Konumsal gösterim - Positional notation

Konumsal sayı sistemlerinde kullanılan terimler sözlüğü

Konumsal gösterim (veya yer-değeri gösterimi ya da pozisyon numarası sistemi ), genellikle herhangi bir uzantıyı göstermektedir baz arasında Hint-Arap sayı sistemi (veya ondalık sistemi ). Daha genel olarak, bir konumsal sistem, bir rakamın bir sayının değerine katkısının, rakamın konumu tarafından belirlenen bir faktör ile çarpılan rakamın değeri olduğu bir sayı sistemidir. Romen rakamları gibi erken sayı sistemlerinde , bir basamağın yalnızca bir değeri vardır: I bir, X on ve C yüz anlamına gelir (ancak, başka bir basamaktan önce yerleştirilirse değer olumsuzlanabilir). Ondalık sistem gibi modern konumsal sistemlerde, basamağın konumu, değerinin bir değerle çarpılması gerektiği anlamına gelir: 555'te, üç özdeş sembol, sırasıyla beş yüz, beş onluk ve beş birimi temsil eder. rakam dizisinde farklı pozisyonlar.

Babil numarası sistemi bir daire içinde, bir saat içinde, örneğin 60 dakika, 360 derece, taban 60, birinci pozisyon sisteminin oluşturulması için, ve etkisi yolu zamanda günümüzde mevcut olan ve açılar 60 ile ilgili tallies sayılır . Bugün, Hindu-Arap sayı sistemi ( on tabanı ) dünya çapında en yaygın kullanılan sistemdir. Bununla birlikte, elektronik devrelerde verimli bir şekilde uygulanması daha kolay olduğu için ikili sayı sistemi (iki taban) hemen hemen tüm bilgisayarlarda ve elektronik cihazlarda kullanılır .

Negatif tabanlı, karmaşık tabanlı veya negatif basamaklı sistemler tanımlanmıştır. Çoğu, negatif sayıları belirtmek için eksi işareti gerektirmez.

Bir taban noktasının (ondalık ondalık nokta) kullanımı, kesirleri içerecek şekilde genişler ve herhangi bir gerçek sayının keyfi bir doğrulukla temsil edilmesine izin verir . Konumsal gösterimde, aritmetik hesaplamalar eski sayı sistemlerinden çok daha basittir; bu, Batı Avrupa'da tanıtıldığında gösterimin hızla yayılmasına yol açtı.

Tarih

Suanpan (resimde temsil edilen sayı 6.302.715.408)

Bugün, muhtemelen on parmakla sayarak motive edilen 10 tabanlı ( ondalık ) sistem her yerde mevcuttur. Diğer bazlar geçmişte kullanılmış ve bazıları günümüzde kullanılmaya devam etmektedir. Örneğin , ilk konumsal sayı sistemi olarak kabul edilen Babil sayı sistemi , 60 tabanıydı . Ancak gerçek bir 0'dan yoksundu. Başlangıçta yalnızca bağlamdan çıkarsanan, daha sonra, yaklaşık MÖ 700'de sıfır , sayılar arasında bir "boşluk" veya bir "noktalama işareti" (iki eğimli kama gibi) ile gösterilir hale geldi. Tek başına kullanılmadığı için gerçek bir sıfırdan ziyade bir yer tutucuydu. Bir sayının sonunda da kullanılmamıştır. 2 ve 120 (2×60) gibi sayılar aynı görünüyordu çünkü daha büyük sayının son bir yer tutucusu yoktu. Sadece bağlam onları ayırt edebilir.

Bilge Arşimet (yaklaşık 287-212 BC) yaptığı bir ondalık pozisyonel sistemini icat Kum Hesap görücü 10 dayanıyordu ⁸ ve üstü Alman matematikçi led Carl Friedrich Gauss Arşimet olsaydı zaten onun günlerde ulaşmış olacağını yükseklikleri bilim ağıt dahice keşfinin potansiyelini tam olarak fark etti.

Konumsal gösterim standart hale gelmeden önce, Roma rakamları gibi basit katkı sistemleri ( işaret-değer gösterimi ) kullanıldı ve antik Roma'daki ve Orta Çağ'daki muhasebeciler aritmetik yapmak için abaküs veya taş sayaçlarını kullandılar.

