Reuleaux üçgeni - Reuleaux triangle
Bir Reuleaux üçgeni [ʁœlo] a, eğimli üçgen ile sabit genişlikte , daire dışında genişliği sabit en basit ve en iyi bilinen eğri. Herbirinin merkezi diğer ikisinin sınırında olanüç dairesel diskin kesişiminden oluşur. Sabit genişlik, yönlerinden bağımsız olarakher iki paralel destek hattının ayrılmasınınaynı olduğuanlamına gelir. Reuleaux üçgeni tüm çapları aynı olduğu için "Daire dışında bir rögar kapağı delikten aşağı düşmemesi için nasıl bir şekil yapılabilir?" sorusunun bir cevabıdır.
Reuleaux üçgenleri ayrıca küresel üçgenler olarak da adlandırılmıştır , ancak bu terim daha doğru bir şekilde bir kürenin kavisli yüzeyindeki üçgenlere atıfta bulunur . İsimleri , bir hareket türünü diğerine çevirmek için makine çalışmalarına öncülük eden ve tasarımlarında Reuleaux üçgenlerini kullanan 19. yüzyıl Alman mühendisi Franz Reuleaux'dan almıştır . Bununla birlikte, bu şekiller, örneğin Gotik kilise pencerelerinin tasarımcıları, onu bir harita projeksiyonu için kullanan Leonardo da Vinci ve sabit genişlikli şekiller çalışmasında Leonhard Euler tarafından zamanından önce biliniyordu . Reuleaux üçgeninin diğer uygulamaları arasında gitar penalarına şekil verilmesi , yangın musluğu somunları, kurşun kalemler ve filetolu kare deliklerin delinmesi için matkap uçlarının yanı sıra bazı işaretler ve kurumsal logoların şekillerinde grafik tasarım yer alır.
Belirli bir genişliğe sahip sabit genişlikli şekiller arasında, Reuleaux üçgeni köşelerinde minimum alana ve mümkün olan en keskin (en küçük) açıya (120°) sahiptir. Birkaç sayısal ölçümle, merkezi simetrik olmaktan en uzak olanıdır . Bir tamsayı kafesinin noktalarından kaçınarak en büyük sabit genişlikli şekli sağlar ve çevrenin çapa oranını maksimize eden dörtgenin şekli ile yakından ilişkilidir. Her zaman karenin dört kenarına dokunarak bir kare içinde tam bir dönüş yapabilir ve bu özelliği ile mümkün olan en küçük şekil alanına sahiptir. Ancak, bu döndürme işleminde karenin çoğunu kaplamasına rağmen, karenin köşelerine yakın alanının küçük bir bölümünü kapsayamaz. Bir kare içinde dönme özelliğinden dolayı, Reuleaux üçgeni bazen Reuleaux rotoru olarak da bilinir .
Reuleaux üçgeni, sınırları tek sayıda kenarlı düzenli çokgenlerden oluşan sabit genişlikte eğriler olan bir Reuleaux çokgenleri dizisinin ilkidir . Bu eğrilerden bazıları madeni paraların şekli olarak kullanılmıştır . Reuleaux üçgeni ayrıca çeşitli şekillerde üç boyuta genelleştirilebilir: Reuleaux tetrahedron ( merkezleri düzenli bir tetrahedron üzerinde bulunan dört topun kesişimi ) sabit genişliğe sahip değildir, ancak Meissner tetrahedron'u oluşturmak için kenarları yuvarlatılarak değiştirilebilir. , ki yapar. Alternatif olarak, Reuleaux üçgeninin dönüş yüzeyi de sabit genişliğe sahiptir.
Yapı
Reuleaux üçgeni ya doğrudan üç çemberden ya da bir eşkenar üçgenin kenarları yuvarlatılarak oluşturulabilir .
