Sağlam parametre tasarımı - Robust parameter design

Bir Sağlam parametre tasarımı tarafından ortaya Genichi Taguchi , bir bir deney tasarımı ile kontrol ve kontrol edilemeyen gürültü değişkenler arasındaki etkileşime yararlanmak için kullanılan robustification kontrol edilemeyen etkenlerden yanıt varyasyonu en aza indirmek kontrol faktörleri ayarlarını-bulma. Kontrol değişkenleri , deneycinin tam kontrolüne sahip olduğu değişkenlerdir. Gürültü değişkenleri spektrumun diğer tarafında yer alır. Bu değişkenler deneysel bir ortamda kolayca kontrol edilebilirken, deneysel dünyanın dışında kontrol edilmesi imkansız değilse de çok zordur. Sağlam parametre tasarımları, FFD'lerinkine benzer bir adlandırma kuralı kullanır. Bir 2 ^{(m1 + m2) - (P1-P2)} bir 2 katlı tasarımıdır m1 kontrol faktörlerinin sayısı, m2 , gürültü faktörlerinin sayısı p1 kontrol faktörleri için fraksiyonlama düzeyi, ve p2 olan gürültü faktörleri için fraksiyonasyon seviyesi.

Etki seyrekliği. Etkileşimler, yalnızca ana faktörlerden en az birinin yanıt üzerinde bir etkisi varsa yanıtı önemli ölçüde etkileyebilir.

Bir deneycinin kekin kalitesini iyileştirmek istediği Montgomery'den (2005) bir RPD kek pişirme örneğini düşünün. Kek üreticisi un miktarını, şeker miktarını, kabartma tozu miktarını ve pastanın renklendirme içeriğini kontrol edebilirken, fırın sıcaklığı ve pişirme süresi gibi diğer faktörler kontrol edilemez. Üretici, 20 dakikalık bir pişirme süresi için talimatları yazdırabilir, ancak gerçek dünyada tüketicilerin pişirme alışkanlıkları üzerinde hiçbir kontrolü yoktur. Kekin kalitesindeki farklılıklar, 350° yerine 325°'de pişirmekten veya keki fırında biraz fazla kısa veya çok uzun süre bırakmaktan kaynaklanabilir. Sağlam parametre tasarımları, gürültü faktörlerinin kalite üzerindeki etkilerini en aza indirmeye çalışır. Bu örnek için üretici, kek kalitesi üzerindeki pişirme süresi dalgalanmalarındaki etkileri en aza indirmeyi umuyor ve bunu yaparken kontrol faktörleri için en uygun ayarların yapılması gerekiyor.

RPD'ler öncelikle kontrol edilemeyen gürültü değişkenlerinin genellikle kolayca kontrol edildiği bir simülasyon ortamında kullanılır. Gerçek dünyada gürültü faktörlerini kontrol etmek zordur; deneysel bir ortamda, bu faktörler üzerindeki kontrol kolaylıkla sağlanır. Kek pişirme örneğinde, deneyci, kontrol artık kendi elinde olmadığında meydana gelebilecek bu tür dalgalanmaların etkilerini anlamak için pişirme süresini ve fırın sıcaklığını dalgalandırabilir.

