seçimi ile ilgili Tarski Teoremi - Tarski's theorem about choice

In matematik , Tarski Teoremi tarafından kanıtlanmıştır, Alfred Tarski  ( 1924 ), içinde belirtiyor ZF teoremi "Her sonsuz kümesi için , bir var bijective harita setleri arasında ve " ima seçme aksiyomu . Ters yönde zaten böylece teoremi ve seçim aksiyomu eşdeğerdir, biliniyordu. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A \ kere A}$

Tarski anlattı Jan Mycielski  ( 2006 içeri teoremini yayınlamak istediğinde o) Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Fréchet ve Lebesgue sunmak reddetti. Fréchet iki iyi bilinen önermeler arasında bir ima yeni sonuç olmadığını yazdı. Lebesgue iki yanlış önermeler arasında bir ima hiçbir ilgi olduğunu yazdı.

Kanıt

Amacımız seçim aksiyomu deyimi ima olduğunu kanıtlamaktır "Her sonsuz kümesi için : ". O bilinmektedir iyi sipariş teoremi Seçim aksiyomu eşdeğerdir, böylece deyim her set için ima olduğunu göstermek için yeterlidir bir orada mevcut iyi düzen . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle | A | = | A \ kere A |}$${\ Displaystyle B}$

Sonlu kümeler için bu nedenle biz bu üstlenecek, önemsiz sonsuzdur. ${\ Displaystyle B}$

Tüm toplanması yana ordinals bir orada var öyle ki örten işlev gelen sıralı bir dizi, minimal sıfır olmayan sıralı zorluklar ortaya çıkmaktadır , hiçbir kalmayacak şekilde örten fonksiyon gelen etmek . Biz varsayalım genelliği kaybetmeden setleri olduğunu ve olan ayrık . Bizim ilk varsayım olarak, böylece bir vardır bijection . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle | B \ kap \ P | = | (B \ kap \ P) \ kez (B \ kap \ P) |}$ ${\ Displaystyle f: (B \ kap \ P) \ kez (B \ kap \ P) B \ kap \ p \}$

Her için , o kadar imkansızdır aksi takdirde biz bir surjective işlevi tanımlamak çünkü, için . Bu nedenle, en azından bir ordinal vardır , öyle ki, bu şekilde grubu, boş değil. ${\ Displaystyle x \ B}$${\ Displaystyle \ p \ kez \ {x \} \ subseteq f [B]}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ p}$${\ Displaystyle \ y \ in \ p}$${\ P \ zamanlarda \ displaystyle f (\ y) \ \ {x \}}$${\ Displaystyle S_ {x} = \ {\ y | \ p \ zamanlarda f (\ y) \ {\ x \} \}}$

Aklımızda Bu bilgiden hareketle yeni bir fonksiyon tanımlayabilirsiniz: . Bu işlev de tanımlandığı sıra sayıları arasında boş olmayan bir dizi bu nedenle en az bulunmaktadır. Her için hatırlayın setleri ve ayrık bulunmaktadır. Bu nedenle, bir kuyu siparişi tanımlayabilirsiniz her için, biz tayin eder imajı beri, yani , ordinals kümesidir ve bu nedenle de emretti. ${\ Displaystyle g (x) = \ dak S_ {x}}$${\ Displaystyle S_ {x}}$${\ Displaystyle X, B y \ x \ neq y}$${\ Displaystyle S_ {x}}$${\ Displaystyle S_ {y}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X, B y \}$${\ Displaystyle x \ leq y \ IFF g (x) \ leq g (y)}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g [B]}$

Referanslar

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Choice II Aksiyom'un eşdeğerleri arasında , Kuzey Hollanda / Elsevier, ISBN  0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "akılcıları için küme teorisinin aksiyomları bir sistem" (PDF) , Amerikan Matematik Derneği Bildirimler , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques teoremleri qui eşdeğer a l'AXIOME du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147-154