Ölçek analizi (matematik) - Scale analysis (mathematics)

Yaklaşımı sığdır
kavramlar
Yaklaşım sıraları Ölçek analizi  · Büyük O notasyonu Eğri uydurma  · Yanlış kesinlik Anlamlı rakamlar
Diğer temel bilgiler
Yaklaşım  · Genelleme hatası Taylor polinomu Bilimsel modelleme
v T e

Ölçek analizi (veya büyüklük sırası analizi ), birçok terimli denklemlerin basitleştirilmesi için matematik bilimlerinde kullanılan güçlü bir araçtır . İlk önce denklemlerdeki bireysel terimlerin yaklaşık büyüklüğü belirlenir. O zaman bazı ihmal edilebilecek kadar küçük terimler göz ardı edilebilir.

Örnek: sinoptik ölçekli meteorolojide dikey momentum

Örneğin göz önünde ivme denklemi arasında Navier Stokes denklemlerinin atmosfer dikey koordinatı doğrultusunda

${\displaystyle {\frac {\kısmi w}{\kısmi t}}+u{\frac {\kısmi w}{\kısmi x}}+v{\frac {\kısmi w}{\kısmi y}}+ w{\frac {\partial w}{\partial z}}-{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}=-{{\frac {1}{\varrho }} {\frac {\partial p}{\partial z}}}-g+2{\Omega u\cos \varphi }+\nu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2} }}\Sağ),}$

( A1 )

burada R, bir toprak yarıçapı, Ω olan frekans dünyanın rotasyon, g olan yerçekimi ivmesi φ enlem, ρ olan yoğunluk hava ve ν olan kinematik viskozite (biz türbülansı ihmal edilebilir hava atmosferde ).

Gelen sinoptik ölçekte yaklaşık yatay hızları bekleyebilir U = 10 ¹  ms ^-1 ve düşey eksen etrafında W = 10 ^-2  ms ^-1 . Yatay ölçek L = 10 ⁶  m ve dikey ölçek , H = 10 ⁴  m. Tipik zaman ölçeği T = L / U = 10 ⁵  s'dir. Troposferdeki basınç farklılıkları Δ P = 10 ⁴  Pa ve havanın yoğunluğu ρ = 10 ⁰  kg⋅m ^−3'tür . Diğer fiziksel özellikler yaklaşık olarak:

R, = 6.378 x 10 ⁶ m;

Ω = 7.292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

ν = 1.46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

g = 9,81 m⋅s ^-2.

( A1 ) denklemindeki farklı terimlerin tahminleri, ölçekleri kullanılarak yapılabilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w }{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{ L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2} }{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2 }}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho } }{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\frac} \partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^ {2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}} }&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{hizalı}}}$

Şimdi bu ölçekleri ve değerlerini ( A1 ) denklemine sokabiliriz :

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&{}{\frac {10^{-2}}{10^{5}}}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6} }}+10{\frac {10^{-2}}{10^{6}}}+10^{-2}{\frac {10^{-2}}{10^{4}}}- {\frac {10^{2}+10^{2}}{10^{6}}}\\[12pt]&{}=-{{\frac {1}{1}}{\frac {10 ^{4}}{10^{4}}}-10+2\times 10^{-4}\times 10+10^{-5}\left({\frac {10^{-2}} {10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{12}}}+{\frac {10^{-2}}{10^{8}}}\sağ ).\end{hizalanmış}}}$

( A2 )

Sağ taraftaki birinci ve ikinci hariç tüm terimlerin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu görebiliriz. Böylece dikey momentum denklemini hidrostatik denge denklemine sadeleştirebiliriz :

${\displaystyle {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\kısmi p}{\kısmi z}}=-g.}$

( A3 )

Ölçek analizi kuralları

Ölçek analizi, ısı transferi ve akışkanlar mekaniği, basınçla yönlendirilen duvar jeti, geriye dönük adımların arkasındaki ayırma akışları, jet difüzyon alevleri, lineer ve lineer olmayan dinamiklerin incelenmesi alanındaki problemleri çözmek için çok kullanışlı ve yaygın olarak kullanılan bir araçtır. Ölçek analizi, genellikle tam olarak çözülemeyecek kadar karmaşık denklemlere yaklaşık çözümler elde etmek için etkili bir kısayoldur. Ölçek analizinin amacı, ilgilenilen miktarlar için büyüklük sırasına göre tahminler üretmek için konvektif ısı transferinin temel ilkelerini kullanmaktır. Ölçek analizi, doğru yapıldığında birinci dereceden bir faktör içinde, kesin analizlerle üretilen pahalı sonuçları öngörür. Ölçek analizi şu şekilde karar verdi:

Kural1- Ölçek analizinde ilk adım, ölçek analizini uyguladığımız kapsam alanını tanımlamaktır. Benzersiz olarak tanımlanmamış bir akış bölgesinin herhangi bir ölçek analizi geçerli değildir.

Kural2- Bir denklem, denklemde yer alan iki baskın terimin ölçekleri arasında bir denklik oluşturur. Örneğin,

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.}$

Yukarıdaki örnekte, sol taraf, sağ taraf ile eşit büyüklükte olabilir.

Kural3- tarafından verilen iki terimin toplamında ise

${\görüntüleme stili c=a+b}$

Bir terimin büyüklük mertebesi diğer terimin büyüklük mertebesinden büyüktür

${\ Displaystyle O(a)>O(b)}$

daha sonra toplamın büyüklük sırası baskın terim tarafından belirlenir.