Sağlam parametre tasarımları, en uygun tasarımın Hadamard matrisleri kullanılarak bulunabilmesi , etki hiyerarşisi ve faktör seyrekliği ilkelerinin muhafaza edilmesi ve tam RPD'ler kesirli olduğunda örtüşmenin mevcut olması bakımından kesirli faktöriyel tasarımlara (FFD'ler) çok benzer . FFD'ler gibi, RPD'ler de tarama tasarımlarıdır ve eldeki sistemin doğrusal bir modelini sağlayabilir. FFD'ler için etki hiyerarşisi ile kastedilen, daha yüksek dereceli etkileşimlerin yanıt üzerinde ihmal edilebilir bir etkiye sahip olma eğiliminde olmasıdır. Carraway'de belirtildiği gibi, ana etkilerin tepki üzerinde bir etkisi olması muhtemeldir, ardından iki faktörlü etkileşimler, sonra üç faktörlü etkileşimler vb. Etki seyrekliği kavramı, tüm faktörlerin yanıt üzerinde bir etkisi olmayacağıdır. Bu ilkeler, Hadamard matrislerinin parçalanmasının temelidir. Fraksiyonlara ayırarak, deneyciler daha az işlemde ve daha az kaynakla sonuçlar oluşturabilir. Çoğu zaman, RPD'ler bir deneyin erken aşamalarında kullanılır. İki seviyeli RPD'ler faktör etkileri arasında doğrusallık varsaydığından, faktör sayısı azaltıldıktan sonra eğriliği modellemek için başka yöntemler kullanılabilir.

Yapı

Kısmi tasarım deseni. Hadamard matrisleri, deneysel bir tasarım üretmek için normalleştirilebilir ve parçalanabilir.

Hadamard matrisleri sadece + ve -'den oluşan kare matrislerdir. Bir Hadamard matrisi normalleştirilir ve parçalanırsa, bir tasarım deseni elde edilir. Ancak, tüm tasarımlar eşit değildir; bu, bazı tasarımların diğerlerinden daha iyi olduğu ve hangi tasarımın en iyi olduğunu belirlemek için belirli tasarım kriterlerinin kullanıldığı anlamına gelir. Bir tasarım modeli elde ettikten sonra, deneyciler genellikle her bir faktörün hangi ayara ayarlanması gerektiğini bilirler. Desendeki her satır bir çalışmayı gösterir ve her sütun bir faktörü gösterir. Solda gösterilen kısmi tasarım deseni için deneyci, yanıt üzerinde etkisi olabilecek yedi faktör belirledi ve sekiz çalışmada hangi faktörlerin etkili olduğu konusunda fikir edinmeyi umuyor. İlk çalıştırmada, faktör 1, 4, 5 ve 6 yüksek seviyelere, faktör 2, 3 ve 7 düşük seviyelere ayarlanmıştır. Düşük seviyeler ve yüksek seviyeler, genellikle konu uzmanı tarafından tanımlanan ayarlardır. Bu değerler uç değerlerdir, ancak yanıtın düzgün olmayan bölgelere itileceği kadar uç değerlerde değildir. Her çalıştırmadan sonra sonuçlar elde edilir; ve OFAT yöntemini kullanmak yerine tek bir çalışmada birden fazla faktörü dalgalandırarak , değişkenler arasındaki etkileşimler ve ayrıca bireysel faktör etkileri tahmin edilebilir. İki faktör etkileşim halindeyse, o zaman bir faktörün yanıt üzerindeki etkisi, diğer faktörün ayarlarına bağlı olarak farklıdır.

Hadamard matrislerini uygun şekilde parçalara ayırmak çok zaman alıcıdır. Altı faktörü barındıran 24 aşamalı bir tasarım düşünün. Her bir Hadamard matrisinden Hadamard tasarımlarının sayısı 23, 6'dır; yani her 24×24 Hadamard matrisinden 100.947 tasarım. Bu boyutta 60 Hadamard matrisi olduğundan, karşılaştırılacak toplam tasarım sayısı 6.056.820'dir. Leoppky, Bingham ve Sitter (2006) tam arama metodolojisini kullandı ve 12, 16 ve 20 çalışma için en iyi RPD'leri listeledi. Tam arama işi çok kapsamlı olduğundan, daha büyük çalışma boyutları için en iyi tasarımlar genellikle hazır değildir. Bu durumda, bir Hadamard matrisini yalnızca tolere edilebilir miktarda örtüşmeye izin verecek şekilde parçalara ayırmak için başka istatistiksel yöntemler kullanılabilir. FFD'ler için ileriye doğru seçim ve geriye doğru eleme gibi verimli algoritmalar üretilmiştir, ancak kontrol ve gürültü değişkenlerini ayırt ederek ortaya çıkan örtüşme karmaşıklığı nedeniyle, bu yöntemlerin RPD'ler için etkili olduğu henüz kanıtlanmamıştır.