Çin çubuk rakamları ; Üst sıra dikey form
Alt sıra yatay form

Sayma çubukları ve çoğu abaküs , konumsal bir sayı sisteminde sayıları temsil etmek için kullanılmıştır. Aritmetik işlemleri yapmak için sayma çubukları veya abaküs ile her pozisyonda veya sütunda basit bir katkı sistemi ile bir hesaplamanın başlangıç, ara ve son değerlerinin yazılması kolayca yapılabilir. Bu yaklaşım, tabloların ezberlenmesini gerektirmedi (konumsal gösterimde olduğu gibi) ve hızlı bir şekilde pratik sonuçlar üretebilirdi.

En eski mevcut konumsal notasyon sistemi, en azından 8. yüzyılın başlarından itibaren kullanılan Çin çubuk rakamlarınınkidir . Bu sistemin Hindistan'dan mı geldiği, yoksa yerli bir gelişme mi olduğu belli değil. Hint rakamları , MÖ 3. yüzyıla ait Brahmi rakamlarından kaynaklanmaktadır ve o zamanlar bu semboller konumsal olarak kullanılmamaktadır. Orta Çağ Hint rakamları , 10. yüzyıldan kaydedilen türetilmiş Arap rakamları gibi konumsaldır .

Sonra Fransız Devrimi (1789-1799), yeni Fransız hükümeti ondalık sistemin uzantısı terfi. Ondalık sayı ve ondalık takvim gibi ondalık yanlısı çabalardan bazıları başarısız oldu. Diğer Fransız ondalık yanlısı çabalar - para biriminin ondalıklaştırılması ve ağırlıkların ve ölçülerin ölçülendirilmesi - Fransa'dan neredeyse tüm dünyaya yayıldı.

Konumsal kesirlerin tarihi

J. Lennart Berggren, konumsal ondalık kesirlerin ilk kez Arap matematikçi Abu'l-Hasan al-Uqlidisi tarafından 10. yüzyılın başlarında kullanıldığını belirtiyor . Yahudi matematikçi Immanuel Bonfils , 1350 civarında ondalık kesirleri kullandı, ancak onları temsil etmek için herhangi bir gösterim geliştirmedi. İranlı matematikçi Jamshīd al-Kāshī 15. yüzyılda ondalık kesirlerle ilgili aynı keşfi yaptı. Al Khwarizmi , 9. yüzyılın başlarında İslam ülkelerine kesirleri tanıttı; onun kesir sunumu Sunzi Suanjing'in geleneksel Çin matematiksel kesirlerine benziyordu . Payda üstte paydada altta yatay çubuk olmayan bu kesir şekli 10. yüzyıl Ebu'l-Hasan el-Uklidisi ve 15. yüzyıl Cemşid el-Kāshī'nin "Aritmetik Anahtar" adlı eserinde de kullanılmıştır.

Benimsenmesi ondalık gösterimi az biri, bir daha sayıların kesir , genellikle yansıtılır Simon Stevin kitabında yoluyla De Thiende ; ancak hem Stevin hem de EJ Dijksterhuis , Regiomontanus'un Avrupa genel ondalık sayıları benimsemesine katkıda bulunduğunu belirtiyor :

Avrupalı matematikçiler, Araplar aracılığıyla Hindulardan devralırken, tamsayılar için konumsal değer fikrini kesirlere genişletmeyi ihmal ettiler. Birkaç yüzyıl boyunca kendilerini ortak ve altmışlık kesirleri kullanmakla sınırladılar ... Bu gönülsüzlük hiçbir zaman tam olarak aşılmadı ve altmışlık kesirler hala trigonometrimizin, astronomimizin ve zaman ölçümümüzün temelini oluşturuyor. ¶ ... Matematikçiler, R yarıçapını 10 ⁿ biçimindeki bir dizi uzunluk birimine eşit alarak ve sonra n için , meydana gelen tüm niceliklerin tamsayılarla yeterli doğrulukla ifade edilebileceği kadar büyük bir integral değeri varsayarak, kesirlerden kaçınmaya çalıştılar . ¶ Bu yöntemi ilk uygulayan Alman astronom Regiomontanus oldu. O bir birim içinde goniometrical hat segmentleri ifade ölçüde R / 10 ⁿ , Regiomontanus'un ondalık konumsal fraksiyonların öğretisinin bir anticipator olarak adlandırılabilir.

