekliktir. Bu, tabanın dört seçeneğinin her biri için geçerlidir, dolayısıyla apekslerden karşıt yüzlere olan mesafeler bu yüzlerin alanlarıyla ters orantılıdır.

Köşeleri a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) , c = ( c ₁ , c ₂ , c ₃ ) ve d = ( d ₁ ) olan bir tetrahedron için , d ₂ , d ₃ ) , hacim1/6| det ( a - d , b - d , c - d )| veya basit bağlantılı bir grafik oluşturan köşe çiftlerinin herhangi bir kombinasyonu . Bu kullanılarak yeniden olabilir nokta ürünün ve bir çapraz ürün verecek şekilde

${\displaystyle V={\frac {|(\mathbf {a} -\mathbf {d} )\cdot ((\mathbf {b} -\mathbf {d} ) )\times (\mathbf {c} -\mathbf {d} ))|}{6}}.}$

Koordinat sisteminin orijini tepe noktası d ile çakışacak şekilde seçilirse , o zaman d = 0, yani

${\displaystyle V={\frac {|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}{6}},}$

burada a , b ve c bir tepe noktasında buluşan üç kenarı temsil eder ve a · ( b × c ) bir skaler üçlü çarpımdır . Bu formülü paralel yüzlü bir yapının hacmini hesaplamak için kullanılan formülle karşılaştırarak , bir dört yüzlünün hacminin şuna eşit olduğu sonucuna varıyoruz.1/6 Üç yakınsayan kenarı paylaşan herhangi bir paralelyüzün hacmi.

Skaler üçlü ürünün mutlak değeri, determinantların aşağıdaki mutlak değerleri olarak gösterilebilir:

${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$ veya nerede satır veya sütun vektörleri olarak ifade edilir. ${\displaystyle 6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}}$  ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2} ,b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}}$ 

Buradan

${\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \ mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}}$ nerede ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\ alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{durumlar}}}$

hangi verir

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}$

burada α , β , γ d köşesinde meydana gelen düzlem açılarıdır . α açısı , d tepe noktasını b ve c köşelerine bağlayan iki kenar arasındaki açıdır . β açısı a ve c köşeleri için bunu yapar , γ ise a ve b köşelerinin konumu ile tanımlanır .

d = 0 olmasını istemiyorsak, o zaman

${\displaystyle 6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{ 2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\sağ)\sağ|\,.}$

Bir tetrahedronun köşeleri arasındaki mesafeler göz önüne alındığında, hacim Cayley-Menger determinantı kullanılarak hesaplanabilir :

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12 }^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_ {14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}$

burada i , j ∈ {1, 2, 3, 4} alt simgeleri { a , b , c , d } köşelerini temsil eder ve d _ij aralarındaki ikili mesafedir – yani, iki köşeyi birleştiren kenarın uzunluğu. Determinantın negatif değeri, verilen mesafelerle bir tetrahedron inşa edilemeyeceği anlamına gelir. Bazen Tartaglia'nın formülü olarak adlandırılan bu formül , esasen 15. yüzyılda ressam Piero della Francesca'ya , 1. yüzyılda Heron'un bir üçgenin alanı formülünün üç boyutlu bir benzerine dayanmaktadır .

İfade , b, a, c üç kenarı bir noktada karşılaşır, ve olmak x, y, z zıt kenarları. V , tetrahedronun hacmi olsun ; sonra

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}- c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$

nerede

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2} ,\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{hizalı}}}$

Yukarıdaki formül altı uzunlukta kenar kullanır ve aşağıdaki formül üç uzunluk kenar ve üç açı kullanır.

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$

Bir tetrahedronun hacmi için balıkçıl tipi formül

Eğer U , V , W , U , V , W (ilk üç şekilde bir üçgen yüzlü kenarlarının uzunlukları U karşısında bulunan U ve benzeri), daha sonra

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p +q+rs)}}{192\,u\,v\,w}}}$

nerede

${\displaystyle {\begin{hizalı}p&={\sqrt {xYZ}},&q&={\sqrt {yZX}},&r&={\sqrt {zXY}},&s&={\sqrt {xyz}},\ bitiş{hizalı}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(w-U+v)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(v-w+U),\\Y& =(u-V+w)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(w-u+V),\\Z&=(v-W+u)\, (W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{hizalı}}}$

Hacim bölücü

Bir tetrahedronun bimedyanını (karşıt kenarların orta noktalarının bağlayıcısı) içeren herhangi bir düzlem , tetrahedronun hacmini ikiye böler .