Üç daireli yapı, bir cetvele bile ihtiyaç duymadan yalnızca bir pergel ile yapılabilir . By Mohr-Mascheroni teoremi aynı daha genel herhangi doğrudur pusula-ve-cetvel yapımı , ancak Reuleaux üçgeni inşaat özellikle basittir. İlk adım, düzlemin (sonunda üçgenin köşeleri olacak) iki keyfi noktasını işaretlemek ve işaretli noktalardan birinde ortalanmış bir daireyi diğer işaretli noktadan geçmek için pusulayı kullanmaktır. Daha sonra, aynı yarıçapta, diğer işaretli noktada ortalanmış ve ilk işaretlenmiş noktadan geçen ikinci bir daire çizilir. Son olarak, yine aynı yarıçapta, merkezi önceki iki dairenin iki kesişme noktasından birinde olan ve her iki işaretli noktadan geçen üçüncü bir daire çizilir. Ortaya çıkan üç daire düzenlemesindeki merkezi bölge bir Reuleaux üçgeni olacaktır.
Alternatif olarak, bir T eşkenar üçgeninden , her biri T'nin bir köşesinde ortalanmış ve diğer iki köşeyi birleştiren üç daire yayı çizerek bir Reuleaux üçgeni oluşturulabilir. Veya eşdeğer olarak, yarıçapı T'nin kenar uzunluğuna eşit olan, T'nin köşelerinde merkezlenmiş üç diskin kesişimi olarak oluşturulabilir .
matematiksel özellikler
Reuleaux üçgeninin en temel özelliği, sabit genişliğe sahip olmasıdır, yani her bir paralel destek çizgisi çifti için (aynı eğimin iki çizgisi, her ikisi de şekle temas etmeden, onu kesmeden), iki çizginin aynı Öklid mesafesine sahip olmasıdır. Bu çizgilerin yönü ne olursa olsun birbirlerine. Herhangi bir paralel destekleyici çizgi çiftinde, iki çizgiden biri mutlaka üçgenin köşelerinden birine dokunacaktır. Diğer destek çizgisi, karşı yayın üzerindeki herhangi bir noktada üçgene dokunabilir ve bunların mesafesi (Reuleaux üçgeninin genişliği) bu yayın yarıçapına eşittir.
Sabit genişlikte eğrilerin varlığını keşfeden ve Reuleaux üçgeninin sabit genişliğe sahip olduğunu gözlemleyen ilk matematikçi Leonhard Euler olabilir . Euler , 1771'de sunduğu ve 1781'de De curvis triangularibus başlıklı bir makalesinde , eğrisel üçgenlerin yanı sıra orbiformlar olarak adlandırdığı sabit genişlikli eğrileri inceledi .
aşırı önlemler
Birçok farklı ölçüyle, Reuleaux üçgeni, sabit genişliğin en uç eğrilerinden biridir.
Tarafından Blaschke-Lebesgue teoremi , Reuleaux üçgen verilen sabit genişlikte bir eğrinin mümkün olan en küçük bir alana sahiptir. Bu alan
burada s sabit genişliktir. Bu alan formülünü elde etmenin bir yöntemi, Reuleaux üçgenini bir iç eşkenar üçgene ve bu iç üçgen ile Reuleaux üçgenini oluşturan yaylar arasında üç eğrisel bölgeye bölmek ve sonra bu dört kümenin alanlarını toplamaktır. Diğer uçta ise, mümkün olan en yüksek alana sahip sabit genişlikte eğrisi olan daire şeklinde bir disk alanı, .
Bir Reuleaux üçgeninin köşelerindeki her bir yay çiftinin yaptığı açıların tümü 120°'ye eşittir. Bu, sabit genişlikteki herhangi bir eğrinin herhangi bir köşesinde olası en keskin açıdır . Ek olarak, sabit genişlikli eğriler arasında Reuleaux üçgeni, hem en büyük hem de en küçük yazılı eşkenar üçgenlere sahip olan üçgendir. Bir Reuleaux üçgeninde yazılı olan en büyük eşkenar üçgen, onun üç köşesini birleştirendir ve en küçüğü , kenarlarının üç orta noktasını birleştirendir. Üç veya daha fazla çapa ait noktalardan oluşan Reuleaux üçgeninin alt kümesi, bu iki üçgenden daha büyük olanın iç kısmıdır; sabit genişlikteki diğer herhangi bir eğrinin üç çaplı noktaları kümesinden daha geniş bir alana sahiptir.