Dijksterhuis'in tahminine göre, " De Thiende'nin yayınlanmasından sonra, tam ondalık konumsal kesirler sistemini kurmak için sadece küçük bir ilerleme gerekliydi ve bu adım birkaç yazar tarafından derhal atıldı ... Stevin'in yanında en önemli figür bu gelişmede Regiomontanus vardı." Dijksterhuis, [Stevin]'in "Alman astronomun trigonometrik tablolarının aslında 'onuncu ilerlemenin sayıları' teorisinin tamamını içerdiğini söyleyerek, önceki katkılarından dolayı Regiomontanus'a tam kredi verdiğini" kaydetti.

Sorunlar

Pozisyonel sisteme karşı önemli bir argüman kolay olan duyarlılığıdır oldu dolandırıcılık basitçe 1000 Modern içine 5100, veya 100 içine böylece (örneğin) değiştirerek, bir miktar başında veya sonunda 100 bir sayı koyarak çeklerin bir doğal dil yazım gerektiren Bu tür sahtekarlığı önlemek için tutarın yanı sıra ondalık tutarın kendisi. Aynı nedenden dolayı Çinliler de doğal dil rakamlarını kullanırlar, örneğin 100 壹佰 olarak yazılır, bu asla 壹仟(1000) veya 伍仟壹佰(5100)'e dönüştürülemez.

Metrik sistem için iddia edilen avantajların çoğu, herhangi bir tutarlı konumsal gösterimle gerçekleştirilebilir. Düzine savunucuları , geçiş maliyeti yüksek görünse de , on iki ondalık sayının ondalık sayıya göre birçok avantajı olduğunu söylüyor .

Matematik

Sayı sisteminin temeli

Olarak matematiksel sayı sistemleri radix $r$ benzersiz sayısı genellikle basamak sıfır dahil olmak üzere, bir pozisyon numarası sistem kullanımları sayıları temsil etmek için bu,. İlginç durumlarda, taban $b$ tabanının mutlak değeridir ve bu da negatif olabilir. Örneğin, ondalık sistem için sayı tabanı (ve taban) on'dur, çünkü 0'dan 9'a kadar olan on rakamı kullanır. ardından "0" gelir. İkili sistemde sayı tabanı ikidir, çünkü "2" veya başka bir yazılı sembol yerine "1"e bastıktan sonra doğrudan "10"a, ardından "11" ve "100"e atlar. ${\görüntüleme stili r=|b|}$

Konumsal bir sayı sisteminin en yüksek sembolü, genellikle o sayı sisteminin sayı tabanının değerinden bir eksik değere sahiptir. Standart konumsal sayı sistemleri birbirinden yalnızca kullandıkları tabanda farklılık gösterir.

Taban, 1'den büyük bir tamsayıdır, çünkü sıfırın bir tabanda herhangi bir basamağı olmaz ve 1'lik bir tabanda yalnızca sıfır basamağı olur. Negatif bazlar nadiren kullanılır. Benzersiz rakamlardan daha fazlasına sahip bir sistemde , sayıların birçok farklı olası temsili olabilir. ${\görüntüleme stili |b|}$

Sayı tabanının sonlu olması önemlidir, bundan basamak sayısının oldukça düşük olduğu sonucu çıkar. Aksi takdirde, bir sayının uzunluğu , boyutunda mutlaka logaritmik olmak zorunda değildir .

( Bijektif numaralandırma dahil olmak üzere bazı standart olmayan konumsal sayı sistemlerinde , taban veya izin verilen basamakların tanımı yukarıdakilerden farklıdır.)

Standart ondalık (ondalık) konumsal gösterimde ondalık basamak vardır ve sayı

5305_{\mathrm {ara} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10 ^{0})

.

Standart on altı tabanında ( onaltılık ), on altı onaltılık basamak (0–9 ve A–F) vardır ve sayı

14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^ {1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {ara} }),

burada B, on bir sayısını tek bir sembol olarak temsil eder.

