Stokastik baskınlık - Stochastic dominance

Stokastik baskınlık , rastgele değişkenler arasında kısmi bir düzendir . Stokastik sıralamanın bir şeklidir . Kavram, karar teorisi ve karar analizinde , geniş bir karar vericiler sınıfı için bir kumarın ( olası sonuçlara göre bir olasılık dağılımı , ayrıca beklentiler olarak da bilinir) diğer kumardan daha üstün olarak derecelendirilebileceği durumlarda ortaya çıkar . Olası sonuçlara ve bunlarla ilişkili olasılıklara ilişkin paylaşılan tercihlere dayanır . Hakimiyeti belirlemek için sadece sınırlı tercih bilgisi gereklidir. Riskten kaçınma , yalnızca ikinci dereceden stokastik baskınlıkta bir faktördür.

Stokastik baskınlık, toplam bir düzen değil, yalnızca kısmi bir düzen verir : bazı kumar çiftleri için, ikisi de stokastik olarak diğerine baskın değildir, çünkü geniş karar vericiler sınıfının farklı üyeleri, genel olarak onlarsız hangi kumarın tercih edileceği konusunda farklılık göstereceklerdir. eşit derecede çekici olarak kabul edilir.

devlet hakimiyeti

Stokastik baskınlığın en basit durumu , aşağıdaki gibi tanımlanan durum bazında baskınlıktır ( duruma göre baskınlık olarak da bilinir ):

Rastgele değişken A, her durumda (olası her sonuç kümesinde) en az aynı derecede iyi bir sonuç ve en az bir durumda kesinlikle daha iyi bir sonuç veriyorsa, rastgele değişken B'ye eyalet bazında baskındır.

Örneğin, bir piyangodaki bir veya daha fazla ödüle bir dolar eklenirse, yeni piyango eyalet açısından eski piyangoya hükmeder çünkü piyango tarafından elde edilen belirli sayılara bakılmaksızın daha iyi bir ödeme sağlar. Benzer şekilde, bir risk sigortası poliçesi diğer bir poliçeye göre daha düşük bir prim ve daha iyi bir teminata sahipse, hasarlı veya hasarsız sonuç daha iyidir. Daha fazlasını daha azına tercih eden herkes (standart terminolojide, monoton artan tercihleri olan herkes ) her zaman eyalet bazında baskın bir kumarı tercih edecektir.

Birinci derece

Durumsal baskınlık, kanonik birinci dereceden stokastik baskınlığın (FSD) özel bir durumudur ve şu şekilde tanımlanır:

Herhangi bir sonuç için, eğer rastgele değişken rasgele bir değişken B üzerinden birinci sıralı stokastik sahip x , yüksek gibi en az en az alma olasılığı veren x B olduğu gibi, ve bazı x , A, en azından alıcı daha yüksek bir olasılık sunar x . Notasyon biçiminde, tüm x için ve bazı x için , .${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$${\displaystyle P[A>x]>P[B>x]}$

Açısından kümülatif dağılım fonksiyonları iki rasgele değişkenlerin, A hakim B aracının herkes için x bazı sıkı eşitsizlik,  x . ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$

A kumarı birinci dereceden B kumarına, ancak ve ancak artan fayda fonksiyonuna sahip her beklenen fayda maksimize edicisi A kumarını B kumarına tercih ediyorsa, stokastik olarak hakim olur .

Aşağıdaki gibi birinci dereceden stokastik da ifade edilebilir: bir birinci dereceden stokastik B hâkimse, ancak ve ancak, bir kumar vardır , öyle ki burada tüm olası devletlerde (ve en az bir halde katı negatif); burada " dağıtımda eşittir " anlamına gelir (yani, "ile aynı dağılıma sahiptir"). Böylece, kabaca konuşursak, olasılık kütlesinin bir kısmını sola doğru iterek, A'nın grafiksel yoğunluk fonksiyonundan B'ninkine gidebiliriz. ${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+y)}$${\displaystyle y\leq 0}$${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$

Örneğin, bu tabloda özetlenen altı olası sonucun (durumların) yanı sıra üç alternatif kumarın her biri tarafından her bir eyalette kazanılan miktarla birlikte adil bir zarın tek bir atışını düşünün:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}{\text{Durum (sonucu ölür)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{Gamble A kazanır }}\$&1&1&1&2&2&2&2\{\text{Gamble B kazanır } }\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{C kumarı kazanır }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{dizi}}}$