Öklid dışı hacim

İçinde tetrahedra için hiperbolik alanı ya da üç boyutlu olarak eliptik geometriye , dihedral açı tetrahedron dolayısıyla hacim şeklini belirler ve. Bu durumlarda, hacim Murakami-Yano formülüyle verilir . Bununla birlikte, Öklid uzayında, bir tetrahedronun ölçeklenmesi hacmini değiştirir, ancak dihedral açılarını değiştirmez, dolayısıyla böyle bir formül mevcut olamaz.

Kenarlar arasındaki mesafe

Bir tetrahedronun herhangi iki zıt kenarı iki eğri çizgi üzerinde bulunur ve kenarlar arasındaki mesafe, iki eğri çizgi arasındaki mesafe olarak tanımlanır. Burada hesaplandığı gibi, a ve b - c karşıt kenarlarının oluşturduğu çarpık çizgiler arasındaki mesafe d olsun . Daha sonra başka bir hacim formülü verilir

${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(bc)} )|}{6}}.}$

Üçgenin özelliklerine benzer özellikler

Tetrahedron, bir iç küre, çevre küre, orta tetrahedron ve dış küreler dahil olmak üzere bir üçgeninkine benzer birçok özelliğe sahiptir. Merkez , dairesel merkez , dış merkezler, Spieker merkezi gibi ilgili merkezlere ve bir merkez gibi noktalara sahiptir. Ancak, kesişen yükseklikler anlamında genellikle bir ortocenter yoktur.

Gaspard Monge , her tetrahedronda bulunan ve şimdi Monge noktası olarak bilinen bir merkez buldu: bir tetrahedronun altı orta düzleminin kesiştiği nokta. Orta düzlem, diğer iki köşenin birleştirilmesiyle oluşturulan karşı kenarın ağırlık merkezini de içeren herhangi iki köşeyi birleştiren bir kenara dik olan bir düzlem olarak tanımlanır. Dörtyüzlülerin yükseklikleri kesişirse, o zaman Monge noktası ve ortomerkez, ortosentrik dörtyüzlü sınıfını vermek için çakışır .

Monge noktasından herhangi bir yüze bırakılan ortogonal bir çizgi, o yüzün ortomerkezi ile karşı tepe noktasından atılan yüksekliğin ayağı arasındaki çizgi parçasının orta noktasında o yüzle buluşur.

Bir tetrahedronun tepe noktası ile karşı yüzün ağırlık merkezini birleştiren doğru parçasına medyan , karşılıklı iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına da tetrahedronun bimedyanı denir . Dolayısıyla bir tetrahedronda dört medyan ve üç bimedyan vardır. Bu yedi doğru parçası , tetrahedronun ağırlık merkezi olarak adlandırılan bir noktada eşzamanlıdır . Ek olarak, dört medyan, ağırlık merkezi tarafından 3: 1 oranında bölünür (bkz. Commandino teoremi ). Bir tetrahedronun ağırlık merkezi, Monge noktası ile çevre merkezi arasındaki orta noktadır. Bu noktalar , bir üçgenin Euler çizgisine benzer olan tetrahedronun Euler çizgisini tanımlar .

Dokuz noktası daire genel üçgen bir Tetrahedron en orta tetrahedron circumsphere bir analog bulunmaktadır. Bu on iki noktalı küredir ve referans tetrahedronun dört yüzünün ağırlık merkezlerinin yanı sıra , dört köşenin her birine doğru Monge noktasından üçte biri olan dört yedek Euler noktasından geçer . Son olarak, her Euler noktasından Euler noktasını oluşturan tepe noktasını içermeyen yüze bırakılan ortogonal çizgilerin dört taban noktasından geçer.