${\görüntüleme stili O(c)=O(a)}$

İki terimin farkı varsa aynı sonuç geçerlidir.

${\görüntüleme stili c=ab}$

Kural4- İki terimin toplamında iki terimin büyüklükleri aynı ise,

${\görüntüleme stili c=a+b}$

${\görüntüleme stili O(a)=O(b)}$

o zaman toplam da aynı büyüklüktedir:

${\displaystyle O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)}$

Kural5- İki terimin çarpımı olması halinde

${\görüntüleme stili p=ab}$

çarpımın büyüklük sırası, iki faktörün büyüklük sıralarının çarpımına eşittir

${\görüntüleme stili O(p)=O(a)O(b)}$

oranlar için

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

Daha sonra

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}$

burada O(a), a'nın büyüklük sırasını temsil eder.

~, aynı büyüklük sırasına sahip iki terimi temsil eder.

> büyüklük sırası anlamında, daha fazlasını temsil eder.

Tam gelişmiş akışın ölçek analizi

Dairesel bir tüp içindeki viskoz bir sıvının sabit laminer akışını düşünün. Akışkanın kesit boyunca akış boyunca düzgün bir hızla girmesine izin verin. Akışkan tüpten aşağı hareket ettikçe, yüzeye hemen bitişik akışkanın hızı sıfır olduğundan, düşük hızlı bir akışkan sınır tabakası oluşur ve yüzeyde büyür. Silindirik boruların içindeki viskoz akışın özel ve basitleştirici bir özelliği, sınır tabakasının kendisiyle borunun merkez hattında buluşması gerektiği ve daha sonra hız dağılımının değişmez olan sabit bir model oluşturmasıdır. Hidrodinamik giriş uzunluğu, momentum sınır tabakasının büyüdüğü ve uzunlukla birlikte hız dağılımının değiştiği boru parçasıdır. Tam gelişmiş bölgedeki sabit hız dağılımına tam gelişmiş hız profili denir. İki boyutlu momentum denklemlerinin kararlı durum sürekliliği ve korunumu

${\displaystyle {\frac {\kısmi u}{\kısmi x}}+{\frac {\kısmi v}{\kısmi y}}=0,}$

( 1 )

${\displaystyle u{{\partial u} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\ frac {\partial P}{\partial x}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}u}{\kısmi y^{2}}}\sağ),}$

( 2 )

${\displaystyle u{{\partial v} \over {\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{{\frac {1}{\varrho }}{\ frac {\partial P}{\partial y}}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}v}{\kısmi y^{2}}}\sağ),}$

( 3 )

Bu denklemler ölçek analizi kullanılarak basitleştirilebilir. Tam gelişmiş bölgenin herhangi bir noktasında ve var . Şimdi, denklem ( 1 )'den, tam gelişmiş bölgedeki enine hız bileşeni, ölçekleme kullanılarak aşağıdaki gibi basitleştirilir: ${\görüntüleme stili x\sim L}$${\görüntüleme stili y\sim\delta }$${\displaystyle u\sim U_{\infty }}$

${\displaystyle v\sim {\frac {U_{\infty }\delta }{L}}}$

( 4 )

Tam gelişmiş bölgede , böylece enine hız ölçeği denklem ( 4 )' ten ihmal edilebilir . Bu nedenle tam gelişmiş akışta süreklilik denklemi şunları gerektirir: ${\görüntüleme stili L\gg \delta }$

${\displaystyle v=0,{\frac {\kısmi u}{\kısmi x}}=0}$

( 5 )

( 5 ) denklemine dayanarak , y momentum denklemi ( 3 ) şuna indirgenir:

${\displaystyle {\frac {\kısmi P}{\kısmi y}}=0}$

( 6 )

bu, P'nin yalnızca x'in işlevi olduğu anlamına gelir . Bundan, x momentum denklemi olur

${\displaystyle {\frac {dP}{dx}}=\mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\text{sabit}}}$

( 7 )

Her terim sabit olmalıdır, çünkü sol taraf yalnızca x'in işlevidir ve sağ taraf y'nin işlevidir . Sınır koşuluna bağlı olarak denklem ( 7 ) çözümü

${\displaystyle u=0,y=\pm {\frac {D}{2}}}$

( 8 )

bu, paralel plakalar arasında tam gelişmiş akış için iyi bilinen Hagen-Poiseuille çözümüyle sonuçlanır.

${\displaystyle u={\frac {3}{2}}U\sol[1-{\left({\frac {y}{D/2}}\sağ)}^{2}\sağ]}$

( 9 )

${\displaystyle U={\frac {D^{2}}{12\mu }}\sol(-{\frac {dP}{dx}}\sağ)}$

( 10 )

burada y , kanalın merkezinden uzakta ölçülür. Hız parabolik olacaktır ve akış yönünde birim kanal uzunluğu başına basınçla orantılıdır.

Ayrıca bakınız

• yaklaşıklık
• Boyutlu analiz

Referanslar

• Barenblatt, GI (1996). Ölçekleme, kendine benzerlik ve ara asimptotikler . Cambridge Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-521-43522-6.
• Tennekes, H .; Lumley, John L. (1972). Türbülansta ilk kurs . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN'si 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Konveksiyonla Isı Transferi . John Wiley ve oğulları. ISBN'si 978-81-265-0934-8.
• Kays, WM, Crawford ME (2012). Konvektif Isı ve Kütle Transferi . McGraw Hill Education (Hindistan). ISBN'si 978-1-25-902562-4.CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )

Dış bağlantılar

• Ölçek analizi ve Reynolds sayıları