Ortalamadan (SDM) kare sapmalar çeşitli hesaplamalara dahil edilir. Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , tanımı varyans beklenen değer (teorik göz önüne alındığında SDM dağılımı (gerçek deneysel verileri için) ya da ortalama değeri). Varyans analizi
Giriş İlgili hesaplamaların anlaşılması, istatistiksel değerin incelenmesi ile büyük ölçüde geliştirilmiştir.
E
(
X
2
)
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (X ^ {2})}
E
{\ displaystyle \ operatöradı {E}}
Bir İçin rasgele değişkenin ortalama ile ve varyans ,
X
{\ displaystyle X}
μ
{\ displaystyle \ mu}
σ
2
{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
σ
2
=
E
(
X
2
)
-
μ
2
.
{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = \ operatöradı {E} (X ^ {2}) - \ mu ^ {2}.}
Bu nedenle,
E
(
X
2
)
=
σ
2
+
μ
2
.
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (X ^ {2}) = \ sigma ^ {2} + \ mu ^ {2}.}
Yukarıdakilerden aşağıdakiler türetilebilir:
E
(
∑
(
X
2
)
)
=
n
σ
2
+
n
μ
2
,
{\ displaystyle \ operatorname {E} \ sol (\ toplamı \ sol (X ^ {2} \ sağ) \ sağ) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}}
E
(
(
∑
X
)
2
)
=
n
σ
2
+
n
2
μ
2
.
{\ displaystyle \ operatorname {E} \ sol (\ sol (\ toplam X \ sağ) ^ {2} \ sağ) = n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2}.}
Örnek varyans Örnek varyansını hesaplamak için gereken kare sapmaların toplamı ( n'ye mi yoksa n - 1'e mi bölüneceğine karar vermeden önce ) en kolay şekilde şu şekilde hesaplanır:
S
=
∑
x
2
-
(
∑
x
)
2
n
{\ displaystyle S = \ toplamı x ^ {2} - {\ frac {\ sol (\ toplamı x \ sağ) ^ {2}} {n}}}
Türetilmiş iki beklentiden bu toplamın beklenen değeri şöyledir:
E
(
S
)
=
n
σ
2
+
n
μ
2
-
n
σ
2
+
n
2
μ
2
n
{\ displaystyle \ operatorname {E} (S) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2} - {\ frac {n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2 }} {n}}}
Hangi ima
E
(
S
)
=
(
n
-
1
)
σ
2
.
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (S) = (n-1) \ sigma ^ {2}.}
Bu etkin bölen kullanımını ispat n, 1, hesaplanmasında - tarafsız örnek tahmin σ 2 .
Bölümleme - varyans analizi
Veri için kullanılabilir durumda k boyutuna sahip olan, farklı tedavi grubunda n i i 1 arasında değişir k , o zaman her bir grubun beklenen ortalama olduğu varsayılmaktadır
E
(
μ
ben
)
=
μ
+
T
ben
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (\ mu _ {i}) = \ mu + T_ {i}}
ve her tedavi grubunun varyansı, popülasyon varyansından değişmez .
σ
2
{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
İşlemlerin etkisinin olmadığı Boş Hipotezine göre, her biri sıfır olacaktır.
T
ben
{\ displaystyle T_ {i}}
Artık üç karenin toplamını hesaplamak mümkün:
Bireysel
ben
=
∑
x
2
{\ displaystyle I = \ toplam x ^ {2}}
E
(
ben
)
=
n
σ
2
+
n
μ
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (I) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}}
Tedaviler
T
=
∑
ben
=
1
k
(
(
∑
x
)
2
/
n
ben
)
{\ displaystyle T = \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} \ sol (\ sol (\ toplamı x \ sağ) ^ {2} / n_ {i} \ sağ)}
E
(
T
)
=
k
σ
2
+
∑
ben
=
1
k
n
ben
(
μ
+
T
ben
)
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (\ mu + T_ {i}) ^ {2}}
E
(
T
)
=
k
σ
2
+
n
μ
2
+
2
μ
∑
ben
=
1
k
(
n
ben
T
ben
)
+
∑
ben
=
1
k
n
ben
(
T
ben
)
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2} +2 \ mu \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} (n_ {i} T_ { i}) + \ toplam _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (T_ {i}) ^ {2}}
Tedavilerin hiçbir farklılık yaratmadığı ve hepsinin sıfır olduğu boş hipotezi altında, beklenti,
T
ben
{\ displaystyle T_ {i}}
E
(
T
)
=
k
σ
2
+
n
μ
2
.
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}.}
Kombinasyon
C
=
(
∑
x
)
2
/
n
{\ displaystyle C = \ sol (\ toplamı x \ sağ) ^ {2} / n}
E
(
C
)
=
σ
2
+
n
μ
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (C) = \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}}
Kare sapmaların toplamları Sıfır hipotezine göre, herhangi bir I , T ve C çiftinin farkı , yalnızca 'ye bağımlılık içermez .