On iki noktalı kürenin T merkezi de Euler doğrusu üzerindedir. Üçgen şeklindeki karşılığının aksine, bu merkez, Monge noktasından M çevre merkezine doğru olan yolun üçte biri kadardır. Ayrıca, T'den seçilen bir yüze dik bir çizgi, aynı yüze giden diğer iki dik çizgiyle aynı düzlemdedir. Birincisi, karşılık gelen Euler noktasından seçilen yüze geçen ortogonal bir çizgidir. İkincisi, seçilen yüzün merkezinden geçen ortogonal bir çizgidir. On iki noktalı merkezden geçen bu ortogonal çizgi, Euler noktası ortogonal çizgisi ile merkez ortogonal çizgisinin ortasında yer alır. Ayrıca, herhangi bir yüz için, on iki noktalı merkez, karşılık gelen Euler noktasının orta noktasında ve bu yüz için ortomerkezde bulunur.

On iki noktalı kürenin yarıçapı, referans tetrahedronun çevresinin üçte biri kadardır.

tarafından verilen genel bir tetrahedronun yüzlerinin yaptığı açılar arasında bir ilişki vardır.

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\ \\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _ {13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

burada α _ij , i ve j yüzleri arasındaki açıdır .

Geometrik ortalama bir tetrahedron ve eş açılı merkezi tepe konumu koordinatları bir üçgen için gözlemlenenlere benzer durumlar altında, ilişkilidir. Lorenz Lindelöf , herhangi bir dörtyüzlüye karşılık gelen, şimdi izogonik merkez olarak bilinen bir nokta olduğunu buldu, O , yüzlerin oluşturduğu katı açıların eşit olduğu, ortak bir π sr değerine sahip ve bu noktada açılar karşıt açılardan oluşuyor. kenarları eşittir. Bir π sr katı açısı, tüm uzayın gördüğü açının dörtte biridir. Tetrahedralin köşelerinde tüm katı açıları π sr daha küçük olduğunda, O mesafelerin toplamı yalan tetrahedron içinde, çünkü O köşe minimum olduğu O ile çakışır geometrik medyan , M köşelerin, . Köşelerden birindeki katı açının, v , tam olarak π sr ölçmesi durumunda, O ve M , v ile çakışır . Bununla birlikte, bir dörtyüzlü, katı açısı π sr'den büyük olan bir tepe noktasına, v 'ye sahipse , M yine de v'ye karşılık gelir , ancak O , dört yüzlünün dışındadır.

geometrik ilişkiler

Bir tetrahedron 3- simplekstir . Diğer Platonik katıların durumundan farklı olarak, düzgün bir tetrahedronun tüm köşeleri birbirinden eşit uzaklıktadır (3 boyutlu uzayda dört eşit uzak noktanın tek olası düzenlemesidir).

Bir tetrahedron üçgen bir piramittir ve düzenli tetrahedron kendi kendine çifttir .

Düzenli bir tetrahedron bir küpün içine iki şekilde gömülebilir , öyle ki her köşe küpün bir tepe noktasıdır ve her kenar küpün yüzlerinden birinin köşegenidir. Böyle bir yerleştirme için, kartezyen koordinatlar arasında köşe olan

(+1, +1, +1);

(-1, -1, +1);

(-1, +1, -1);

(+1, -1, -1).

Bu , orijinde ortalanmış kenar uzunluğu 2 √ 2 olan bir tetrahedron verir . Diğer tetrahedron için ( birincisinin ikilisi ), tüm işaretleri tersine çevirin. Bu iki tetrahedranın köşeleri bir küpün köşeleridir, bu da düzenli tetrahedronun 3- demicube olduğunu gösterir .

Bu tetrahedronun hacmi, küpün hacminin üçte biri kadardır. Her iki tetrahedrayı birleştirmek , iki tetrahedra veya stella octangula bileşiği olarak adlandırılan düzenli bir çokyüzlü bileşik verir .

Stella octangula'nın iç kısmı bir oktahedrondur ve buna uygun olarak, düzenli bir oktahedron, normal bir dörtyüzlüden, lineer boyutun yarısına sahip dört düzenli dörtyüzlü (yani, dörtyüzlü rektifiye ) kesilmesinin sonucudur .