Burada A kumarı eyalet bazında B kumarına hakimdir, çünkü A tüm olası durumlarda (kalıp rulosunun sonuçları) en azından aynı derecede iyi bir verim verir ve bunlardan birinde kesinlikle daha iyi bir verim verir (durum 3). A durumsal olarak B'ye hakim olduğundan, birinci dereceden B'ye de hakimdir. Kumar C durumsal olarak B'ye hakim değildir çünkü B 4 ila 6 arasındaki durumlarda daha iyi bir verim sağlar, ancak C birinci dereceden B'ye rassal olarak hakimdir çünkü Pr(B ≥ 1) = Pr (C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6 ve Pr(B ≥ 3) = 0 iken Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3). Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6 iken diğer taraftan Pr(C) olduğundan A ve C kumarları birinci dereceden stokastik hakimiyet temelinde birbirlerine göre sıralanamaz. ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

Genel olarak, birinci dereceden bir kumar stokastik olarak ikinci bir kumara hükmediyorsa, birincisine göre getirisinin beklenen değeri, ikincisine göre getirisinin beklenen değerinden daha büyük olacaksa da, bunun tersi doğru değildir: kişi piyango siparişi veremez. olasılık dağılımlarının araçlarını karşılaştırarak stokastik baskınlık ile ilgili. Örneğin, yukarıdaki örnekte C, A'dan (5/3) daha yüksek bir ortalamaya (2) sahiptir, ancak C birinci dereceden A'ya hakim değildir.

İkinci emir

Diğer yaygın olarak kullanılan stokastik baskınlık türü, ikinci dereceden stokastik baskınlıktır . Kabaca konuşursak, iki kumar ve , kumar , birincisi daha tahmin edilebilirse (yani daha az risk içeriyorsa) ve en az onun kadar yüksek bir ortalamaya sahipse , kumar üzerinde ikinci dereceden stokastik baskınlığa sahiptir. Tüm riskten kaçınan beklenen fayda maksimize ediciler (yani artan ve içbükey fayda fonksiyonlarına sahip olanlar), ikinci dereceden stokastik olarak baskın bir kumarı, domine edilen bir kumara tercih eder. İkinci dereceden hakimiyeti karar vericiler daha küçük bir sınıfın paylaşılan tercihleri (bu kime daha iyidir için açıklar ve kim yerine, risk hoşlanmıyorsunuz tüm bu birkaçının iyidir için) ilk sıra baskın yapar daha. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

Kümülatif dağılım fonksiyonları açısından ve , ikinci dereceden stokastik olarak baskın bitti ancak ve altında kalan alan yalnızca eksi sonsuzdan için veya bu altındakiler için eşit az olduğu için eksi sonsuzdan tüm gerçek sayılar için bazı sıkı eşitsizlik, ; yani, herkes için , bazılarında katı eşitsizlikle . Eşdeğer olarak, ancak ve ancak tüm azalan ve içbükey fayda fonksiyonları için ikinci derecede hakimdir . ${\displaystyle F_{A}}$${\ Displaystyle F_{B}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle F_{A}}$${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle F_{B}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{B}(t)-F_{A}(t)]\,dt\geq 0}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle \operatöradı {E} [u(A)]\geq \operatöradı {E} [u(B)]}$${\görüntüleme stili u(x)}$

Gamble aşağıdaki gibidir: İkinci dereceden stokastik de ifade edilebilir , ikinci dereceden stokastik hakim bir gambles yer aldığı ve sadece eğer ve bu şekilde birlikte, daha az zaman veya sıfıra eşit olan ve tüm değerleri için . Burada rastgele değişkenin giriş yapar stokastik hakim birinci sırasını (yapmada artan bir fayda fonksiyonuna sahip olanlar tarafından sevilmeyen) ve rastgele değişkenin bir giriş , bir getirmektedir ortalama koruyucu yayılmasını olarak içbükey programı ile kişilerce sevilmeyen olan. Not eğer ve aynı ortalamaya sahip (böylece rastgele değişken sabit sayıda 0 dejenere), daha sonra bir ortalama koruyucu yayılır . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+y+z)}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle \operatöradı {E} (z\mid x_{A}+y)=0}$${\displaystyle x_{A}+y}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$

İkinci dereceden stokastik baskınlık için yeterli koşullar

• Birinci dereceden stokastik A üzerinde B ikinci dereceden hakimiyeti için bu tek başına yeterli olan A üzerinde B .
• Eğer B bir ortalama koruyucu yayılır A , daha sonra bir ikinci seviye stokastik hakim B .