Genel olarak, baz-de , b , orada b basamak sayısı $\{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D$

(a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{ 2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})

Çarpmayı değil, bir basamak dizisini temsil eden Nota sahiptir . $\forall k\colon a_{k}\D'de.$ $a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$

gösterim

İçinde tabanını tarif edilirken matematiksel gösterimde , mektup b genellikle olarak kullanılan sembol , o yüzden için, bu konsepte ikili sistemde, b eşittir 2. tabanı göstermenin bir diğer yaygın yolu bir olarak yazıyor ondalık olduğu numarasından sonra subscript temsil ediliyor (bu gösterim bu makalede kullanılmaktadır). 1111011 ₂ , 1111011 sayısının 123 _10'a ( ondalık gösterim gösterimi), 173 _8'e ( sekizlik ) ve 7B _16'ya ( onaltılık ) eşit bir 2 tabanlı sayı olduğunu ima eder . Kitaplarda ve makalelerde, başlangıçta sayı tabanlarının yazılı kısaltmalarını kullanırken, taban daha sonra yazdırılmaz: ikili 1111011'in 1111011 _{2 ile} aynı olduğu varsayılır .

Baz b , "baz- b " ifadesi ile de belirtilebilir . Yani ikili sayılar "taban-2"dir; sekizli sayılar "taban-8"dir; ondalık sayılar "taban-10"dur; ve bunun gibi.

Belirli bir b tabanı için {0, 1, ..., b -2, b -1} basamak kümesine standart basamak kümesi denir. Böylece ikili sayılar {0, 1} rakamlarına sahiptir; ondalık sayılar {0, 1, 2, ..., 8, 9} rakamlarına sahiptir ; ve bunun gibi. Bu nedenle, aşağıdakiler gösterim hatalarıdır: 52 ₂ , 2 ₂ , 1A ₉ . (Her durumda, bir veya daha fazla basamak, verilen taban için izin verilen basamaklar kümesinde değildir.)

üs alma

Konumsal sayı sistemleri , tabanın üstelleştirilmesini kullanarak çalışır . Bir basamağın değeri, basamağın bulunduğu yerin değeri ile çarpımıdır. Talep değerleri baz sayısı yükseltilmiş olan N inci güç, burada n belli bir basamak arasında diğer basamak sayısı olan kök noktası . Belirli bir rakam taban noktasının sol tarafındaysa (yani değeri bir tamsayıdır ), o zaman n pozitif veya sıfırdır; rakam taban noktasının sağ tarafındaysa (yani değeri kesirlidir), o zaman n negatiftir.

Bir kullanım örneği olarak, ilgili b tabanındaki 465 sayısı (içindeki en yüksek rakam 6 olduğu için en az 7 tabanı olmalıdır):

4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}

465 sayısı 10 tabanında olsaydı, şuna eşit olurdu:

4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465

(465 ₁₀ = 465 ₁₀ )

Ancak, sayı 7 tabanında olsaydı, şuna eşit olurdu:

4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243

(465 ₇ = 243 ₁₀ )

10 _b = b herhangi bir b tabanı için , çünkü 10 _b = 1× b ¹ + 0× b ⁰ . Örneğin, 10 ₂ = 2; 10 ₃ = 3; 10 ₁₆ = 16 ₁₀ . Son "16"nın taban 10'da gösterildiğine dikkat edin. Tek basamaklı sayılar için taban hiçbir fark yaratmaz.

Bu kavram bir diyagram kullanılarak gösterilebilir. Bir nesne bir birimi temsil eder. Nesne sayısı eşit veya baz daha büyük olduğu zaman , b , sonra nesne, bir grup ile oluşturulan b nesneleri. Bu grupların sayısı b'yi aştığında , o zaman bu nesne gruplarından oluşan bir grup, b nesnenin b grubuyla oluşturulur ; ve bunun gibi. Böylece farklı tabanlardaki aynı sayı farklı değerlere sahip olacaktır:

241 in base 5:
   2 groups of 5² (25)           4 groups of 5          1 group of 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo

241 in base 8:
   2 groups of 8² (64)          4 groups of 8          1 group of 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo

Gösterim, bir eksi işaretine izin verilerek daha da genişletilebilir. Bu, negatif sayıların temsil edilmesini sağlar. Belirli bir taban için, her gösterim tam olarak bir gerçek sayıya karşılık gelir ve her gerçek sayının en az bir gösterimi vardır. Rasyonel sayıların temsilleri, sonlu olan, çubuk gösterimini kullanan veya sonsuz tekrar eden bir basamak döngüsüyle biten temsillerdir.

Rakamlar ve sayılar

Bir rakam konumsal gösterim için kullanılan bir semboldür ve referans numarası , bir temsil için kullanılan bir ya da daha çok basamaktan oluşur sayısı konumsal gösterimi ile. Günümüzün en yaygın rakamları "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" ve "9" ondalık basamaklardır . Rakam ve sayı arasındaki ayrım, en çok sayı tabanı bağlamında telaffuz edilir.

