Racah W katsayısı - Racah W-coefficient

Racah'ın W katsayıları , 1942'de Giulio Racah tarafından tanıtıldı . Bu katsayıların tamamen matematiksel bir tanımı var. Fizikte , açısal momentumun kuantum mekaniksel tanımını içeren hesaplamalarda kullanılırlar , örneğin atom teorisinde .

Katsayılar, problemde üç açısal momentum kaynağı olduğunda ortaya çıkar. Örneğin, bir elektronu bir s yörüngesinde ve bir elektronu bir p yörüngesinde olan bir atomu düşünün . Her elektronun elektron spin açısal momentumu vardır ve ek olarak p orbitalinin orbital açısal momentumu vardır (bir s orbitalinin sıfır orbital açısal momentumu vardır). Atom , açısal momentum kuplajı ile ilgili makalede açıklandığı gibi LS kuplajı veya jj kuplajı ile tarif edilebilir . Bu iki kuplaja karşılık gelen dalga fonksiyonları arasındaki dönüşüm, bir Racah W katsayısı içerir.

Bir faz faktörünün yanı sıra, Racah'ın W katsayıları Wigner'in 6-j sembollerine eşittir , bu nedenle Racah'ın W katsayılarını içeren herhangi bir denklem 6- j sembolleri kullanılarak yeniden yazılabilir . Bu genellikle avantajlıdır çünkü 6- j sembollerinin simetri özelliklerinin hatırlanması daha kolaydır.

Racah W katsayılarındaki açısal momenta. Üst kısım, dörtgen şeklinde 2 boyutlu bir projeksiyon, alt kısım ise 3 boyutlu dört yüzlü bir düzenlemedir.

Racah katsayıları, katsayıları yeniden birleştirmekle ilgilidir.

{\ displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) \ eşdeğeri {\ frac {\ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3} ) J_ {23}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12}, j_ {3}) J \ rangle} {\ sqrt {(2J_ {12} +1) (2J_ {23} +1)}}}.}

Yeniden bağlama katsayıları, üniter bir dönüşümün unsurlarıdır ve bunların tanımları bir sonraki bölümde verilmektedir. Racah katsayıları, yeniden bağlanma katsayılarından daha uygun simetri özelliklerine sahiptir (ancak 6- j sembollerinden daha az uygundur ).

Yeniden bağlama katsayıları

İki açısal momentumun birleştirilmesi ve eşzamanlı özfonksiyonlarının inşa edilmesi ve , ilgili makalede anlatıldığı gibi, Clebsch-Gordan katsayıları . Sonuç ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} ^ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {j} _ {1} + \ mathbf {j} _ {2}}$

{\ displaystyle | (j_ {1} j_ {2}) JM \ rangle = \ toplam _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ toplamı _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ { 2} | JM \ rangle,}

nerede ve . ${\ displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, \ ldots, j_ {1} + j_ {2}}$ ${\ displaystyle M = -J, \ ldots, J}$

Üç açısal momentumun birleştirilmesi , ve , birinci bağlantı ile yapılabilir ve için ve sonraki bağlama ve toplam açısal momentum : ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

{\ displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JM \ rangle = \ toplamı _ {M_ {12} = - J_ {12}} ^ {J_ {12}} \ toplam _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | (j_ {1} j_ {2}) J_ {12} M_ {12} \ rangle | j_ {3} m_ { 3} \ rangle \ langle J_ {12} M_ {12} j_ {3} m_ {3} | JM \ rangle}

Alternatif olarak, bir ilk çift may ve hiç bir sonraki çift ve için : ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {23}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {23}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

{\ displaystyle | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JM \ rangle = \ toplam _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1} } \ toplam _ {M_ {23} = - J_ {23}} ^ {J_ {23}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | (j_ {2} j_ {3}) J_ {23} M_ {23} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} J_ {23} M_ {23} | JM \ rangle}

Her iki bağlantı şeması, tarafından yayılan boyutsal alan için tam ortonormal tabanlarla sonuçlanır. ${\ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)}$

{\ displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle, \; \; m_ {1} = - j_ {1 }, \ ldots, j_ {1}; \; \; m_ {2} = - j_ {2}, \ ldots, j_ {2}; \; \; m_ {3} = - j_ {3}, \ ldots , j_ {3}.}

Bu nedenle, iki toplam açısal momentum tabanı, üniter bir dönüşüm ile ilişkilidir. Bu üniter dönüşümün matris elemanları, skaler bir çarpım tarafından verilir ve yeniden bağlanma katsayıları olarak bilinir. Katsayılar bağımsızdır ve bu nedenle bizde ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JM \ rangle = \ toplamı _ {J_ {23}} | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JM \ rangle \ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ { 12} j_ {3}) J \ rangle.}

Bağımsızlığı, bu denklemi yazarak ve düşürücü operatörü denklemin her iki tarafına uygulayarak kolayca takip eder. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M = J}$ ${\ displaystyle J _ {-}}$