Yukarıdaki gömme, küpü biri düzenli olan beş tetrahedraya böler. Aslında beş, bir küp oluşturmak için gereken minimum dörtyüzlü sayısıdır. Bunu görmek için, 4 köşeli bir taban dörtyüzlüden başlayarak, eklenen her dörtyüzlü en fazla 1 yeni köşe ekler, yani 8 köşesi olan bir küp yapmak için en az 4 tane daha eklenmelidir.

Beş küpten oluşan normal bileşiğin içine tetrahedra yazmak , beş ve on tetrahedra içeren iki düzenli bileşik daha verir.

Düzenli dörtyüzlüler uzayı kendi başlarına mozaikleştiremezler , ancak bu sonuç Aristoteles'in bunun mümkün olduğunu iddia etmesi için yeterince muhtemel görünse de. Bununla birlikte, iki düzenli dörtyüzlü, bir oktahedron ile birleştirilebilir, bu da alanı döşeyebilen bir eşkenar dörtgen verir .

Bununla birlikte, kopyaları alanı döşeyebilen , örneğin disfenoid tetrahedral petek gibi birkaç düzensiz tetrahedra bilinmektedir . Tam liste açık bir sorun olmaya devam ediyor.

Dörtyüzlülerin hepsinin aynı şekilde olması gerekliliği gevşetilirse, yalnızca dörtyüzlüleri kullanarak uzayı birçok farklı şekilde döşeyebilirsiniz. Örneğin, bir oktahedron dört özdeş dörtyüzlüye bölünebilir ve bunları tekrar iki normal olanla birleştirebilir. (Yan not olarak: bu iki tür tetrahedron aynı hacme sahiptir.)

Dörtyüzlü, paralel yüzleri olmayan tek tip çokyüzlüler arasında benzersizdir .

Dörtyüzlüler için bir sinüs yasası ve dörtyüzlülerin tüm şekillerinin uzayı

Her zamanki doğal sonucu sinüs yasası bir tetrahedron köşe İle olmasıdır Ey , A , B , C , elimizdeki

${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,}$

Bu kimliğin iki tarafı, yüzeyin saat yönünde ve saat yönünün tersine yönelimlerine karşılık gelen olarak görülebilir.

Dört köşeden herhangi birini O rolüne sokmak, bu tür dört özdeşlik verir, ancak en fazla üçü bağımsızdır: Üçünün "saat yönünde" kenarları çarpılırsa ve ürün, ürünün ürününe eşit olduğu çıkarılırsa. Aynı üç özdeşliğin "saat yönünün tersine" tarafları ve daha sonra ortak çarpanlar her iki taraftan iptal edilir, sonuç dördüncü özdeşliktir.

Üç açı, ancak ve ancak toplamları 180° (π radyan) ise bir üçgenin açılarıdır. 12 açıda hangi koşul, bunların bir tetrahedronun 12 açısı olması için gerekli ve yeterlidir? Açıkça, tetrahedronun herhangi bir kenarının açılarının toplamı 180° olmalıdır. Böyle dört üçgen olduğu için, açıların toplamları üzerinde bu tür dört kısıtlama vardır ve böylece serbestlik derecesi sayısı 12'den 8'e düşürülür. Bu sinüs yasası tarafından verilen dört bağıntı, serbestlik derecesi sayısını daha da azaltır. Dördüncü kısıtlama ilk üçten bağımsız olmadığı için 8'i 4'e değil 5'e indirir. Bu nedenle, tüm tetrahedra şekillerinin alanı 5 boyutludur.

Dörtyüzlüler için kosinüs yasası

Let { p ₁ , p ₂ , p ₃ , p ₄ } tetrahedralin puan olması. Δ olsun _i yüzü karşısında tepe alanı olması P _ı ve izin θ _ij kenarı bitişik tetrahedron iki yüzü arasındaki dihedral açı P _ı p _{, j} .