Tarih ve tasarım kriterleri

Tasarım kriterlerini tam olarak anlamak için tarihçe ve kesirli faktöriyel tasarımların anlaşılması gereklidir. FFD'ler, hangi faktörlerin bir yanıt üzerinde etkili olduğunu anlamaya çalışır ve uygun faktör ayarlarını bularak yanıtı optimize etmeye çalışır. RPD'lerin aksine, FFD'ler kontrol ve gürültü değişkenleri arasında ayrım yapmaz.

Çözünürlük ve minimum sapma

2003 yılında Bingham ve Sitter, iki seviyeli kesirli faktöriyel tasarımlar için maksimum çözünürlük ve minimum sapma tanımladı. Çözünürlük, mevcut en kötü örtüşme miktarını belirler ve sapma, tasarımda bu en kötü durum örtüşmenin ne kadarının bulunduğunu belirler. Çözünürlük III, iki faktörlü etkileşimlerle diğer ana etkileri tasarlar. Çözünürlük IV, üç faktörlü etkileşimlerle diğer ana etkileri tasarlar. Çözünürlük V, dört faktörlü etkileşimlerle diğer ana etkileri tasarlar. Çözünürlük arttıkça, üst düzey etkileşimler yanıt üzerinde ihmal edilebilir etkilere sahip olma eğiliminde olduğundan, örtüşme düzeyi daha az ciddi hale gelir. Çözünürlük düzenli tasarımları ölçer; yani, efektler ya tamamen aliased ya da hiç aliased değil. Aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun, "Faktör A, BC faktörlerinin iki faktörlü etkileşimi ile isimlendirilir." Bunun anlamı, eğer iki faktörlü etkileşim BC'nin yanıt üzerinde bir etkisi varsa, o zaman faktör A'nın yanıt üzerindeki etkisinin tahmini, faktör A'nın etkisi BC'nin etkisinden ayırt edilemediği için kirlenmiştir. Çözünürlük IV tasarımına göre çözünürlük V tasarımının tercih edildiği açıktır.

Aynı çözünürlükteki tasarımlar her zaman eşit değildir ve hangi tür örtüşmenin en kötü olduğu bilgisi, hangi tasarımın daha iyi olduğunu bilmek için yeterli değildir. Bunun yerine, en kötü durum takma adının ne kadarının gerekli olduğu konusunda daha fazla araştırma yapın. Bu fikir minimum sapma olarak bilinir. Daha iyi tasarımlar, en az miktarda en kötü durum takma adını içerir. D1 ve D2 tasarımlarının her ikisi de çözünürlük V tasarımlarıysa, ancak D1, 4 faktörlü etkileşimlerle örtüşen daha fazla ana efekt örneğine sahipse, o zaman D2 daha iyi tasarımdır. D2 daha iyi tasarımdır çünkü daha fazla miktarda iyi tahmin edilmiş efekt vardır.

Genelleştirilmiş çözünürlük ve genelleştirilmiş minimum sapma

Fontana, Pistone ve Rogantin, iki seviyeli kesirli faktöriyel tasarımlar için bir gösterge işlevi oluşturmuş ve 2003 yılında Ye, düzenli ve düzensiz tasarımlar için gösterge işlevini genişletmiştir. Bunu yaparken, Ye genelleştirilmiş çözünürlüğü ve genelleştirilmiş minimum sapmayı belirledi. Normal tasarımlar, çalışma boyutu iki güce eşit olan tasarımlardır; düzensiz tasarımlar dördün herhangi bir katı olabilir. Düzensiz tasarımlarda, efektler tamamen aliased, kısmen aliased veya hiç aliased olmayabilir. Genelleştirilmiş minimum sapma ve genelleştirilmiş çözünürlük, bu kısmi örtüşmeyi hesaba katar.