İkinci dereceden stokastik baskınlık için gerekli koşullar

• ${\displaystyle \operatöradı {E} _{A}(x)\geq \operatöradı {E} _{B}(x)}$A'nın ikinci dereceden stokastik olarak B'ye hakim olması için gerekli bir koşuldur .
• ${\displaystyle \min _{A}(x)\geq \min _{B}(x)}$A'nın ikinci dereceden baskın B için gerekli bir koşuldur . Bu koşul, öğesinin sol kuyruğunun, öğesinin sol kuyruğundan daha kalın olması gerektiği anlamına gelir .${\ Displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}}$

Üçüncü dereceden

Let ve iki ayrı yatırımların kümülatif dağılım fonksiyonları olması ve . hakim de üçüncü sırayla ve ancak eğer ${\displaystyle F_{A}}$${\ Displaystyle F_{B}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\int _{-\infty }^{z}[F_{B}(t)-F_{A}(t)]\,dt\,dz \geq 0{\text{ tümü için }}x,}$
• ${\displaystyle \operatöradı {E} _{A}(x)\geq \operatöradı {E} _{B}(x),\,}$

ve en az bir katı eşitsizlik vardır. Eşdeğer olarak, üçüncü mertebede hakimdir , ancak ve ancak pozitif çarpık olan (yani, baştan sona pozitif bir üçüncü türevi olan) tüm azalmayan, içbükey fayda fonksiyonları için ise . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle \operatöradı {E} _{A}U(x)\geq \operatöradı {E} _{B}U(x)}$${\görüntüleme stili U}$

Yeterli koşul

• İkinci dereceden baskınlık yeterli bir koşuldur.

gerekli koşullar

• ${\displaystyle \operatöradı {E} _{A}(\log(x))\geq \operatöradı {E} _{B}(\log(x))}$gerekli bir durumdur. Koşul, geometrik ortalamasının geometrik ortalamasından büyük veya ona eşit olması gerektiğini ima eder .${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$
• ${\displaystyle \min _{A}(x)\geq \min _{B}(x)}$gerekli bir durumdur. Bu koşul, öğesinin sol kuyruğunun, öğesinin sol kuyruğundan daha kalın olması gerektiği anlamına gelir .${\ Displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}}$

Yüksek mertebeden

Stokastik baskınlık sıralamaları ve tercih fonksiyonları sınıfları arasındaki ikili ilişkinin genellemeleri gibi, daha yüksek stokastik baskınlık dereceleri de analiz edilmiştir. Muhtemelen en güçlü baskınlık kriteri, mutlak riskten kaçınmayı azaltan kabul edilen ekonomik varsayıma dayanır . Bu, birkaç analitik zorluğu içerir ve bunları ele almak için bir araştırma çabası yoldadır.

kısıtlamalar

Stokastik baskınlık ilişkileri, özellikle stokastik programlama olmak üzere matematiksel optimizasyon problemlerinde kısıtlamalar olarak kullanılabilir . Bir kümedeki rasgele değişkenler üzerinde gerçek bir fonksiyoneli maksimize etme probleminde, buna ek olarak, sabit bir rasgele karşılaştırma ölçütüne stokastik olarak hakim olmasını isteyebiliriz . Bu problemlerde, fayda fonksiyonları , stokastik baskınlık kısıtlamaları ile ilişkili Lagrange çarpanlarının rolünü oynar . Uygun koşullar altında, sorunun çözümü de en üst düzeye çıkarmak için bir sorun, bir (muhtemelen yerel) çözüm üzerinde de , belli bir yardımcı fonksiyonudur. Birinci dereceden stokastik kısıtlama kullanılması durumunda, yardımcı fonksiyon bir azalmayan ; ikinci dereceden stokastik kısıtlama kullanıldığı takdirde, bir azalmayan ve içbükey . Bir lineer denklem sistemi, verilen bir çözümün bu tür herhangi bir fayda fonksiyonu için verimli olup olmadığını test edebilir. Üçüncü dereceden stokastik baskınlık kısıtlamaları, dışbükey ikinci dereceden kısıtlı programlama (QCP) kullanılarak ele alınabilir. ${\görüntüleme stili f(X)}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle X_{0}}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle f(X)+\operatöradı {E} [u(X)-u(B)]}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle X_{0}}$${\görüntüleme stili u(x)}$${\görüntüleme stili u(x)}$${\görüntüleme stili u(x)}$

Ayrıca bakınız

• Modern portföy teorisi
• Marjinal koşullu stokastik baskınlık
• Duyarlı küme uzantısı - tercih ilişkileri bağlamında stokastik baskınlığa eşdeğerdir.
• kuantum katalizörü

Referanslar