Cosines kanunu bir tepe ile ilgili dihedral açılar tetrahedron yüzlerinden alanları ile ilgilidir, bu tetrahedron, için şu denklem ile verilir:

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\ Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _ {l}\cos \theta _{ij})}$

İç nokta

Let p hacmi bir tetrahedron bir iç noktası V köşeleriyse olan bir , B , C ve D , ve bunlar için karşılıklı yüze alanları F _{, bir} , K _b , F _c ve F _d . Sonra

${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} } \geq 9V.}$

Köşeler için bir , B , C ve D , iç nokta P , ve ayak J , K , L ve M perpendiculars P yüzlerine ve varsayalım yüzleri daha sonra, eşit alana sahiptir

${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$

Hindistan

Gibi bir tetrahedron inradius gösteren r ve inradii olarak üçgen yüzler r _i için i 1, 2, 3, 4, elimizdeki =

${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3} ^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$

eşitlikle ancak ve ancak tetrahedron düzenliyse.

Eğer A ₁ , A ₂ , A ₃ ve A ₄ , her yüz alanının anlamında olabildikleri, değeri r ile verilir

${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}}$.

Bu formül, dörtyüzlü, noktaları orijinal yüzlerden birinin üç noktası ve merkez olan dört dörtyüzlüye bölünerek elde edilir. Dört alt tetrahedra hacmi doldurduğundan, elimizde . ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+ {\frac {1}{3}}A_{4}r}$

dairesel yarıçap

Bir tetrahedronun çevresini R olarak belirtin . Let bir , b , c , üç kenarlarının uzunlukları bir tepe noktasına karşılaşırlar ve A , B , C karşılıklı kenarları uzunluğu. Tetrahedronun hacmi V olsun . Sonra

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

çevre merkezi

Bir tetrahedronun çevresi, üç açıortay düzleminin kesişimi olarak bulunabilir. Bir açıortay düzlemi, tetrahedronun bir kenarına ortogonal ve merkezlenmiş düzlem olarak tanımlanır. Bu tanımla, köşeleri x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ olan bir tetrahedronun C çevresi matris-vektör çarpımı olarak formüle edilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{nerede}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0} \sağ]^{T}\\\sol[x_{2}-x_{0}\sağ]^{T}\\\sol[x_{3}-x_{0}\sağ]^{T}\ bitiş{matrix}}\sağ)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^ {2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3 }\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matris}}\sağ)\\\end{hizalı}}}$

Centroidin aksine, çevre merkezi her zaman bir tetrahedronun içinde bulunmayabilir. Geniş bir üçgene benzer şekilde, geniş bir tetrahedron için çevresel merkez nesnenin dışındadır.

merkez

Tetrahedronun kütle merkezi , dört köşesinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanır , bkz. Centroid .

yüzler

Herhangi üç yüzün alanlarının toplamı dördüncü yüzün alanından büyüktür.

tamsayı dörtyüzlü

Tamsayı değerli kenar uzunluklarına, yüz alanlarına ve hacme sahip dört yüzlüler vardır. Bunlara Heronian tetrahedra denir . Bir örneğin bir kenarı 896, karşı kenarı 990 ve diğer dört kenarı 1073'tür; iki yüz alanları olan ikizkenar üçgenlerdir436 800 ve diğer ikisi, alanları olan ikizkenardır.47 120 , ses124 185 600 .

Bir tetrahedron, kenarlar olarak tamsayı hacmine ve ardışık tamsayılara sahip olabilir, bir örnek, kenarları 6, 7, 8, 9, 10 ve 11 ve hacmi 48 olanıdır.

İlgili çokyüzlüler ve bileşikler

Düzenli bir tetrahedron üçgen piramit olarak görülebilir .

Düzenli piramitler
köşegen	Üçgensel	Meydan	beşgen	altıgen	yedigen	Sekizgen	enneagonal	Ongen...
uygunsuz	Düzenli	Eşkenar		İkizkenar

Düzenli bir tetrahedron, taban çokgenlerinin indirgenmiş digonlar olduğu , dejenere bir polihedron, tek tip bir köşeli antiprizma olarak görülebilir .