Reuleaux üçgeni, eşkenar üçgende olduğu gibi altı katlı dihedral simetriye sahip olmasına rağmen, merkezi simetriye sahip değildir . Reuleaux üçgeni, merkezi asimetrinin iki farklı ölçüsüne göre sabit genişlikte en az simetrik eğridir, Kovner-Besicovitch ölçüsü (alanın eğri tarafından çevrelenen en büyük merkezi simetrik şekle oranı ) ve Estermann ölçüsü ( alanın kareye oranı ) . eğriyi çevreleyen en küçük merkezi simetrik şekil). Reuleaux üçgeni için, asimetri ölçülerini belirleyen iki merkezi simetrik şeklin her ikisi de altıgendir , ancak içteki eğri kenarlara sahiptir. Reuleaux üçgeni, alanını diğer sabit genişlikteki herhangi bir eğriden daha eşit olmayan bir şekilde bölen çaplara sahiptir. Yani, bir çapın her iki tarafındaki alanların maksimum oranı, başka bir asimetri ölçüsü, Reuleaux üçgeni için sabit genişlikteki diğer eğrilerden daha büyüktür.
Tamsayılı bir kafesin tüm noktalarından kaçınan sabit genişlikteki tüm şekiller arasında en büyük genişliğe sahip olanı bir Reuleaux üçgenidir. Yarım tamsayılı bir doğru üzerinde koordinat eksenlerine paralel simetri eksenlerinden birine sahiptir. Genişliği, yaklaşık 1.545, tamsayı katsayıları olan bir derece-6 polinomunun köküdür.
Bir dairenin kendisine dokunan altı eş daire tarafından çevrelenmesi mümkün olduğu gibi, yedi tane uyumlu Reuleaux üçgenini, hepsi aynı boyuttaki merkezi bir Reuleaux üçgeni ile temas edecek şekilde düzenlemek de mümkündür. Bu, sabit genişlikteki herhangi bir eğri için mümkün olan maksimum sayıdır.
Tüm arasında dörtgensel , kendi en büyük oranı şekil çevre onun için çapı bir olan equidiagonal uçurtma bir Reuleaux üçgen içine yazılmış olabilir.
Diğer önlemler
Tarafından Barbier'in teoremi Reuleaux üçgen dahil olmak üzere genişliği aynı sabit her eğrileri eşit olması çevrelerinin . Özellikle bu çevre, aynı genişliğe sahip dairenin çevresine eşittir, yani .
Büyük yarıçapları çizilebilen genişliği olan bir Reuleaux üçgenin s , ve sınırlandırılmış daire aynı üçgenin vardır
sırasıyla; bu yarıçapların toplamı Reuleaux üçgeninin genişliğine eşittir. Daha genel olarak, sabit genişlikteki her eğri için, en büyük yazılı daire ve en küçük çevrelenmiş daire eş merkezlidir ve yarıçapları toplamı eğrinin sabit genişliğine eşittir.
Reuleaux üçgenleri düzlemde ne kadar yoğun bir şekilde paketlenebilir?
Düzlemdeki Reuleaux üçgeninin optimal paketleme yoğunluğu kanıtlanmamıştır, ancak olduğu tahmin edilmektedir.
bu, bu şekiller için olası bir çift kafesli ambalajın yoğunluğudur . Paketleme yoğunluğunda en iyi kanıtlanmış üst sınır yaklaşık 0.947275'tir. Ayrıca, Reuleaux üçgenlerinin sabit genişlikteki herhangi bir eğrinin en yüksek paketleme yoğunluğuna sahip olduğu varsayılmıştır, ancak kanıtlanmamıştır.