Sıfır olmayan bir referans numarası , birden fazla basamaklı konumu ile, farklı bir sayı tabanında farklı sayıda anlamına gelir, ama genel olarak, basamak aynı anlamına gelir. Örneğin, 23 ₈ taban rakamı "2" ve "3" olmak üzere iki rakam ve bir taban numarası (abonelik) "8" içerir. 10 tabanına dönüştürüldüğünde 23 ₈ , 19 _10'a eşdeğerdir , yani 23 ₈ = 19 ₁₀ . Buradaki gösterimimizde, 23 ₈ rakamının " ₈ " alt indisi, rakamın bir parçasıdır, ancak bu her zaman böyle olmayabilir.

"23" rakamının belirsiz bir taban numarasına sahip olduğunu hayal edin . O zaman "23" büyük olasılıkla taban-4'ten herhangi bir üs olabilir. Taban-4, "23" aracılığıyla 11 ₁₀ , örneğin, 23 ₄ = 11 _{, 10} . 60 tabanında "23", 123 ₁₀ sayısı anlamına gelir , yani 23 ₆₀ = 123 ₁₀ . Referans numarası "23", daha sonra bu durumda, setine tekabül baz 10 numara {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 , ..., 121, 123} yandan da basamak "2" ve "3" her zaman orijinal anlamını korur: "2", "iki" ve "3" üç anlamına gelir.

Belirli uygulamalarda, sabit sayıda pozisyona sahip bir sayının daha büyük bir sayıyı temsil etmesi gerektiğinde, pozisyon başına daha fazla rakam içeren daha yüksek bir sayı tabanı kullanılabilir. Üç basamaklı, ondalık bir sayı yalnızca 999'a kadar temsil edebilir . Ancak sayı tabanı 11'e yükseltilirse, örneğin "A" basamağı eklenerek, o zaman aynı üç konum, "AAA" olarak maksimize edildiğinde, 1330 kadar büyük bir sayıyı temsil edebilir . Sayı tabanını tekrar arttırabilir ve "B"yi 11'e atayabilirdik ve bu böyle devam eder (ancak sayı-rakam-sayı hiyerarşisinde sayı ve rakam arasında olası bir şifreleme de vardır). 60 tabanında üç basamaklı bir "ZZZ" rakamı şu anlama gelebilir:215 999 . Alfanümeriklerimizin tüm koleksiyonunu kullanırsak,nihayetinde 62 tabanlıbirsayı sisteminehizmet edebiliriz, ancak "1" ve "0" rakamlarıyla karışıklığı azaltmak için büyük "I" ve büyük "O" olmak üzere iki rakamı kaldırırız. 62 standart alfanümeriğin 60'ını kullanan bir 60 tabanı veya altmışlık sayı sistemi ile kaldık. (Ancak, bkz Sexagesimal sistemi altında). Genel olarak, bir ile temsil edilebilir mümkün olan değerlerbaz basamaklı sayıolduğu. ${\görüntüleme stili d}$ ${\görüntüleme stili r}$ ${\görüntüleme stili r^{d}}$

Bilgisayar bilimlerinde yaygın olarak kullanılan sayı sistemleri ikili (radix 2), sekizli (radix 8) ve onaltılıktır (radix 16). Gelen ikili tek haneli "0" ve "1" rakamları içindedir. Gelen sekizlik rakamlar, sekiz basamaklı 0-7 bulunmaktadır. Hex , 0–9 A–F'dir, burada on nümerik normal anlamlarını korur ve alfabetik, toplam on altı basamak için 10-15 değerlerine karşılık gelir. "10" sayısı ikili sayı "2", sekizlik sayı "8" veya onaltılık sayı "16"dır.

yarıçap noktası

Notasyon, b tabanının negatif üslerine genişletilebilir . Bu nedenle, çoğunlukla ».« olan sözde taban noktası, negatif olmayan konumlardan negatif üslü konumların ayırıcısı olarak kullanılır.

