Küresel temel - Spherical basis

Olarak saf ve uygulanan matematik , özellikle kuantum mekaniği ve bilgisayar grafik ve uygulamaları, bir küresel baz olan baz ifade etmek için kullanılan küresel tansörlerine . Küresel temel, kuantum mekaniği ve küresel harmonik fonksiyonlardaki açısal momentumun tanımıyla yakından ilgilidir.

Küresel kutupsal koordinatlar , vektörleri ve tensörleri kutupsal ve azimut açıları ve radyal mesafeyi kullanarak ifade etmeye yönelik bir ortogonal koordinat sistemi olsa da , küresel taban standart tabandan oluşturulur ve karmaşık sayılar kullanır .

Üç boyutlu

Bir vektör, bir 3D içinde Öklid alan R ³ tanıdık ifade edilebilir kartezyen koordinat sisteminde de standart baz e _x , e _{, y} , e _{, z} ve koordinatları bir _X , bir _y , bir _z :

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z} }$

( 1 )

veya ilişkili temel vektör setine sahip herhangi bir başka koordinat sistemi . Bundan, karmaşık sayılarla çarpmaya izin vermek için skaleri genişletin, böylece şimdi yerine çalışıyoruz . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Temel tanım

Gösterilen küresel bazlar olarak E ₊ , e _- , e ₀ , bu tabana göre ve ilişkili koordinatları ile gösterilen bir ₊ , A _- , bir ₀ , vektör bir olduğu:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{+}\mathbf {e} _{+}+A_{-}\mathbf {e} _{-}+A_{0}\mathbf {e} _{0} }$

( 2 )

küresel temelli vektörlerin , xy düzleminde karmaşık değerli katsayılar kullanılarak Kartezyen temel açısından tanımlanabildiği yerde :

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\mathbf {e} _{+}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{x}-{\frac {i }{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{-}&=+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e } _{x}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{y}\\\end{hizalı}}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {e} _{ \pm }=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y}\sağ)\,}$

( 3A )

ki burada i belirtmektedir hayali birimi , ve düzlemine dik bir z yönü:

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\mathbf {e} _{z}}$

Ters ilişkiler şunlardır:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {1 }{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{y}&=+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{+}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{-}} \\\mathbf {e} _{z}&=\mathbf {e} _{0}\ bitiş{hizalı}}}$

( 3B )

komütatör tanımı

3 boyutlu uzayda bir temel vermek, küresel bir tensör için geçerli bir tanım olsa da, yalnızca rankın 1 olduğu durumu kapsar . Daha yüksek ranklar için, bir küresel tensörün komütatörü veya rotasyon tanımı kullanılabilir. Komütatör tanımı aşağıda verilmiştir , aşağıdaki ilişkileri sağlayan herhangi bir operatör küresel bir tensördür: ${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle T_{q}^{(k)}}$

Rotasyon tanımı

Küresel harmoniklerin bir dönüş altında nasıl dönüştüklerine benzer şekilde , genel bir küresel tensör, durumlar üniter Wigner D matrisi altında dönüştüğünde aşağıdaki gibi dönüşür ; burada R , SO(3)'te bir (3×3 dönüş) grup öğesidir . Yani bu matrisler döndürme grubu öğelerini temsil eder. Lie cebiri yardımıyla bu iki tanımın eşdeğer olduğu gösterilebilir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {D}}(R)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(R)T_{q}^{(k)}{\mathcal {D}}^{\hançer }(R)=\sum _{q'=-k}^ {k}T_{q'}^{(k)}{\matematiksel {D}}_{q'q}^{(k)}}$

koordinat vektörleri

Küresel taban için, koordinatlar A ₊ , A ₀ , A ₋ karmaşık değerli sayılardır ve ( 3B )'nin ( 1 ) ile değiştirilmesiyle bulunabilir veya doğrudan ⟨, ⟩ ( 5 ) iç çarpımından hesaplanabilir :

