Rayleigh dağılımı - Rayleigh distribution

Rayleigh

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	ölçek: ${\görüntüleme stili \sigma >0}$
Destek	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
CDF	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)}}$
Çeyreklik	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-F)}}}$
Anlamına gelmek	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
Medyan	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2\ln(2)}}}$
mod	${\görüntüleme stili \sigma }$
Varyans	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
Entropi	${\displaystyle 1+\ln \sol({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\sağ)+{\frac {\gamma }{2}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left( {\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\sağ)+1\sağ)}$
CF	${\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left ({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\sağ)-i\sağ)}$

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , Rayleigh dağılımı a, sürekli olasılık dağılımı , pozitif değerli için rastgele değişken . Yeniden ölçeklendirmeye kadar, iki serbestlik dereceli chi dağılımı ile çakışmaktadır .

Rayleigh dağılımı genellikle bir vektörün genel büyüklüğü onun yönlü bileşenleriyle ilişkili olduğunda gözlenir . Rayleigh dağılımının doğal olarak ortaya çıktığı bir örnek, rüzgar hızının iki boyutta analiz edilmesidir . Her bileşenin ilişkisiz olduğunu , normal olarak eşit varyansla dağıldığını ve sıfır ortalama olduğunu varsayarsak , toplam rüzgar hızı ( vektör büyüklüğü) bir Rayleigh dağılımı ile karakterize edilecektir. Dağılımın ikinci bir örneği, gerçek ve sanal bileşenleri bağımsız ve özdeş olarak dağıtılmış Gauss dağılımına sahip rastgele karmaşık sayılar durumunda ortaya çıkar.eşit varyans ve sıfır ortalama ile. Bu durumda, karmaşık sayının mutlak değeri Rayleigh dağılımlıdır.

Dağıtım almıştır Rab Rayleigh ( / r eɪ l i / ).

Tanım

Olasılık yoğunluk fonksiyonu Rayleigh dağılımına ait

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x \geq 0,}$

burada bir ölçü parametresi dağılımı. Kümülatif dağılım fonksiyonu olan ${\görüntüleme stili \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

için ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

Rastgele vektör uzunluğuyla ilişkisi

İki değişkenli normal dağılmış , sıfır merkezli ve bağımsız bileşenleri olan iki boyutlu vektörü düşünün . Sonra ve yoğunluk fonksiyonlarına sahip ${\görüntüleme stili Y=(U,V)}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}} {\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

uzunluğu olsun . Yani, O zaman kümülatif dağılım fonksiyonuna sahiptir. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

disk nerede${\görüntüleme stili D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq x\right\}.}$

Yazma çift integralini içinde kutupsal koordinatlarda , o olur

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0} ^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

Son olarak, için olasılık yoğunluk fonksiyonu tarafından kümülatif dağılım fonksiyonunun türevi hesabın temel teoremi olan ${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}} e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

hangi Rayleigh dağılımıdır. Bileşenler sahip genellemeler de vardır 2'den daha başka boyut vektörlere genelleme basittir eşit olmayan varyans veya korelasyonlar ( Hoyt dağılımı ), veya vektör olduğunda Y, bir aşağıda değişkenli Student t -Dağıtım .

Özellikler

Ham anlar tarafından verilmiştir:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\sağ),}$

burada bir gama fonksiyonu . ${\görüntüleme stili \Gama (z)}$

Ortalama bir Rayleigh rastgele değişkenin böylece:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \yaklaşık 1.253\ \sigma .}$

Standart sapma , bir Rayleigh rastgele değişkenin olduğu:

${\displaystyle \operatöradı {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\sağ)}}\sigma \yaklaşık {\sqrt {0.429}}\ \ sigma }$

Varyans bir Rayleigh rastgele değişkenin olduğu:

${\displaystyle \operatöradı {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\sağ)\ sigma ^{2}\yaklaşık 0.429\ \sigma ^{2}}$

Modu ise ve maksimum pdf ${\görüntüleme stili \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\yaklaşık {\frac {0.606}{\sigma }} .}$

Çarpıklık verilir:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\yaklaşık 0.631}$

Fazla basıklık şu şekilde verilir:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\yaklaşık 0,245}$

Karakteristik fonksiyonu ile verilmektedir:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{ 2}}}\left[\operatöradı {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\sağ)-i\sağ]}$

hayali hata fonksiyonu nerede . Moment kavramı ile verilir ${\displaystyle \operatöradı {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi } {2}}}\left[\operatöradı {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\sağ)+1\sağ]}$

burada bir hata fonksiyonu . ${\displaystyle \operatöradı {erf} (z)}$

diferansiyel entropi

Diferansiyel entropi verilir

${\displaystyle H=1+\ln \sol({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\sağ)+{\frac {\gamma }{2}}}$

burada bir Euler-Mascheroni sabiti . ${\görüntüleme stili \gama }$

parametre tahmini

Parametreli N adet bağımsız ve aynı şekilde dağılmış Rayleigh rastgele değişkeni örneği verildiğinde , ${\displaystyle x_{i}}$${\görüntüleme stili \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2} }$olan maksimum olabilirlik tahmini ve aynı zamanda tarafsız .