Kare içinde döndürme
Sabit genişlikteki herhangi bir eğri, kare içinde kalırken ve her zaman karenin dört kenarına dokunarak tam bir dönüş gerçekleştirebilen bir şekil olan bir kare içinde bir rotor oluşturabilir . Ancak Reuleaux üçgeni, mümkün olan minimum alana sahip rotordur. Döndükçe ekseni tek bir noktada sabit kalmaz, bunun yerine dört elips parçasının oluşturduğu bir eğriyi takip eder . 120° açıları nedeniyle, dönen Reuleaux üçgeni, karenin köşelerindeki daha keskin açıların yakınındaki bazı noktalara ulaşamaz, bunun yerine eliptik yaylardan oluşan hafif yuvarlatılmış köşeleri olan bir şekli kaplar.
Bu dönüş sırasında herhangi bir noktada, Reuleaux üçgeninin iki köşesi karenin bitişik iki kenarına dokunurken, üçgenin üçüncü köşesi karenin karşı köşesine yakın bir eğri çizer. Dönen Reuleaux üçgeninin çizdiği şekil, kare alanının yaklaşık %98.77'sini kaplar.
Karşı örnek olarak
Reuleaux'nun Reuleaux üçgenini incelemek için orijinal motivasyonu, üç tek nokta temasının düzlemsel bir nesneyi tek bir konuma sabitlemek için yeterli olmayabileceğini gösteren bir karşı örnekti. Reuleaux üçgenlerinin ve sabit genişlikteki diğer eğrilerin varlığı, çap ölçümlerinin tek başına bir nesnenin dairesel bir kesite sahip olduğunu doğrulayamayacağını gösterir.
İle bağlantılı olarak yazılı kare bir sorun , Eggleston (1958) Reuleaux üçgen fazla dört tarafı ile bir düzgün poligon düzenli altıgen hariç çizilebilecek hangi bir sabit genişlikli şeklinin bir örneğini sağlar olduğu görülmektedir, ve bir küçük tarif sabit genişliğini koruyan ama aynı zamanda içine düzenli altıgenlerin yazılmasını önleyen bu şekle değişiklik. O, onun aynı şekle sahip olan bir silindir kullanarak üç boyutlu bu sonucu genel kesiti .
Uygulamalar
Köşelere ulaşmak
Birkaç tür makine, bir kare içinde dönebilme özelliğine bağlı olarak Reuleaux üçgeninin şeklini alır.
Watt Brothers Tool Works kare matkap ucu kesici yüzeyleri oluşturmak üzere içbükeylikleri modifiye edilmiş Reuleaux üçgen şekline sahiptir. Ucun sabit bir dönüş merkezine sahip olmamasına izin veren özel bir aynaya monte edildiğinde, neredeyse kare olan bir delik açabilir. 1914'te Henry Watts tarafından patenti alınmış olmasına rağmen, başkaları tarafından icat edilen benzer matkaplar daha önce kullanıldı. Diğer Reuleaux çokgenleri beşgen, altıgen ve sekizgen delikler açmak için kullanılır.
Panasonic'in RULO robotik elektrikli süpürgesi , odaların köşelerindeki tozu temizlemeyi kolaylaştırmak için Reuleaux üçgenini temel alan bir şekle sahiptir.
yuvarlanan silindirler
Reuleaux üçgeninin bir başka uygulama sınıfı, Reuleaux üçgeni enine kesiti olan silindirik nesneleri içerir. Daha geleneksel yuvarlak veya altıgen fıçılardan ziyade bu şekilde birkaç kalem üretilir. Genellikle daha rahat oldukları veya uygun tutuşu teşvik ettikleri ve masalardan yuvarlanma olasılıklarının daha düşük olduğu (ağırlık merkezi yuvarlanan bir altıgenden daha fazla yukarı ve aşağı hareket ettiğinden) olarak tanıtılırlar.