Aile üniforma n -gonal antiprisms

• v
• T
• e

antiprizma adı	çapraz antiprizma	( Üçgen ) Üçgen antiprizma	( Dörtgen ) Kare antiprizma	beşgen antiprizma	altıgen antiprizma	yedigen antiprizma	sekizgen antiprizma	enneagonal antiprizma	ongen antiprizma	altıgen antiprizma	on ikigen antiprizma	...	Apeirogonal antiprizma
çokyüzlü görüntü												...
Küresel döşeme görüntüsü												Düzlem döşeme resmi
Köşe yapılandırması.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Düzenli bir tetrahedron dejenere bir polihedron, iki takım eşdoğrusal kenarda 6 köşe içeren tek tip bir çift köşeli yamuk olarak görülebilir .

Aile n -gonal trapezohedra

yamuk adı	Köşegen yamuk ( Tetrahedron )	üçgen yamuk	dörtgen yamuk	beşgen yamuk	altıgen yamuk	yedigen yamuk	sekizgen yamuk	ongenal yamuk	onikigen yamuk	...	Apeirogonal yamuk
çokyüzlü görüntü										...
Küresel döşeme görüntüsü										Düzlem döşeme resmi
Yüz yapılandırması	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Dörtyüzlüye uygulanan bir kesme işlemi, bir dizi tekdüze çokyüzlü üretir . Kenarları noktalara kadar kesmek, oktahedronu doğrultulmuş bir tetrahedron olarak üretir . İşlem, orijinal yüzleri noktalara indirerek ve bir kez daha kendinden çift dörtyüzlü üreterek bir çiftleştirme olarak tamamlanır.

Tek tip tetrahedral çokyüzlü ailesi
Simetri : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)
{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	sağ{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Tekdüze çokyüzlüler için çiftler
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Bu çokyüzlü, hiperbolik düzlemde devam eden Schläfli sembolleri {3, n } ile düzenli çokyüzlüler dizisinin bir parçası olarak topolojik olarak ilişkilidir .

* n 32 düzenli döşemelerin simetri mutasyonu: {3, n } v T e
Küresel				Öklid.	Kompakt hiper.		Parako.	kompakt olmayan hiperbolik
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

Tetrahedron topolojik olarak bir dizi düzenli çokyüzlü ve sıra-3 köşe figürlü döşemelerle ilişkilidir .

* n 32 düzenli döşemelerin simetri mutasyonu: { n ,3} v T e
Küresel				Öklidyen	Kompakt hiperb.		Parako.	kompakt olmayan hiperbolik
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

• tetrahedra bileşikleri
• 

  Bir küpte iki tetrahedra

• 

  Beş tetrahedranın bileşimi

• 

  On tetrahedranın bileşimi

Birbiriyle kesişen beş dörtyüzlüden ilginç bir çokyüzlü oluşturulabilir . Beş tetrahedradan oluşan bu bileşik yüzlerce yıldır bilinmektedir. Origami dünyasında düzenli olarak ortaya çıkıyor . Yirmi köşeyi birleştirmek düzenli bir onikiyüzlü oluşturacaktır . Her iki vardır sol elini kullanan ve sağ elini olan formlar, ayna görüntüleri birbirlerinin. Her iki formun üst üste bindirilmesi , on tetrahedranın beş çift stella octangulae olarak düzenlendiği on tetrahedralı bir bileşik verir . Bir stella octangula, ikili konumda iki tetrahedranın bir bileşimidir ve sekiz köşesi, dışbükey gövdesi olarak bir küpü tanımlar.

Kare hosohedron dört yüzlü bir başka çok yüzlü olması, ancak üçgen yüzleri yoktur.

Uygulamalar

Sayısal analiz

Olarak sayısal analizi , üç boyutlu şekilleri genel olarak ayrılmış ya da edilir karmaşık yaklaştırılır bir tarafından çokgen ağ düzensiz tetrahedra için denklemler ayarlama işleminde sonlu eleman analizi , özellikle de sayısal çözeltisi arasında kısmi diferansiyel denklemler . Bu yöntemler, hesaplamalı akışkanlar dinamiği , aerodinamik , elektromanyetik alanlar , inşaat mühendisliği , kimya mühendisliği , gemi mimarisi ve mühendisliği ve ilgili alanlarda pratik uygulamalarda geniş uygulamalara sahiptir.