Biçimsel olarak Ye (2003), düzenli ve düzensiz tasarımlar arasında ayrım yapar ve herhangi bir polinom fonksiyonunun şu şekilde yazılabileceğini belirtir.

F(x)= Σ _JϵP b _J X _J (x)= Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x) , burada b _L = _1/2 ^m Σ _x∈F X _L ( x) ve b ₀ = n ⁄ 2 ^m .

Eğer |b _J∪K ⁄ b ₀ | = 1 o zaman tasarım düzenlidir; aksi takdirde kısmi takma mevcuttur.

Leoppky, Bingham ve Sitter'den (2006) uyarlanan efektlerin önceliği. RPD'ler, en yüksek öncelikli etkilerin tahminini korumalıdır.

Ye bu gösterge işlevini geliştirirken, Bingham ve Sitter sağlam parametre tasarımları için çözünürlük ve sapmanın netleştirilmesi üzerinde çalışıyorlardı. 2006 yılında, Leoppky, Bingham ve Sitter, sağlam parametre tasarımları için genişletilmiş kelime uzunluğu modeli ve gösterge fonksiyonunu yayınladı. RPD'ler, gürültü faktörlerine bağlı olarak proses varyasyonunu en aza indirmekle ilgilendikleri için, etkilerin önceliği, FFD'lerin etkilerinin hiyerarşisinden değişir. Ana etkiler hala birinci önceliktir ve iki faktörlü etkileşimler hala ikinci önceliktir; ancak herhangi bir etkileşimin gürültüyle kontrol (CN) etkileşimi varsa, bu etkileşim öncelik ölçeğinde 0,5 oranında artırılır. Örneğin, bir FFD'de bir CCN üç faktörlü etkileşim bir öncelik 3 olacaktır, çünkü üç faktörlü etkileşimler üçüncü öncelik, iki faktörlü etkileşimler ikinci önceliktir ve ana etkiler birinci önceliktir. Bununla birlikte, RPD'ler gürültü değişkenleriyle ilgili olduğundan, CCN etkileşimi öncelikli bir 2.5 etkisidir. CN etkileşimi önceliği 0,5 artırır; bu nedenle geleneksel öncelik 3 eksi CN etkileşimi için 0,5, 2.5 öncelik ile sonuçlanır. Tam bir öncelikler tablosu Leoppky, Bingham ve Sitter'de (2006) bulunabilir.

Tasarım karşılaştırması

Tanıtılan ilkelerin daha fazla araştırılması, tasarım karşılaştırmasının daha derin bir şekilde anlaşılmasını sağlayacaktır.

Düzenli kesirli faktöriyel tasarımlar için, kelime uzunluğu, hangi tür takma adların mevcut olduğunu belirleyecektir. Örneğin, "2367" kelimesi aşağıdaki gibi takma yapılara bölünebilir:

2367 kelimesinin uzunluğu 4'tür ve en kötü durum takma adı, ana etkilerin üç faktörlü etkileşimlerle ve iki faktörlü etkileşimlerin diğer iki faktörlü etkileşimlerle örtüşmesidir.

Etkilerin önceliği değiştiğinden, RPD'ler hakkında konuşurken kelime uzunlukları daha az basit hale gelir. 2., 3. ve 5. faktörlerin kontrol değişkenleri ve 7. ve 8. faktörlerin gürültü değişkenleri olduğu 23578 kelimesini düşünün . Aşağıdaki takma dizeler bu kelimeden türetilebilir:

2=3578, 3=2578 5=2378 veya C=CCNN
7=2358, 8=2357 veya N=CCCN
23=578, 25=378, 35=278 veya CC=CNN
27=358 ve 28=357 veya CN= CCN
235=78 veya CCC=NN

Artık ne tür örtüşmelerin meydana geldiği görülebildiğine göre, mevcut en kötü örtüşme miktarını belirlemek için Leoppky, Bingham ve Sitter'in etki önceliği kullanılmalıdır. Bu, herhangi bir CN etkileşiminin önceliği 0,5 oranında artırdığı anlamına gelir; ve kelime uzunluğu, takma dizginin her iki tarafının toplanmasıyla elde edilir. Aşağıdaki tablo, 23578 sözcüğünde bulunan her bir takma ad türü için toplamları bulur.