Bir Reuleaux üçgeni ( sabit genişlikteki diğer tüm eğrilerle birlikte ) yuvarlanabilir, ancak sabit bir dönme merkezi etrafında yuvarlanmadığı için zayıf bir tekerlek yapar. Reuleaux üçgeni enine kesitleri olan silindirlerin üzerindeki bir nesne düzgün ve düz bir şekilde yuvarlanacaktır, ancak Reuleaux üçgen tekerleklerine bağlı bir aks devir başına üç kez yukarı ve aşağı sıçrayacaktır. Bu kavram Poul Anderson'ın "Üç Köşeli Tekerlek" başlıklı kısa bilimkurgu öyküsünde kullanılmıştır . Yüzer akslara ve Reuleaux üçgen şeklindeki tekerleğinin kenarı tarafından desteklenen bir çerçeveye sahip bir bisiklet, 2009 yılında aynı şekle sahip kalemlerden ilham alan Çinli mucit Guan Baihua tarafından yapıldı ve gösterildi.
Mekanizma tasarımı
Reuleaux üçgen uygulamaları diğer bir sınıfı, bir bir parçası olarak kullanımını içerir mekanik bağlantı dönüştürmek sabit bir eksen etrafında dönme içinde karşılıklı hareket . Bu mekanizmalar Franz Reuleaux tarafından incelenmiştir. Gustav Voigt şirketinin yardımıyla Reuleaux, birçoğu Reuleaux üçgenini içeren yaklaşık 800 model mekanizma inşa etti. Reuleaux, bu modelleri, hareketlerine ilişkin öncü bilimsel araştırmalarında kullandı. Reuleaux-Voigt modellerinin çoğu kaybolmuş olsa da, 9'u Reuleaux üçgenine dayalı olmak üzere 219'u Cornell Üniversitesi'nde toplanmıştır . Bununla birlikte, mekanizma tasarımında Reuleaux üçgenlerinin kullanımı Reuleaux'nun çalışmasından önce gelir; örneğin, 1830 gibi erken bir tarihte bazı buhar motorlarında Reuleaux üçgeni şeklinde bir kam vardı .
Bu ilkenin bir uygulaması bir film projektöründe ortaya çıkar . Bu uygulamada, filmi sarsıntılı, adım adım bir hareketle ilerletmek gerekir; bu harekette, filmin her bir karesi, projektör merceğinin önünde bir saniyenin bir kısmı için durur ve ardından, film çok daha hızlı bir şekilde bir sonrakine taşınır. çerçeve. Bu, bir kare içinde bir Reuleaux üçgeninin dönüşünün, filmi her yeni kareye hızla çeken ve ardından kare yansıtılırken filmin hareketini duraklatan bir aktüatör için bir hareket modeli oluşturmak için kullanıldığı bir mekanizma kullanılarak yapılabilir.
Wankel motorunun rotoru , genellikle bir Reuleaux üçgeni örneği olarak anılan eğrisel bir üçgen şeklindedir. Bununla birlikte, kavisli kenarları Reuleaux üçgeninden biraz daha düzdür ve bu nedenle sabit genişliğe sahip değildir.
Mimari
Gelen Gotik mimarisi , 13. yüzyıl sonlarında veya 14. yüzyılın başında başlayan Reuleaux üçgen birkaç sık pencereler için kullanılan eğrisel formların, pencere biri oldu oyma ve diğer mimari süslemeleri. Örneğin, İngiliz Gotik mimarisinde , bu şekil, hem 1250–1290 geometrik tarzında hem de 1290–1350 eğrisel tarzına devam ederek dekore edilmiş dönemle ilişkilendirildi. Milano Katedrali'nin bazı pencerelerinde de görülür . Bu bağlamda, şekil daha sık bir küresel üçgen olarak adlandırılır, fakat daha olağan matematiksel anlam küresel üçgenin bir yüzeyi üzerinde bir üçgen alanında (aynı zamanda, bir şekilde mimarisinde kullanılan bir şekil pandantifinde ). Gotik kilise mimarisinde Kullanımda, Reuleaux üçgenin üç köşeli şekil sembolü olarak hem görülebilir Trinity ve "çember şeklinde muhalefet eylemi" olarak.
