Menzil kriteri - Range criterion

Gelen kuantum mekaniği , özellikle kuantum bilgi , Menzil kriter bir devlet olabilmek için yerine getirmelidir gerekli bir koşuldur ayrılabilir . Başka bir deyişle, bir olduğunu ayrılabilirlik kriter .

Sonuç

Oluşan bir kuantum mekanik bir sistem göz önünde n alt. Durum uzay H , böyle bir sistemin bir deyişle, alt kişilerce tensör ürünüdür . ${\ Displaystyle H = H_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes H_ {n}}$

hepsi ilgili devlet alanlarda sonlu boyutludur boyunca Kolaylık olması açısından biz üstlenecek.

Aşağıdaki gibi kriter okur: ρ hareket eden ayrılabilir bir karışık durum ise , H , o zaman p'ye aralığı ürün vektörlerinin bir takımı ile gerilir.

Kanıt

Bir matris, genel olarak, E formunun olan aralığında M , Ran (M) , doğrusal süre içinde ihtiva edilmektedir . Öte yandan, biz de gösterebilir yatıyor Ran (M) herkes için, i . Genelliği kaybetmeden varsayalım i 1 = . Biz yazabilir nerede, T Hermitsel ve pozitif yarı kesin olduğunu. İki ihtimal vardır: ${\ Displaystyle M = toplamı \ _ {I} V_ {ı} V_ {ı} ^ {*}}$${\ Displaystyle \; \ {V_ {I} \}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle M = V_ {1} V_ {1} ^ {*} + T}$

1) açıklık Ker (T) . Açıktır ki, bu durumda, (K) Ran . ${\ Displaystyle \ {V_ {1} \} \ alt küme}$${\ Displaystyle V_ {1} bölgesindeki \}$

2) Uyarı 1), ancak ve ancak bu durum geçerlidir Ker (T) açıklık , dikey tamamlayıcı belirtmektedir. Arasında Hermiticity tarafından T , bu aynı Ran (T) açıklık . 1) tutmaz, yani, kesişim Ran (T) yayılma boş olmayan bir örneğin, bu şekilde α bir karmaşık sayı vardır . Yani ${\ Displaystyle \; ^ {\ Fail} \ alt kümesi}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {1} \} ^ {\ Fail}}$${\ Displaystyle \ Fail}$${\ Displaystyle \ alt kümesi}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {1} \} ^ {\ Fail}}$ ${\ Displaystyle \ kapak}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {1} \}}$${\ Displaystyle \; Tw = \ a V_ {1}}$

${\ Displaystyle Mw = \ langle w V_ {1} \ rangle V_ {1} + Tw = (v_ w \ langle {1} \ rangle + \ a) V_ {1}.}$

Bu nedenle yatmaktadır Ran (M) . ${\ Displaystyle V_ {1}}$

Bu nedenle (M) Ran doğrusal yayılma ile çakışmaktadır . Aralığı ölçüt Bu gerçeğin özel bir durumudur. ${\ Displaystyle \; \ {V_ {I} \}}$

A yoğunluk matrisi ρ etkili H ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir, yalnızca eğer ayrılabilir olduğu

${\ Displaystyle \ rho = \ toplamı _ {I} \ psi _ {1, i} \ psi _ {1, i} ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {n, i} \ psi _ { n, i} ^ {*}}$

burada bir (BM-değiştirilmiş) saf halde olan j -inci alt sistemi. Bu ayrıca ${\ Displaystyle \ psi _ {j, i} \ psi _ {j, i} ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ rho = \ toplamı _ {I} (\ psi _ {1, i} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {n, i}) (\ psi _ {1, i} ^ {*} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {n, i} ^ {*})}.$

Ancak bu, tam olarak aynı şekilde olan M vektörel ürün durumu ile, yukarıdan değiştirilmesi . Daha sonra bu hemen p'ye aralığı bu ürün durumlarının doğrusal yayılma izler. Bu ölçüt kanıtlıyor. ${\ Displaystyle \ psi _ {1, i} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {n, i}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$

Referanslar

• P. Horodecki, "Ayrılabilirlik Kriter ve Pozitif Kısmi Transpozisyonu Ayrılmaz Karışık Devletleri", Fizik Mektupları A 232 , (1997).