Daha düşük toplamlar daha kötü örtüşmeyi gösterdiğinden, bu kelime en kötü durumda uzunluk 4'e sahiptir. Bir FFD'de kontrol ve gürültü arasındaki farklılığın dikkate alınmayacağını ve bu kelimenin 5 uzunluğunda olacağını anlamak önemlidir; ancak RPD'ler bu ayrımla ilgilidir ve kelime uzunluk 5 gibi görünse de tasarım kriterleri öncelik 4'ü belirler. Şimdi, D1 tasarımının sadece analiz edilen kelimeyi (23578) içerdiğini varsayalım. D1, D2 ile karşılaştırılırsa ve D2'de bulunan en kötü durum takma adı 3.5 önceliğiyse, o zaman D1 daha iyi tasarım olurdu. Ancak, D2'nin en kötü durumdaki takma adı öncelik 4 ise, minimum sapma dikkate alınmalıdır. Her tasarım için, her tür en kötü durum örtüşmesinin frekanslarını hesaplayacağız. En kötü durum aliasing oluşumunu en aza indiren tasarım olarak daha iyi tasarım seçilecektir. Bu frekanslar, genişletilmiş kelime uzunluğu modeli (EWLP) kullanılarak düzenlenebilir.

gösterim

Minimum sapma kavramı, Leoppky, Bingham ve Sitter'de (2006) sağlanan tanımdan anlaşılabilir:

Herhangi iki 2 ^{(m1+m2 )-(p1+p2)} kesirli faktöriyel sağlam parametre tasarımı olan D1 ve D2 için, B _i (D1) = B _{i şeklinde} bir r varsa, D1'in D2'den daha az sapmaya sahip olduğunu söyleriz. (D2) tüm i < r – 1 ve B _r (D1) < B _r (D2) için . Başka hiçbir tasarımda D1'den daha az sapma yoksa, D1 minimum sapma kesirli faktöriyel sağlam parametre tasarımıdır.

Leoppky, Bingham ve Sitter (2006) ayrıca RPD gösterge işlevini şu şekilde sağlar:

Belirli bir tasarım, D ve bir çalışma, x∈D için , D üzerinde X _L(x) = Π _l∈L x _l bir kontrast tanımlayın , burada L ∈ P ve P , {1, 2'nin tüm alt kümelerinin kümesidir. , ..., m} . Bundan başka, tanımlama P _C , tüm alt-kümesi için {1, 2, ..., m} ve P _N , tüm alt-kümesi için {1, 2, ..., m} , burada bir öğe of P, L ≡ J ∪ K biçimindedir, burada J ∈ P _C ve K ∈ P _N .

Genişletilmiş kelime uzunluğu deseni

Bingham ve Sitter (2006), aşağıdaki konsepti sağlayarak EWLP'yi oluşturur:

F, gösterge fonksiyonu F(x)= Σ _J∈PC Σ _K∈PN b _J∪K X _J∪K (x) ile sağlam bir parametre tasarımı olsun , b _J∪K ≠ 0 ise , X _J∪K bir kelime uzunluğu r + (1- |b _J∪K ⁄ b ₀ |) / 2 , burada |b _J∪K ⁄ b ₀ | X _J∪K kelimesinin karıştırılma derecesinin bir ölçüsüdür . Ayrıca g _{r+l / 2t} , Tablo 2.1'e göre r = 2.0, 2.5, 3.0, ... olmak üzere uzunluk (r+l / 2t) kelimelerinin sayısı olsun . Bu nedenle, sağlam parametre tasarımı genişletilmiş sözcük uzunluğu modeli (g _2.0 ,...,g _{2.0+((t-1)) ⁄ 2t} ,...,g _m-1 ,...,g _{m+(t-) şeklindedir. 1) ⁄ 2t} ) .