Reuleaux üçgeni diğer mimari tarzlarda da kullanılmıştır. Örneğin, Leonardo da Vinci bu şekli bir tahkimat planı olarak çizdi. Reuleaux üçgeni şeklindeki bir zemin planı kullandığı iddia edilen modern binalar arasında MIT Kresge Oditoryumu , Kölntriangle , Donauturm , Torre de Collserola ve Mercedes-Benz Müzesi bulunmaktadır . Ancak çoğu durumda bunlar, Reuleaux üçgeninden farklı geometriye sahip yalnızca yuvarlak üçgenlerdir.
harita yapımı
Da Vinci'nin yaklaşık 1514 tarihli dünya haritası olan Reuleaux üçgeninin bir başka erken uygulaması, dünyanın küresel yüzeyinin her biri bir Reuleaux üçgeni şeklinde düzleştirilmiş sekiz oktanta bölündüğü bir dünya haritasıydı .
Yine Reuleaux üçgenine dayanan benzer haritalar 1551'de Oronce Finé ve 1580'de John Dee tarafından yayınlandı .
Diğer nesneler
Birçok gitar penasında Reuleaux üçgeni kullanılır, çünkü şekli güçlü bir artikülasyon sağlamak için keskin bir noktayı ve sıcak bir tını oluşturmak için geniş bir ucu birleştirir. Şeklin üç noktası da kullanılabilir olduğundan, tek uçlu bir kazmaya kıyasla yönlendirmesi daha kolaydır ve daha az çabuk aşınır.
Reuleaux üçgeni, bir yangın musluğu vana somununun kesiti için şekil olarak kullanılmıştır . Bu şeklin sabit genişliği, standart paralel çeneli anahtarlar kullanılarak yangın musluğunun açılmasını zorlaştırır; bunun yerine özel bir şekle sahip bir anahtar gereklidir. Bu özellik, yangın hidrantlarının itfaiyeciler (özel anahtarı olan) tarafından açılmasına izin verir, ancak hidrantı diğer faaliyetler için su kaynağı olarak kullanmaya çalışan diğer kişiler tarafından değil.
Keto'nun (1997) bir önerisini takiben , Hawaii'deki Mauna Kea'da bir radyo dalgası astronomik gözlemevi olan Milimetre - altı Dizisi'nin antenleri, iç içe geçmiş dört Reuleaux üçgeni üzerinde düzenlenmiştir. Antenleri sabit genişlikte bir eğri üzerine yerleştirmek, gözlemevinin her yönde aynı uzaysal çözünürlüğe sahip olmasını sağlar ve dairesel bir gözlem ışını sağlar. Sabit genişliğin en asimetrik eğrisi olan Reuleaux üçgeni , diziden gelen sinyalin Fourier dönüşümü için düzlemin en düzgün kapsamına yol açar . Anten, her gözlemin istenen açısal çözünürlüğüne göre farklı gözlemler için bir Reuleaux üçgeninden diğerine hareket ettirilebilir. Antenlerin bu Reuleaux üçgenleri üzerindeki hassas yerleşimi, bir sinir ağı kullanılarak optimize edildi . Bazı yerlerde inşa edilen gözlemevi, tercih edilen Reuleaux üçgeni şeklinden ayrılmaktadır, çünkü bu şekil verilen alan içinde mümkün değildir.
İşaretler ve logolar
Birçok tabela ve kurumsal logo için kullanılan kalkan şekilleri yuvarlak üçgenlere sahiptir. Ancak bunlardan sadece bazıları Reuleaux üçgenleridir.