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\yaklaşık {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$ formül aracılığıyla düzeltilebilen yanlı bir tahmin edicidir.

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma (N+{\frac {1}{2}})}}}= {\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$

Güvenilirlik aralığı

(1 −  α ) güven aralığını bulmak için önce şu sınırları bulun : ${\görüntüleme stili [a,b]}$

  ${\displaystyle P(\chi _{2N}^{2}\leq a)=\alpha /2,\quad P(\chi _{2N}^{2}\leq b)=1-\alpha /2 }$

o zaman ölçek parametresi sınırlar içinde kalacaktır

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma }}^{2}\leq {\frac {{N}{ \overline {x^{2}}}}{a}}}$

Rastgele değişkenler oluşturma

(0, 1) aralığındaki düzgün dağılımdan çizilen rastgele bir U değişkeni verildiğinde , değişken

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

parametreli bir Rayleigh dağılımına sahiptir . Bu, ters dönüşüm örnekleme yöntemi uygulanarak elde edilir . ${\görüntüleme stili \sigma }$

İlgili dağılımlar

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$Rayleigh dağıtılırsa , nerede ve bağımsız normal rastgele değişkenlerdir . (Bu, Rayleigh yoğunluğunun yukarıdaki parametrelendirmesinde "sigma" sembolünün kullanımına motivasyon verir.)${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$

• Büyüklüğü a Standart kompleks normal dağılım değişken z Rayleigh dağılımına sahip olacaktır.${\görüntüleme stili |z|}$

• Ki dağılımı ile v  = 2 Rayleigh dağılımı eşdeğerdir  σ  = 1.

• Eğer , o zaman parametre , serbestlik derecesi ikiye eşit ( N  = 2) olan bir ki-kare dağılımına sahipse${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$${\ Displaystyle R^{2}}$${\görüntüleme stili N}$

${\displaystyle [Q=R^{2}]\sim \chi ^{2}(N)\ .}$

• Eğer , o zaman parametrelerle bir gama dağılımına sahiptir ve${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$${\görüntüleme stili N}$${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\sağ]\sim \Gamma (N,{\frac {1}{2\sigma ^{ 2}}}).}$

• Pirinç dağıtım bir olan konsolide bütçe dışında kalan genelleme Rayleigh dağılımı: .${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Pirinç} (0,\sigma )}$
• "Şekil parametresi" k =2 olan Weibull dağılımı , bir Rayleigh dağılımı verir. Daha sonra Rayleigh dağılım parametresi , aşağıdakilere göre Weibull ölçeği parametresiyle ilişkilidir.${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• Maxwell-Boltzmann dağılımı üç boyutlu bir normal vektör büyüklüğünü tarif etmektedir.
• Eğer bir sahip üstel dağılım sonra,${\görüntüleme stili X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Üslü} (\lambda )}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$

• Yarım Normal dağılım Rayleigh dağılımının tek değişkenli özel bir durumudur.

Uygulamalar

σ tahmininin bir uygulaması manyetik rezonans görüntülemede (MRI) bulunabilir. MRI görüntüleri karmaşık görüntüler olarak kaydedildiği, ancak çoğunlukla büyüklük görüntüleri olarak görüldüğü için, arka plan verileri Rayleigh dağıtılır. Bu nedenle, yukarıdaki formül, arka plan verilerinden bir MRI görüntüsündeki gürültü varyansını tahmin etmek için kullanılabilir.

Rayleigh dağılımı, beslenme alanında, diyet besin düzeylerini ve insan ve hayvan tepkilerini ilişkilendirmek için de kullanıldı . Bu şekilde, σ parametresi , besin tepki ilişkisini hesaplamak için kullanılabilir.

Balistik alanında , Rayleigh dağılımı olası dairesel hatayı hesaplamak için kullanılır - bir silahın hassasiyetinin bir ölçüsü.

İçinde fiziksel oşinografinin , önemli dalga yüksekliği dalga uzunluklarının dağılımı, yaklaşık bir Rayleigh dağılımı aşağıdaki için, analitik olarak türetilebilir.

Ayrıca bakınız

• Rayleigh solması
• Rayleigh karışım dağılımı
• Dairesel hata olası

Referanslar