Değişkenlerin değiştirilmesi - Change of variables

Matematikte, değişkenlerin değiştirilmesi , orijinal değişkenlerin diğer değişkenlerin fonksiyonlarıyla değiştirildiği problemleri basitleştirmek için kullanılan temel bir tekniktir . Amaç, yeni değişkenlerle ifade edildiğinde, sorunun daha basit hale gelebileceği veya daha iyi anlaşılan bir soruna eşdeğer olabilmesidir.

Değişkenlerin değiştirilmesi, ikame ile ilgili bir işlemdir . Bununla birlikte, bu göz önüne alındığında olarak görülebilir, farklı işlemlerdir farklılaşmasını ( zincir kuralı ) veya entegrasyon ( ikame ile entegrasyon ).

Altıncı derece polinomun köklerini bulma probleminde faydalı bir değişken değişikliğinin çok basit bir örneği görülebilir:

Altıncı derece polinom denklemlerinin radikaller açısından çözülmesi genellikle imkansızdır (bkz. Abel-Ruffini teoremi ). Ancak bu özel denklem yazılabilir

(bu basit bir polinom ayrışması durumudur ). Böylece denklem, yeni bir değişken tanımlanarak basitleştirilebilir . İkame x tarafından polinom verir içine

bu sadece iki çözümün ikinci dereceden bir denklemidir :

Orijinal değişken açısından çözümler, x 3'ü u yerine geri koyarak elde edilir ,

Daha sonra, kişinin yalnızca gerçek çözümlerle ilgilendiğini varsayarsak , orijinal denklemin çözümleri

Basit örnek

Denklem sistemini düşünün

nerede ve ile pozitif tamsayılardır . (Kaynak: 1991 AIME )

Bunu normal olarak çözmek çok zor değildir, ancak biraz sıkıcı olabilir. Ancak ikinci denklemi olarak yeniden yazabiliriz . Değiştirmelerin yapılması ve sistemin azaltır . Bunu çözmek ve verir . İlk sıralı çifti geri ikame etmek bize verir , bu da ikinci sıralı çifti geri ikame etmenin bize verdiği çözümü verir, bu da hiçbir çözüm vermez. Dolayısıyla sistemi çözen çözümdür .

Resmi yönerge

Let , olmak manifoldları pürüzsüz ve let bir olmak - Diffeomorfizm olan aralarında,: bir olduğunu kere sürekli türevlenebilir, bijective haritası gelen etmek ile gelen zamanlarda sürekli türevlenebilir ters için . Burada herhangi bir doğal sayı (veya sıfır), ( düz ) veya ( analitik ) olabilir.

Harita , düzenli koordinat dönüşümü veya düzenli değişken ikamesi olarak adlandırılır , burada normal , -ness anlamına gelir . Genellikle , her oluşum için in değerini değiştirerek değişkenin değişkenle değiştirildiğini belirtmek için yazılır .

Diğer örnekler

Koordinat dönüşümü

Kutupsal koordinatlara geçerken bazı sistemler daha kolay çözülebilir . Örneğin denklemi düşünün

Bu, bazı fiziksel problemler için potansiyel bir enerji fonksiyonu olabilir. Biri hemen bir çözüm görmezse, ikameyi deneyebilir.

veren

Not eğer bir dış çalışır uzunlukta aralık, örneğin, harita artık bijective olduğunu. Bu nedenle, örneğin sınırlandırılmalıdır . Nasıl dışarıda bırakıldığına dikkat edin , çünkü başlangıçta önyargılı değildir ( herhangi bir değer alabilir, nokta (0, 0) ile eşleştirilecektir). Ardından, orijinal değişkenlerin tüm oluşumlarını , kimlik tarafından öngörülen ve kullanan yeni ifadelerle değiştirerek ,

Şimdi çözümler kolayca bulunabilir:, yani veya . Tersini uygulamak, bunun while'a eşdeğer olduğunu gösterir . Nitekim köken dışında fonksiyonun yok olduğunu görüyoruz .

İzin vermiş olsaydık , köken de bir çözüm olurdu, ancak asıl soruna bir çözüm olmasa da. Burada önyargı çok önemlidir. Fonksiyon her zaman pozitiftir (için ), dolayısıyla mutlak değerler.