Avrupa, Kuzey Amerika ve Afrika'da büyük operasyonları olan Belçikalı bir petrol şirketi olan Petrofina'nın (Fina) kurumsal logosu, 1950'den Petrofina'nın 2000 yılında Total SA ile birleşmesine kadar Fina adıyla bir Reuleaux üçgeni kullandı . Bavaria Brewery'nin güneyi gösteren pusulası olan üçgen, SAN 2010 Yılın Reklamcısı ödülünü kazanan tasarım şirketi Total Identity tarafından yapılan makyajın bir parçasıydı. Reuleaux üçgeni, Colorado Maden Okulu'nun logosunda da kullanılmaktadır .
Amerika Birleşik Devletleri'nde, Ulusal Yollar Sistemi ve Amerika Birleşik Devletleri Bisiklet Rotası Sistemi , tabelalarda Reuleaux üçgenleriyle rotaları işaretler.
Doğada
Göre plato kanunları , iki boyutlu olarak daire yayları sabun köpüğü kümeleri 120 ° açıda, aynı açı Reuleaux üçgenin köşelerde bulunan buluş. Bu gerçeğe dayanarak, bazı baloncukların Reuleaux üçgeni şeklini aldığı kümeler oluşturmak mümkündür.
Şekil ilk olarak 2014 yılında Reuleaux üçgen diskleri olarak kristal formda izole edilmiştir. Reuleaux üçgen şeklindeki bazik bizmut nitrat diskleri , 2,3-bis(2-piridil)pirazin varlığında bir etanol-su sisteminde bizmut nitratın hidrolizi ve çökeltilmesinden oluşturulmuştur .
genellemeler
Reuleaux üçgeninden sabit bir mesafedeki noktaların geometrik yeri olarak, keskin köşelerden ziyade pürüzsüz olan sabit genişlikte üçgen eğriler elde edilebilir. Reuleaux üçgeninin diğer genellemeleri, üç boyutlu yüzeyler, üçten fazla kenarı olan sabit genişlikteki eğriler ve genişlik, çap ve yarıçap arasındaki eşitsizliğin uç örneklerini sağlayan Yanmouti kümelerini içerir.
Üç boyutlu versiyon
Kenar uzunluğu s olan düzgün bir tetrahedronun köşelerinde merkezlenmiş, yarıçapı s olan dört topun kesişimi Reuleaux tetrahedron olarak adlandırılır , ancak yüzeyi sabit genişlikte bir yüzey değildir . Bununla birlikte, kenar yayınlarından üçünü dairesel bir yayın dönme yüzeyleri olan kavisli yüzeylerle değiştirerek Meissner'ın dört yüzlü adı verilen sabit genişlikte bir yüzey haline getirilebilir . Alternatif olarak, dönme yüzeyi simetrisinden biri boyunca bir Reuleaux üçgenin verilen sabit genişlikte devrim bilinen tüm yüzeyleri arasında minimum hacimde ile formları sabit genişlikte bir yüzey eksenleri.
Reuleaux çokgenleri
Reuleaux üçgeni, tek sayıda kenarı olan düzenli veya düzensiz çokgenlere genelleştirilebilir, bu da bir Reuleaux çokgeni , sabit yarıçaplı dairesel yaylardan oluşturulan sabit genişlikte bir eğri verir. Bu şekillerin sabit genişliği, jetonla çalışan makinelerde kullanılabilen madeni paralar olarak kullanılmalarına olanak tanır. Genel dolaşımda bu tür paraların genellikle üçten fazla kenarı olmasına rağmen, Bermuda'dan bir hatıra parası için bir Reuleaux üçgeni kullanılmıştır .