Aşağıdaki EWLP'lere sahip D1 ve D2 tasarımlarını düşünün:

D1: [(0 0 3)(2 3 1)(2 5 5)]

D2: [(0 0 3)(2 4 0)(2 4 6)]

Bir EWLP soldan sağa okunabilir, çünkü sol taraf en ciddi örtüşme seviyesini gösterir ve biz sağa doğru hareket ettikçe örtüşme daha az ciddi hale gelir. D2 daha iyi tasarımdır çünkü D1'dekinden daha ciddi bir örtüşme daha meydana gelir.

Kullanımlar ve örnekler

Deney tasarımı (DOE), deney, modelleme ve simülasyonun temel bir parçasıdır. Banks, "Deneysel tasarım, her bir simülasyon replikasyonundan toplanması gereken bilgileri, kaç tekrarın yapılması gerektiğini ve hangi model parametre değişikliklerinin karşılaştırılması gerektiğini belirleyerek simülasyonla ilgili zaman ve çabayı azaltmakla ilgilidir." Kavramsal bir model programlanmış bir model olarak uygulandıktan sonra, deney yapmak ve simülasyon sonuçlarını en zamanında ve uygun maliyetli bir şekilde elde etmek için DOE gereklidir. Aşağıdaki örnekler, RPD'lerin önemli sonuçlar çıkarmak için kullanılabileceği durumları göstermektedir.

örnek 1

Brewer, Carraway ve Ingram'dan (2010) uyarlanan kalıcı pastal üretim örneğini düşünün. Konu uzmanları (KOBİ'ler), işaretleyicinin kalitesini etkileyebilecek yedi faktörü tanımlamıştır: mürekkep miktarı, propanol içeriği, bütanol içeriği, diaseton içeriği, kap kalitesi, nem ve sıcaklık . Mürekkebin miktarı, propanol içeriği, bütanol içeriği, diaseton içeriği ve kap kalitesi üretici tarafından belirlenir; nem ve sıcaklık, deneysel bir ortamda kolayca kontrol edilirken, ürün üreticinin elinden çıktıktan sonra kontrol edilemez. Üretici, işaretçi sıcaklığını 35 ila 80 Fahrenheit arasında tutmayı belirtse bile , tüketiciler 90 derecelik havalarda olabilir veya tavsiyeyi çok az dikkate alabilir. Bu varyasyon kontrol edilemez ve tüketicinin ürün hakkındaki görüşünü etkiler; bu nedenle üretici, ürünün sıcaklıktan kaynaklanan değişikliklere karşı dayanıklı olmasını ister.

Her olası faktör kombinasyonunu çalıştırmak için 128 çalıştırma olacaktır. Bununla birlikte, bu matrisi parçalara ayırarak, faktörlerin etkileri çok daha az sayıda çalışmada görülebilir. Bu nedenle, fraksiyonlama daha az maliyetli ve daha az zaman alıcıdır.

RPD oluşturulduktan sonra, her çalışmanın sonunda kalıcı işaretleyicinin kalitesi test edilir. Bu bir canlı simülasyon örneğidir çünkü işaretleyicinin kalitesini test etmek için gerçek dünyanın nem ve sıcaklığını simüle etmek gereklidir. Kalıcı keçeli kalem imalat şirketi, kalemin kullanılabileceği belirli yerlere seyahat etmek yerine yüksek veya düşük sıcaklıkları ve nemi simüle etmeyi tercih eder. Üretici zamandan ve paradan tasarruf sağlar ve işaretleyiciyi aşırı hava koşullarında veya başka yerlerde kullanan biriyle aynı etkiye yakındır.