Tam sayı olmayan sayılar , sayı tabanı noktasının ötesindeki yerleri kullanır . Bu noktanın arkasındaki her konum için (ve dolayısıyla birimler basamağından sonra), b ⁿ kuvvetinin n üssü 1 azalır ve kuvvet 0'a yaklaşır. Örneğin, 2.35 sayısı şuna eşittir:

2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}

İmza

Sayı kümesindeki taban ve tüm rakamlar negatif değilse, negatif sayılar ifade edilemez. Bunun üstesinden gelmek için, sayı sistemine bir eksi işareti , burada »-« eklenir. Olağan gösterimde, aksi halde negatif olmayan sayıyı temsil eden rakam dizisinin başına eklenir.

Temel dönüştürme

Bir baz için dönüşüm bir tamsayı $, n$ bir baz temsil bir arkaya yapılabilir Öklid bölünmeler ile baz içinde sağ hanede dizgisinde olan $n$ ile ikinci sağ hanede dizgisinde olduğu bölümün vb. En soldaki rakam son bölümdür. Genel olarak, $K$ sağdan inci basamaklı bölme kalan kısmı olan bir $($ $k$ $-1)$ inci bölüm. ${\ Displaystyle b_{2}}$ $b_{1}$ ${\ Displaystyle b_{2}:}$ ${\ Displaystyle b_{2}}$ ${\ Displaystyle b_{2};}$ ${\ Displaystyle b_{2},}$ ${\ Displaystyle b_{2}}$

Örneğin: A10B dönüştürme _Hex ondalık (41.227) için:

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (ones place)
0x101A/10 = 0x19C  R: 2 (tens place)
 0x19C/10 = 0x29   R: 2 (hundreds place)
  0x29/10 = 0x4    R: 1  ...
                      4

Daha büyük bir tabana dönüştürürken (ikiliden ondalık sayıya gibi), kalan , . Örneğin: 0b11111001'i (ikili) 249'a (ondalık) dönüştürmek: ${\ Displaystyle b_{2}}$ $b_{1}$

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" for ones place)
   0b11000/10 = 0b10    R: 0b100  (0b100 =  "4" for tens)
      0b10/10 = 0b0     R: 0b10   (0b10 =   "2" for hundreds)

İçin fraksiyonel kısmı, dönüşüm kök noktası (pay) sonra basamak alarak ve yapılabilir bölünmesi bunu ima payda hedef tabanda. İndirgenmiş kesrin paydası, dönüştürülecek bazın asal faktörlerinden herhangi birinin dışında bir asal faktöre sahipse, bitmeyen basamak olasılığı nedeniyle yaklaşıklık gerekebilir . Örneğin, ondalık olarak 0,1 (1/10), ikili sistemde 0b1/0b1010'dur, bunu bu sayı tabanına bölerek sonuç 0b0.0 0011 olur (çünkü 10'un asal çarpanlarından biri 5'tir ). Daha genel kesirler ve tabanlar için pozitif tabanlar için algoritmaya bakın .

Pratikte, Horner'ın yöntemi , yukarıda gerekli olan tekrarlanan bölme işleminden daha verimlidir. Konumsal gösterimdeki bir sayı, her basamağın bir katsayı olduğu bir polinom olarak düşünülebilir. Katsayılar bir basamaktan daha büyük olabilir, bu nedenle tabanları dönüştürmenin etkili bir yolu, her bir basamağı dönüştürmek ve ardından polinomu Horner yöntemiyle hedef taban içinde değerlendirmektir. Her basamağı dönüştürmek , pahalı bölme veya modül işlemleri ihtiyacını ortadan kaldıran basit bir arama tablosudur ; ve x ile çarpma sağa kaydırma olur. Bununla birlikte, tek veya seyrek basamaklar için tekrarlanan kare alma gibi diğer polinom değerlendirme algoritmaları da işe yarayacaktır . Örnek:

Convert 0xA10B to 41227
 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

 Lookup table:
  0x0 = 0
  0x1 = 1
  ...
  0x9 = 9
  0xA = 10
  0xB = 11
  0xC = 12
  0xD = 13
  0xE = 14
  0xF = 15
 Therefore 0xA10B's decimal digits are 10, 1, 0, and 11.
 
 Lay out the digits out like this. The most significant digit (10) is "dropped":
  10 1   0    11 <- Digits of 0xA10B

  ---------------
  10
 Then we multiply the bottom number from the source base (16), the product is placed under the next digit of the source value, and then add:
  10 1   0    11
     160
  ---------------
  10 161

 Repeat until the final addition is performed:
  10 1   0    11
     160 2576 41216
  ---------------
  10 161 2576 41227
  
 and that is 41227 in decimal.