μ
{\ displaystyle \ mu}
σ
2
{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
E
(
ben
-
C
)
=
(
n
-
1
)
σ
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (IC) = (n-1) \ sigma ^ {2}}
toplam kareler toplamı
E
(
T
-
C
)
=
(
k
-
1
)
σ
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (TC) = (k-1) \ sigma ^ {2}}
açıklanmış karelerin toplamı
E
(
ben
-
T
)
=
(
n
-
k
)
σ
2
{\ displaystyle \ operatöradı {E} (IT) = (nk) \ sigma ^ {2}}
artık karelerin toplamı ( N - 1), ( k - 1) ve ( n - k ) sabitleri normalde serbestlik derecesi sayısı olarak adlandırılır .
Misal Çok basit bir örnekte, iki tedaviden 5 gözlem ortaya çıkmaktadır. İlk işlem 1, 2 ve 3 olmak üzere üç değer verir ve ikinci işlem 4 ve 6 olmak üzere iki değer verir.
ben
=
1
2
1
+
2
2
1
+
3
2
1
+
4
2
1
+
6
2
1
=
66
{\ displaystyle I = {\ frac {1 ^ {2}} {1}} + {\ frac {2 ^ {2}} {1}} + {\ frac {3 ^ {2}} {1}} + {\ frac {4 ^ {2}} {1}} + {\ frac {6 ^ {2}} {1}} = 66}
T
=
(
1
+
2
+
3
)
2
3
+
(
4
+
6
)
2
2
=
12
+
50
=
62
{\ displaystyle T = {\ frac {(1 + 2 + 3) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(4 + 6) ^ {2}} {2}} = 12 + 50 = 62 }
C
=
(
1
+
2
+
3
+
4
+
6
)
2
5
=
256
/
5
=
51.2
{\ displaystyle C = {\ frac {(1 + 2 + 3 + 4 + 6) ^ {2}} {5}} = 256/5 = 51,2}
Verme
Toplam kare sapmalar = 66 - 51,2 = 14,8, 4 serbestlik derecesi.
Tedavinin karesi sapmalar = 62 - 51,2 = 10,8, 1 serbestlik derecesi.
Kalan kare sapmalar = 66 - 62 = 4, 3 serbestlik derecesi ile.
İki yönlü varyans analizi Aşağıdaki varsayımsal örnek, iki farklı çevresel varyasyona ve üç farklı gübreye tabi 15 bitkinin verimini vermektedir.
Ekstra CO 2
Ekstra nem
Gübre yok
7, 2, 1
7, 6
Nitrat
11, 6
10, 7, 3
Fosfat
5, 3, 4
11, 4
Beş kare toplamı hesaplanır:
Faktör
Hesaplama
Toplam
σ
2
{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
Bireysel
7
2
+
2
2
+
1
2
+
7
2
+
6
2
+
11
2
+
6
2
+
10
2
+
7
2
+
3
2
+
5
2
+
3
2
+
4
2
+
11
2
+
4
2
{\ displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} + 7 ^ {2} + 6 ^ {2} + 11 ^ {2} + 6 ^ {2} + 10 ^ {2} + 7 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 11 ^ {2} + 4 ^ {2}}
641
15
Gübre × Çevre
(
7
+
2
+
1
)
2
3
+
(
7
+
6
)
2
2
+
(
11
+
6
)
2
2
+
(
10
+
7
+
3
)
2
3
+
(
5
+
3
+
4
)
2
3
+
(
11
+
4
)
2
2
{\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(7 + 6) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(11+ 6) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(10 + 7 + 3) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(5 + 3 + 4) ^ {2}} { 3}} + {\ frac {(11 + 4) ^ {2}} {2}}}
556.1667
6
Gübre
(
7
+
2
+
1
+
7
+
6
)
2
5
+
(
11
+
6
+
10
+
7
+
3
)
2
5
+
(
5
+
3
+
4
+
11
+
4
)
2
5
{\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 7 + 6) ^ {2}} {5}} + {\ frac {(11 + 6 + 10 + 7 + 3) ^ {2}} {5 }} + {\ frac {(5 + 3 + 4 + 11 + 4) ^ {2}} {5}}}
525.4
3
Çevre
(
7
+
2
+
1
+
11
+
6
+
5
+
3
+
4
)
2
8
+
(
7
+
6
+
10
+
7
+
3
+
11
+
4
)
2
7
{\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4) ^ {2}} {8}} + {\ frac {(7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 +4) ^ {2}} {7}}}
519.2679
2
Bileşik
(
7
+
2
+
1
+
11
+
6
+
5
+
3
+
4
+
7
+
6
+
10
+
7
+
3
+
11
+
4
)
2
15
{\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {15}}}
504.6
1
Son olarak, varyans analizi için gereken kare sapmaların toplamı hesaplanabilir.
Faktör
Toplam
σ
2
{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
Toplam
Çevre
Gübre
Gübre × Çevre
Artık
Bireysel
641
15
1
1
Gübre × Çevre
556.1667
6
1
−1
Gübre
525.4
3
1
−1
Çevre
519.2679
2
1
−1
Bileşik
504.6
1
−1
−1
−1
1
Kare sapmalar
136.4
14.668
20.8
16.099
84.833
Özgürlük derecesi
14
1
2
2
9
Ayrıca bakınız Referanslar
^ Mood & Graybill: İstatistik Teorisine Giriş (McGraw Hill)
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