Örnek 2

Bir mağaza müdürü olarak işe alındığınızı ve iş gücünün verimliliğini artırmak istediğinizi hayal edin. Günün her saatinde aynı sayıda kişinin çalıştığını fark ettiniz, ancak mağaza öğleden 15.30'a kadar daha yoğun ve akşam 7'den sonra boş. Personel eksikliği riskini almak istemezsiniz, bu nedenle en iyi zamanlama çözümünü belirlemek için farklı senaryoları simüle etmeyi seçersiniz. Planlama optimalliğini etkileyen kontrol faktörleri, bir vardiyadaki insan sayısını içerebilirken, kontrol edilemeyen faktörler hava ve trafik akışını içerebilir.

Eldeki ikilemi anlamak için yapıcı bir model uygulanır ve gürültü faktörlerinin etkilerini en aza indirmek için ihtiyaç duyduğumuz kontrol faktörlerinin ayarlarını belirlemek için kullanılan bir RPD yöntemidir. Başka bir deyişle, hava koşullarından veya trafik akışından bağımsız olarak mağazanın eksik veya fazla personel olmaması için her vardiyada kaç kişiye ihtiyaç duyulduğunu belirlemek için bir RPD kullanılabilir.

Analiz

RPD'ler FFD'lerle çok yakından ilişkili olduğundan, aynı analiz yöntemleri uygulanabilir. ANOVA , hangi faktörlerin önemli olduğunu belirlemek için kullanılabilir. Eğriliğin mevcut olup olmadığını belirlemek için merkez noktaları çalıştırılabilir. Birçok istatistik yazılım paketinde depolanmış ve analize hazır bölünmüş plan tasarımları bulunur. RPD'ler tarama tasarımlarıdır ve genellikle yanıt üzerinde etkisi olduğu düşünülen faktörlerin sayısını azaltmak için kullanılır.

Referanslar

daha fazla okuma

• Box, GEP, (1988), Sinyal-Gürültü Oranları, Performans Kriterleri ve Dönüşümler (tartışmalı), Technometrics, 30 1-40.
• Box, GEP, Hunter, WG ve Hunter, JS (1978), Deneyciler için İstatistikler . Wiley.
• Castillo, E. (2007), Süreç Optimizasyonu: İstatistiksel Bir Yaklaşım . Springer.
• Deng, LY ve Tang, B. (1999), Plackett-Burman ve Diğer Düzensiz Faktör Tasarımları için Genelleştirilmiş Çözünürlük ve Minimum Sapma Kriterleri, Statistica Sinica, 9 1071-1082.
• Deng, LY ve Tang, B. (2002), Genelleştirilmiş Minimum Sapma Kriterlerini Kullanarak Hadamard Matrisleri için Tasarım Seçimi ve Sınıflandırması, Technometrics, 44 173-184.
• Lawson, J. ve Erjavec, J. (2001), Modern İstatistikler Mühendislik ve Kalite Geliştirme . Duxbury.
• Loeppky, J. (2004), Düzenli Olmayan Tasarımların Sıralanması. Tez, Simon Fraser Üniversitesi.
• Novosad, S. ve Ingram, D. (2006), 16-Runlu ve 32-Runlu Düzenli Kesirli Faktöriyel Tasarımlara Alternatif Sağlayan Optimal Regüler Olmayan Tasarımlar. Arkansas Eyalet Üniversitesi, Eyalet Üniversitesi, AR.
• Pistone, G. ve Wynn, HP (1996), Generalized Confounding with Gröbner Bases, Biometrika, 83 653-666.
• Taguchi, G. (1986), Kalite Mühendisliğine Giriş . New York: Kaliteli Kaynaklar.
• Tang, B. ve Deng. LY (1999), Düzenli Olmayan Kesirli Faktöriyel Tasarımlar için Minimum G2-sapması , İstatistik Annals , 27 1914-1926.
• Wiley, A. ve Ingram, D. (2007), Bazı Düzensiz Tasarımların Karmaşık Örtüşme Modellerini Ortaya Çıkarmak. Kıdemli Onur Tezi, Arkansas Eyalet Üniversitesi, Eyalet Üniversitesi, AR.