Genişliği verilen çokgenin çapına eşit olan sabit genişlikte bir eğri içine rastgele bir basit çokgeni yerleştirmek için benzer yöntemler kullanılabilir . Ortaya çıkan şekil dairesel yaylardan (en fazla çokgenin kenarları kadar) oluşur, doğrusal zamanda algoritmik olarak oluşturulabilir ve pergel ve cetvelle çizilebilir. Reuleaux çokgenlerinin hepsinin tek sayıda dairesel yay kenarları olmasına rağmen, değişen yarıçaplarda çift sayıda dairesel yay kenarlarına sahip sabit genişlikli şekiller oluşturmak mümkündür.
Yanmuti setleri
Yanmouti kümeleri, bir eşkenar üçgenin dışbükey gövdeleri olarak tanımlanır , üç dairesel yay ile birlikte, üçgen köşelerinde merkezlenir ve üçgenle aynı açıyı kaplar, yarıçapları en fazla üçgenin kenar uzunluğuna eşit olur. Bu nedenle, yarıçap yeterince küçük olduğunda, bu kümeler eşkenar üçgenin kendisine dejenere olur, ancak yarıçap mümkün olduğu kadar büyük olduğunda karşılık gelen Reuleaux üçgenine eşittirler. Genişliği w , çapı d ve yarıçapı r olan her şekil (şeklin içerdiği olası en büyük dairenin yarıçapı) eşitsizliğe uyar
ve bu eşitsizlik, iyileştirilemeyeceğini gösteren Yanmouti kümeleri için bir eşitlik haline gelir.
İlgili rakamlar
Üç kümeli bir Venn diyagramının üst üste binen üç daire olarak klasik sunumunda , merkezi bölge (üç kümenin tümüne ait öğeleri temsil eden) bir Reuleaux üçgeni şeklini alır. Aynı üç daire, Borromean halkalarının standart çizimlerinden birini oluşturur, birbirine bağlı üç halka, ancak geometrik daireler olarak gerçekleştirilemez. Bu aynı dairelerin parçaları , merkezinde yine bir Reuleaux üçgeni bulunan (her ikisi bir vesica piscis sembolü oluşturan) üst üste binen üç yarım daireden oluşan bir figür olan triquetra'yı oluşturmak için kullanılır ; Venn diyagramının üç çemberinin Borromean halkalarını oluşturmak için iç içe geçmesi gibi, triquetra'nın üç dairesel yayı da bir yonca düğümü oluşturmak için iç içe geçebilir .
Reuleaux üçgeninin akrabaları, sabit bir alanı çevreleyen ve düzlemde belirtilen üç noktayı içeren minimum çevre şeklini bulma probleminde ortaya çıkar. Alan parametresinin geniş bir seçim yelpazesi için, bu problemin optimal çözümü, üç kenarı eşit yarıçaplı dairesel yaylar olan bir eğri üçgen olacaktır. Özellikle, üç nokta birbirinden eşit uzaklıkta olduğunda ve alan Reuleaux üçgeninin alanı olduğunda, Reuleaux üçgeni en uygun çevrelemedir.
Dairesel üçgenler , diğer şekillerin yanı sıra Reuleaux üçgeni de dahil olmak üzere dairesel yay kenarları olan üçgenlerdir. Deltoid eğri bir eşkenar üçgenin her bir tarafı yerine eğrileri yerine dışbükey daha içbükey olan bir başka eğrisel üçgen tipine bağlıdır fakat biridir. Dairesel yaylardan oluşmaz, ancak bir daireyi yarıçapın üç katı olan başka bir daire içinde yuvarlayarak oluşturulabilir. Üç kavisli kenarı olan diğer düzlemsel şekiller arasında eşdoğrusal uç noktaları olan üç yarım daireden oluşan arbelos ve Bézier üçgeni bulunur .
Reuleaux üçgen aynı zamanda şu şekilde yorumlanabilir konformal görüntü a küresel üçgenin 120 ° açılarla. Bu küresel üçgen, Schwarz üçgenlerinden biridir (3/2, 3/2, 3/2 parametreleriyle), bir kürenin yüzeyinde büyük daire yaylarıyla sınırlanmış ve küreyi yansıma yoluyla döşeyebilen üçgenlerdir.