Farklılaşma

Zincir kuralı karmaşık farklılaşmayı basitleştirmek için kullanılır. Örneğin, türevi hesaplama problemini düşünün.

yazı

anlıyoruz

Entegrasyon

Zor integraller genellikle değişkenler değiştirilerek değerlendirilebilir; bu, ikame kuralı tarafından etkinleştirilir ve yukarıdaki zincir kuralının kullanımına benzer. Zor integraller, karşılık gelen Jacobian matrisi ve determinantı tarafından verilen değişkenlerin bir değişikliğini kullanarak integrali basitleştirerek de çözülebilir . Jakoben determinantı ve verdiği karşılık gelen değişken değişikliğini kullanmak, kutupsal, silindirik ve küresel koordinat sistemleri gibi koordinat sistemlerinin temelidir.

Diferansiyel denklemler

Farklılaşma ve entegrasyon için değişken değişiklikler, temel analizde öğretilir ve adımlar nadiren tam olarak gerçekleştirilir.

Değişken değişikliklerin çok geniş kullanımı, bağımsız değişkenlerin zincir kuralı kullanılarak değiştirilebildiği veya bağımlı değişkenlerin değiştirildiği ve bazı farklılaşmaların gerçekleştirileceği diferansiyel denklemler düşünüldüğünde belirgindir . Nokta ve temas dönüşümlerinde bağımlı ve bağımsız değişkenlerin birbirine karışması gibi egzotik değişiklikler çok karmaşık olabilir ancak çok fazla özgürlüğe izin verir.

Çoğu zaman, bir değişiklik için genel bir biçim, bir probleme ikame edilir ve sorunu en iyi şekilde basitleştirmek için yol boyunca parametreler seçilir.

Ölçekleme ve kaydırma

Muhtemelen en basit değişiklik, değişkenlerin ölçeklendirilmesi ve kaydırılmasıdır, yani onları sabit miktarlarda "uzatılmış" ve "hareket ettirilmiş" yeni değişkenlerle değiştirmektir. Bu, pratik uygulamalarda fiziksel parametreleri problemlerden çıkarmak için çok yaygındır. Bir için N inci sipariş türevi değişiklik sadece sonuçlanır

nerede

Bu, zincir kuralı ve farklılaşmanın doğrusallığı aracılığıyla kolayca gösterilebilir . Bu değişiklik, pratik uygulamalarda fiziksel parametreleri problemlerden çıkarmak için çok yaygındır, örneğin, sınır değeri problemi

δ mesafesi ile ayrılmış düz katı duvarlar arasındaki paralel sıvı akışını açıklar; μ olan viskozite ve basınç gradyanı , her iki sabit. Değişkenleri ölçeklendirerek sorun olur

nerede

Ölçeklendirme, birçok nedenden dolayı yararlıdır. Hem parametre sayısını azaltarak hem de sorunu basitleştirerek analizi basitleştirir. Doğru ölçeklendirme değişkenleri normalleştirebilir , yani 0 ila 1 gibi makul bir birimsiz aralığa sahip olmalarını sağlar. Son olarak, eğer bir problem sayısal çözüm gerektiriyorsa, parametreler ne kadar azsa hesaplama sayısı o kadar az olur.

Momentum ve hız

Bir denklem sistemi düşünün

belirli bir işlev için . Kütle, (önemsiz) ikame ile elimine edilebilir . Açıkçası bu bir bijective haritasıdır için . İkame altında sistem olur

Lagrange mekaniği

Bir güç alanı göz önüne alındığında , Newton bireyin denklemleri hareket vardır

Lagrange değişken rasgele bir ikame altında hareket değişikliği ne Bu denklemler incelendiğinde ,

Denklemlerin

Newton'un fonksiyon denklemlerine eşdeğerdir , burada T kinetiktir ve V potansiyel enerjidir.

Aslında, ikame iyi seçildiğinde (örneğin sistemin simetrileri ve kısıtlamalarını kullanarak), bu denklemlerin çözülmesi, Kartezyen koordinatlarda Newton'un denklemlerinden çok daha kolaydır.

Ayrıca bakınız

Referanslar