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{+}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{+}\right\rangle =-{\frac {A_{x}}{ \sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\A_{-}&=\left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {e} _{ -}\right\rangle =+{\frac {A_{x}}{\sqrt {2}}}+{\frac {iA_{y}}{\sqrt {2}}}\\\end{hizalı} }\quad \rightleftharpoons \quad A_{\pm }=\left\langle \mathbf {e} _{\pm },\mathbf {A} \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2} }}\sol(\mp A_{x}+iA_{y}\sağ)}$

( 4A )

${\displaystyle A_{0}=\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {A} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{z},\mathbf {A } \sağ\rangle =A_{z}}$

ters ilişkilerle:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_{+}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}A_ {-}\\A_{y}&=-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{+}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}A_{-}\ \A_{z}&=A_{0}\end{hizalı}}}$

( 4B )

Genel olarak, aynı gerçek değerli ortonormal olarak kompleks katsayıları ile iki vektörleri için e _i özelliği ile, e _i · e _j = δ _ij , iç çarpım olduğu:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \sağ\rangle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\star }=\sum _{j}a_{j }b_{j}^{\yıldız }}$

( 5 )

nerede · olağandır iççarpım ve karmaşık eşlenik * tutmak için kullanılmalıdır büyüklüğünü (veya "norm") vektörün pozitif tanımlı .

Özellikler (üç boyut)

ortonormallik

Küresel baz bir bir ortonormal baz için, iç çarpım ⟨,⟩ ( 5 her çiftin) baz vektörleri her karşılıklı olan anlamı yok eden ortogonal :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{-}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =0}$

ve her temel vektör bir birim vektördür :

${\displaystyle \left\langle \mathbf {e} _{+},\mathbf {e} _{+}\right\rangle =\left\langle \mathbf {e} _{-},\mathbf {e} _{-}\sağ\rangle =\sol\langle \mathbf {e} _{0},\mathbf {e} _{0}\right\rangle =1}$

dolayısıyla 1/ √ 2 normalleştirme faktörlerine ihtiyaç vardır .

Temel matris değişikliği

Tanımlayıcı ilişkiler ( 3A ) bir U dönüşüm matrisi ile özetlenebilir :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}}=\mathbf { U} {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

ters ile:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{x}\\\mathbf {e} _{y}\\\mathbf {e} _{z}\end{pmatrix}}=\mathbf { U} ^{-1}{\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{+}\\\mathbf {e} _{-}\\\mathbf {e} _{0}\end{pmatrix}} \,,\quad \mathbf {U} ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2 }}}&0\\+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,. }$

Görülebilir u a, üniter bir matris diğer bir deyişle, kendi Hermitsel konjügat U ^† ( karmaşık eşlenik ve matris devrik ) de ters matris u ^-1 .

koordinatlar için:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }{\begin{pmatrix }A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {U} ^{\mathrm {*} }={\başlangıç{pmatrix}-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{ \frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,,}$

ve ters:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=(\mathbf {U} ^{\mathrm {*} })^{- 1}{\begin{pmatrix}A_{+}\\A_{-}\\A_{0}\end{pmatrix}}\,,\quad (\mathbf {U} ^{\mathrm {*} }) ^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&+{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.}$

Çapraz ürünler

Küresel tabanlı vektörlerin çapraz ürünlerini alarak , açık bir ilişki buluruz:

${\displaystyle \mathbf {e} _{q}\times \mathbf {e} _{q}={\boldsymbol {0}}}$

burada q +, −, 0 ve daha az belirgin iki ilişki için bir yer tutucudur:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{\mp }=\pm i\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\pm }\times \mathbf {e} _{0}=\pm i\mathbf {e} _{\pm }}$

Küresel bazda iç çarpım

Küresel bazda iki A ve B vektörü arasındaki iç çarpım, iç ürünün yukarıdaki tanımından çıkar:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \sağ\rangle =A_{+}B_{+}^{\star }+A_{-}B_{-}^{\star } +A_{0}B_{0}^{\yıldız }}$

Ayrıca bakınız

• Wigner-Eckart teoremi
• Wigner D matrisi
• 3B döndürme grubu

Referanslar

Genel

• SSM Wong (2008). Giriş Nükleer Fizik (2. baskı). John Wiley ve Oğulları. ISBN'si 978-35-276-179-13.

Dış bağlantılar