Yapısal mühendislik

Sert kenarları olan bir tetrahedron doğası gereği katıdır. Bu nedenle genellikle uzay çerçeveleri gibi çerçeve yapılarını güçlendirmek için kullanılır .

Havacılık

Bazı havaalanlarında , iki tarafı ince bir malzeme ile kaplanmış dörtyüzlü şeklinde büyük bir çerçeve, dönen bir mil üzerine monte edilir ve her zaman rüzgarı gösterir. Havadan görülebilecek kadar büyük inşa edilmiştir ve bazen aydınlatılır. Amacı, rüzgar yönünü gösteren pilotlara referans olarak hizmet etmektir.

Kimya

Tetrahedron şekli doğada kovalent bağlı moleküllerde görülür . Tüm sp ³ -hybridized atomuna atomuna (veya ile çevrelenmiştir elektron çiftleri tetrahedralin dört köşesinde). Örneğin bir metan molekülünde ( CH
₄) veya bir amonyum iyonu ( NH⁺
₄), dört hidrojen atomu, tetrahedral simetri ile bir merkezi karbon veya nitrojen atomunu çevreler. Bu nedenle organik kimyanın önde gelen dergilerinden biri Tetrahedron olarak adlandırılmaktadır . Merkezi açı mükemmel tetrahedron herhangi iki köşe arasındaki arccos olarak (-1/3) veya yaklaşık 109.47°.

Su , H
₂O , ayrıca merkezi oksijen atomları etrafında iki hidrojen atomu ve iki yalnız elektron çifti ile tetrahedral bir yapıya sahiptir. Bununla birlikte, tetrahedral simetrisi mükemmel değildir, çünkü yalnız çiftler tekli O-H bağlarından daha fazlasını iter.

Kimyasal maddelerin karışımlarının kuaterner faz diyagramları grafiksel olarak tetrahedra olarak temsil edilir.

Bununla birlikte, iletişim mühendisliğindeki dörtlü faz diyagramları, iki boyutlu bir düzlemde grafiksel olarak temsil edilir.

Elektrik ve elektronik

Altı eşit ise dirençleri vardır lehimlenmiş bir tetrahedron oluşturmak üzere birlikte, daha sonra herhangi bir iki köşe arasında ölçülen direnç, bir rezistör yarısı kadardır.

Yana silikon en yaygın yan-iletken olarak kullanılan katı elektronik ve silikon bir sahiptir valans dört, silikon dört kimyasal bağlar tetrahedral şekli ne kadar güçlü bir etkisi olduğu kristaller silikon formunun ve hangi şekillendiren da varsayalım.

renk uzayı

Tetrahedra, özellikle parlaklık ekseninin renk uzayını çapraz olarak bölümlere ayırdığı (örn. RGB, CMY) durumlar için renk uzayı dönüştürme algoritmalarında kullanılır.

Oyunlar

Ur Kraliyet Oyunu 2600 M.Ö. kalma, tetrahedral bir set zar ile oynandı.

Özellikle rol oynamada , bu katı, daha yaygın çokyüzlü zarlardan biri olan 4 taraflı bir kalıp olarak bilinir ve yuvarlanan sayı altta veya üst tepe noktasında görünür. Bazı Rubik Küp benzeri bulmacalar, Pyraminx ve Pyramorphix gibi dört yüzlüdür .

jeoloji

İlk olarak William Lowthian Green tarafından Dünya'nın oluşumunu açıklamak için yayınlanan tetrahedral hipotez , 20. yüzyılın başlarında popülerdi.

silah

Bazı kaltroplar , nasıl indiklerine bakılmaksızın bir sivri uç yukarıyı gösterdiğinden tetrahedraya dayanır ve iki bükülmüş çiviyi birbirine kaynaklayarak kolayca yapılabilir.

Çağdaş sanat

Avusturyalı sanatçı Martina Schettina , floresan lambalar kullanarak bir tetrahedron yarattı . Hafif sanat bienali Avusturya 2010'da gösterildi.

Siyah alevler çevrili albüm resmi olarak kullanılır Come için her şeyin sonunu tarafından Mudvayne .

