Schneider–Lang teoremi - Schneider–Lang theorem

Matematikte, Schneider-Lang teoremi , meromorfik fonksiyonların değerlerinin aşkınlığı hakkında Schneider'in (1949) bir teoreminin Lang (1966) tarafından geliştirilmiş halidir . Teoremi hem ima Hermite-Lindemann ve Gelfond-Schneider teoremlerini ve bazı değerlerin aşkınlığını ima eliptik fonksiyonlar ve eliptik modüler fonksiyonlar .

Beyan

Bir saptamak numarası alanı K ve meromorfik f ₁ , ..., m _{, N} , en az iki cebirsel bağımsızdır ve var olan, siparişler p ₁ ve ρ ₂ ve bu şekilde ön _J ' ∈ K [ f ₁ , ..., m _{, N} ] için herhangi bir j . O zaman en fazla

${\displaystyle (\rho _{1}+\rho _{2})[K:\mathbb {Q} ].\,}$

farklı karmaşık sayılar ω ₁ ,…, ω _m öyle ki tüm i ve j kombinasyonları için f _i  ( ω _j )∈ K .

Örnekler

• Eğer f ₁ ( z ) =  Z ve f ₂ ( Z ) =  E ^z sonra teoremi eder Hermite-Lindemann teoremi bu e ^α sıfır olmayan cebirsel için aşkın bir α : Aksi, α , 2 α , 3 α , ... olacak bir değerlerin sonsuz sayıda olan her iki ön ₁ ve f ₂ cebirsel bulunmaktadır.
• Benzer bir şekilde alma f ₁ ( z ) =  E ^z ve f ₂ ( Z ) =  E ^βz için β mantıksız cebirsel ima Gelfond-Schneider teoremi eğer α ve α ^β olan cebirsel sonra α∈ {0,1} : Aksi, günlük ( α ), 2log ( α ), 3log ( α ), ... olan hem de değerlerinden sonsuz sayıda olacaktır f ₁ ve f ₂ cebirsel bulunmaktadır.
• Weierstrass P fonksiyonunun diferansiyel denklemi sağladığını hatırlayın.

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.\,}$

Üç fonksiyonu z , ℘( αz ) , ℘ ′ ( αz ) olarak almak , herhangi bir cebirsel α için , eğer g ₂ ( α ) ve g ₃ ( α ) cebirsel ise, o zaman ℘( α ) aşkın olduğunu gösterir.

• ρ dereceli bir f polinomu için fonksiyonları z ve e ^f(z) olarak almak , fonksiyonların tümünün cebirsel olduğu noktaların sayısının ρ  = derece( f ) mertebesiyle lineer olarak büyüyebileceğini gösterir .

Kanıt

Lang sonucu kanıtlamak için f ₁ ,…, f _N , diyelim ki f ve g'den cebirsel olarak bağımsız iki fonksiyon aldı ve ardından F ∈ K [ f , g ] yardımcı fonksiyonunu yarattı . Siegel'in lemmasını kullanarak , F'nin ω ₁ ,...,ω _m'de yüksek bir mertebede ortadan kaybolduğu varsayılabileceğini gösterdi . Böylece F'nin yüksek dereceli bir türevi, böyle bir ω _i s'de küçük boyutlu bir değer alır , burada "boyut" , bir sayının cebirsel özelliğine atıfta bulunur . Lang , maksimum modül ilkesini kullanarak F'nin türevlerinin mutlak değerleri için ayrı bir tahmin de buldu . Standart sonuçlar, bir sayının boyutunu ve mutlak değerini birbirine bağlar ve birleştirilmiş tahminler, m üzerinde iddia edilen sınırı belirtir .

Bombieri teoremi

Bombieri & Lang (1970) ve Bombieri (1970) sonucu birkaç değişkenli fonksiyonlara genelledi. Bombieri, K bir cebirsel sayı alanıysa ve f ₁ , ...,  f _N'nin , aşkınlık derecesine sahip bir K ( f ₁ , ...,  f _N ) alanı üreten en fazla ρ mertebesindeki d karmaşık değişkenlerinin meromorfik fonksiyonları olduğunu gösterdi.  tüm kısmi türevler altında kapalı olan en az d + 1, daha sonra tüm f _n fonksiyonlarının K'de değerlere sahip olduğu noktalar kümesi en fazla C ^d derecesinde bir cebirsel hiperyüzeyde bulunur

${\displaystyle d((d+1)\rho [K:\mathbb {Q} ]+1).}$

Waldschmidt (1979 , teorem 5.1.1), derece için biraz daha güçlü bir d (ρ ₁ +...+ρ _{d +1} )[ K : Q ] ile Bombieri teoreminin daha basit bir kanıtını verdi , burada ρ _j d +1 cebirsel olarak bağımsız fonksiyonların mertebeleridir . Özel durum d  = 1 , nokta sayısı için (ρ ₁ +ρ ₂ )[ K : Q ] ile Schneider-Lang teoremini verir .

Örnek

Eğer tamsayı katsayılı bir polinom ise , o zaman fonksiyonların tümü hiperyüzeyin yoğun bir dizi noktasında cebirseldir . ${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle z_{1},...,z_{n},e^{p(z_{1},...,z_{n})}}$${\görüntüleme stili p=0}$

Referanslar

• Bombieri, Enrico (1970), " Meromorfik haritaların cebirsel değerleri", Inventiones Mathematicae , 10 (4): 267–287, doi : 10.1007/BF01418775 , ISSN  0020-9910 , MR  0306201
  • Bombieri, Enrico (1971), " Makaleme ek: "Meromorfik haritaların cebirsel değerleri" (Invent. Math. 10 (1970), 267–287)", Inventiones Mathematicae , 11 (2): 163–166, doi : 10.1007/BF01404610 , ISSN  0020-9910 , MR  0322203
• Bombieri, Enrico ; Lang, Serge (1970), "Grup çeşitlerinin analitik alt grupları", Inventiones Mathematicae , 11 : 1–14, doi : 10.1007/BF01389801 , ISSN  0020-9910 , MR  0296028
• Lang, S. (1966), Aşkın Sayılara Giriş , Addison-Wesley Publishing Company
• Lelong, Pierre (1971), "Valeurs algébriques d'une application méromorphe (d'après E. Bombieri) Exp. No. 384", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971) , Lecture Notes in Math, 244 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 29–45, doi : 10.1007/BFb0058695 , ISBN 978-3-540-05720-8, MR  0414500
• Schneider, Theodor (1949), "Ein Satz über ganzwertige Funktionen als Prinzip für Transzendenzbeweise", Mathematische Annalen , 121 : 131–140 , doi : 10.1007/BF01329621 , ISSN  0025-5831 , MR  0031498
• Waldschmidt, Michel (1979), Nombres transcendants et groupes algébriques , Astérisque, 69 , Paris: Société Mathématique de France