Convert 0b11111001 to 249
 Lookup table:
  0b0 = 0
  0b1 = 1

Result:
 1  1  1  1  1  0  0   1 <- Digits of 0b11111001
    2  6  14 30 62 124 248
 -------------------------
 1  3  7  15 31 62 124 249

kesirler

Sonlu bir temsili olan sayılar yarı halkayı oluşturur.

{\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\ \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\} içinde.

Daha açıkça, eğer bir olduğunu çarpanlara ait asal içine üstellerle , ardından paydalar boş olmayan set ile elimizdeki $p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b$ ${\görüntüleme stili b}$ $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P}$ $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N}$ $S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$

\mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \sağ.\doğru\}=b^{\mathbb {Z} }\ ,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}

burada tarafından oluşturulan grup olduğu ve sözde localisation of bakımından için . $\langle S\rangle$ ${\ Displaystyle p\in S}$ ${\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ ${\görüntüleme stili S}$

Payda bir elemanın dışına en düşük şartlarını tek asal çarpanları azaltılmış eğer içeriyor . Bu halka tabanına bütün sonlandırma fraksiyonlarının olan yoğun alanında rasyonel sayılar . Onun tamamlanması zamanki (Arşimet) metrik için aynıdır yani gerçek sayılar, . Yani, eğer o ile karıştırılmamalıdır değil , ayrık değerleme halka yönelik asal eşittir, ile . $\mathbb {Z} _{S}$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili b}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ ${\ Displaystyle S=\{p\}}$ $\mathbb {Z} _{\{p\}}$ $\mathbb {Z} _{(p)}$ ${\görüntüleme stili p}$ $\mathbb {Z} _{T}$ $T=\mathbb {P} \setminus \{p\}$

Eğer bölünürken , elimizdeki ${\görüntüleme stili b}$ ${\görüntüleme stili c}$ $b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .$

sonsuz temsiller

Rasyonel sayılar

Tamsayı olmayanların gösterimi, noktanın ötesinde sonsuz bir basamak dizisine izin verecek şekilde genişletilebilir. Örneğin, 1.12112111211112 ... taban-3, sonsuz serilerin toplamını temsil eder :

{\begin{array}{l}1\times 3^{0\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-1\,\,}+2\times 3^ {-2\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-3\,\,}+1\times 3^{-4\,\,\,}+2\times 3^ {-5\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-6\,\,}+1\times 3^{-7\,\,\,}+1\times 3^ {-8\,\,\,}+2\times 3^{-9\,\,\,}+{}\\1\times 3^{-10}+1\times 3^{-11} +1\times 3^{-12}+1\times 3^{-13}+2\times 3^{-14}+\cdots \end{dizi}}

Tam bir sonsuz basamak dizisi açıkça yazılamadığından, sondaki üç nokta (...), bir tür deseni izleyebilen veya izleyemeyebilecek, atlanan basamakları belirtir. Yaygın bir kalıp, sonlu bir rakam dizisinin sonsuz olarak tekrarlanmasıdır. Bu, yinelenen blok boyunca bir vinculum çizilerek belirlenir :

2.42{\overline {314}}_{5}=2.42314314314314314\dots _{5}

Bu, tekrar eden ondalık gösterimdir (evrensel olarak kabul edilmiş tek bir gösterim veya ifade yoktur). 10 tabanı için, yinelenen bir ondalık sayı veya yinelenen bir ondalık sayı olarak adlandırılır.

Bir irrasyonel sayı , tüm tamsayı tabanlarında sonsuz tekrarlanmayan bir temsile sahiptir. Bir rasyonel sayının sonlu bir temsili olup olmadığı veya sonsuz bir tekrar gösterimi gerektirip gerektirmediği tabana bağlıdır. Örneğin, üçte biri şu şekilde temsil edilebilir:

{\ Displaystyle 0.1_{3}}

0.{\overline {3}}_{10}=0.3333333\dots _{10}

veya, ima edilen taban ile:

0.{\overline {3}}=0.3333333\nokta

(ayrıca bkz. 0.999... )

0.{\overline {01}}_{2}=0.010101\dots _{2}

{\ Displaystyle 0.2_{6}}

Tamsayılardır için p ve q birlikte gcd ( s , q ) = 1, fraksiyon p / q baz sonlu temsil vardır , b , ancak ve ancak, her ise ana faktör arasında q , aynı zamanda, bir ana faktördür b .