Popüler kültür

Stanley Kubrick aslında amaçlanan monoliti içinde 2001: Uzay Macerası göre, dört yüzlü olmak Marvin Minsky , bir bilişsel bilim adamı ve uzman yapay zeka üzerinde Kubrick tavsiye HAL 9000 bilgisayar ve filmin diğer yönleri. Kubrick, tetrahedron'u görüntülerini gören bir ziyaretçinin ne olduğunu anlamadığı ve filmde sıradan insanların anlamadığı hiçbir şey istemediği için kullanma fikrini rafa kaldırdı.

Futurama'nın " Möbius Dick " adlı 6. Sezon 15. Bölümünde , Planet Express ekibi uzayda Bermuda Tetrahedron olarak bilinen bir bölgeden geçer. Bölgeden geçen diğer birçok gemi, ilk Planet Express ekibininki de dahil olmak üzere gizemli bir şekilde ortadan kayboldu.

2013 filmi Oblivion'da , Dünya'nın üzerindeki yörüngedeki büyük yapı, tetrahedron bir tasarıma sahiptir ve Tet olarak anılır.

dörtyüzlü grafik

dörtyüzlü grafik
tepe noktaları	4
Kenarlar	6
yarıçap	1
Çap	1
çevre	3
otomorfizmler	24
kromatik sayı	4
Özellikler	Hamiltonian , düzenli , simetrik , mesafe-düzenli , mesafe-geçişli , 3-köşe bağlantılı , düzlemsel grafik
Grafikler ve parametreler tablosu

Dört yüzlünün (köşeler ve kenarlardan oluşan) iskeleti , 4 köşesi ve 6 kenarı olan bir grafik oluşturur . Bu, tam grafiğin , K ₄ ve tekerlek grafiğinin , W _4'ün özel bir durumudur . Her biri kendi Platonik katısının bir iskeleti olan 5 Platonik grafikten biridir .

3 katlı simetri

Ayrıca bakınız

• Boerdijk-Coxeter sarmalı
• Möbius yapılandırması
• Kaltrop
• Demihypercube ve simpleks – n -boyutlu analoglar
• Pentachoron – 4 boyutlu analog
• Tetra Pak
• dörtyüzlü uçurtma
• dörtyüzlü sayı
• dörtyüzlü ambalaj
• Üçgen dipiramid - bir yüz boyunca iki tetrahedranın birleştirilmesiyle inşa edilmiştir.
• üç dikdörtgen tetrahedron

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedron" . Matematik Dünyası .
• Bir tetrahedron ve diğer birçok çokyüzlülerin serbest kağıt modelleri
• Aynı zamanda bir kaleidosikl olarak da bilinen "dönen bir tetrahedra halkasının" tanımını da içeren Şaşırtıcı, Boşluğu Dolduran , Düzensiz bir Tetrahedron .

v T e 2-10 boyutlarında temel dışbükey düzenli ve düzgün politoplar
Aile	bir n	B n	ben 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
düzgün çokgen	Üçgen	Meydan	p-gon	Altıgen	Pentagon
tek tip çokyüzlü	dörtyüzlü	Oktahedron • Küp	yarım küp		Dodecahedron • Icosahedron
tek tip polikoron	Pentakoron	16 hücreli • Tesseract	Demitesseract	24 hücreli	120 hücreli • 600 hücreli
Tek tip 5-politop	5-simpleks	5-ortopleks • 5 küp	5 demiküb
Tek tip 6-politop	6-simpleks	6-ortopleks • 6-küp	6-demicube	1 22 • 2 21
Tek tip 7-politop	7-simpleks	7-ortopleks • 7-küp	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Üniforma 8-politop	8-simpleks	8-ortoplex • 8-küp	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Tek tip 9-politop	9-simpleks	9-ortopleks • 9-küp	9-demicube
Tek tip 10-politop	10-simpleks	10-ortopleks • 10 küp	10-demiküb
Üniforma n - politop	n - tek yönlü	n - ortoplex • n - küp	n - yarım küp	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - beşgen politop
Konular: Politop aileleri • Düzenli politop • Düzenli politopların ve bileşiklerin listesi