Belirli bir taban için, sonlu sayıda basamakla (çubuk notasyonu kullanılmadan) temsil edilebilen herhangi bir sayı, bir veya iki sonsuz temsil dahil olmak üzere birden çok temsile sahip olacaktır:

1. Sonlu veya sonsuz sayıda sıfır eklenebilir:

3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{\overline {0}}_{7}

2. Son sıfır olmayan basamak bir sayı eksiltilebilir ve her biri tabandan bir eksik olan sonsuz sayıda basamak eklenir (veya aşağıdaki sıfır basamakları değiştirin):

3.46_{7}=3.45{\overline {6}}_{7}

1_{10}=0.{\overline {9}}_{10}\qquad

(ayrıca bkz. 0.999... )

220_{5}=214.{\overline {4}}_{5}

İrrasyonel sayılar

Bir (gerçek) irrasyonel sayı, tüm tamsayı tabanlarında sonsuz tekrar etmeyen bir temsile sahiptir.

Örnekler olmayan çözülebilir N inci kökleri

y={\sqrt[{n}]{x}}

ile ve $y$ $\notin$ $Q$ , cebirsel olarak adlandırılan sayılar veya bunun gibi sayılar ${\görüntüleme stili y^{n}=x}$

{\görüntüleme stili \pi ,e}

hangileri aşkındır . Aşkınların sayısı sayılamaz ve onları sınırlı sayıda sembolle yazmanın tek yolu onlara bir sembol veya sonlu bir sembol dizisi vermektir.

Uygulamalar

Ondalık sistem

İçinde ondalık (baz-10) Hint-Arap numarası sistemi , sağdan itibaren her konumu birinci pozisyonu belirtir 10 daha yüksek bir güç 10 ⁰ (1), ikinci konum 10 ¹ (10), üçüncü pozisyon 10 ² ( 10 × 10 veya 100), dördüncü konum 10 ³ ( 10 × 10 × 10 veya 1000), vb.

Kesirli değerler, farklı konumlarda değişebilen bir ayırıcı ile gösterilir . Genellikle bu ayırıcı bir dönem ya da nokta ya da bir virgül . Sağındaki rakamlar, eksi bir kuvvet veya üs olacak şekilde 10 ile çarpılır. Ayırıcının sağındaki ilk konum 10 ^−1'i (0,1), ikinci konum 10 ^−2'yi (0.01) gösterir, vb. her ardışık konum için.

Örnek olarak, 10 tabanlı bir sayı sisteminde 2674 sayısı:

(2 × 10 ³ ) + (6 × 10 ² ) + (7 × 10 ¹ ) + (4 × 10 ⁰ )

veya

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

altmışlık sistem

Altmış tabanlı ya da baz-60 sistemi yekpare ve kesirli bölümleri için kullanılan Babil rakamları ile ve diğer Mezopotamya sistemleri, Helen kullanılarak astronomlardan Yunan rakamları sadece dakika, kesirli kısmı için ve yine de, modern zaman ve açılar için kullanılır ve saniye. Ancak, bu kullanımların tümü konumsal değildi.

Modern zaman, her konumu iki nokta üst üste veya asal bir sembolle ayırır . Örneğin, süre 10:25:59 (10 saat 25 dakika 59 saniye) olabilir. Açılar benzer gösterimi kullanır. Örneğin, bir açı 10°25′59″ (10 derece 25 dakika 59 saniye ) olabilir. Her iki durumda da yalnızca dakikalar ve saniyeler altmışlık gösterim kullanır; açısal dereceler 59'dan büyük olabilir (bir daire etrafında bir dönüş 360 °, iki dönüş 720 °, vb.) ve hem zaman hem de açılar saniyenin ondalık kesirlerini kullanır. . Bu , daha ince artışlar için üçte , dörtte vb. kullanan Helenistik ve Rönesans gökbilimcileri tarafından kullanılan sayılarla çelişir . Yazabiliriz Nerede "10 ° 25'59.392 , yazıldıkları olurdu 10 ° 25 59 23 31 12 veya ° 25 10 ⁱ 59 ⁱ 23 ⁱⁱⁱ 31 ^iv 12 ^v . $\scriptstyle {{}^{\prime }}$ $\scriptstyle {{}^{\prime \prime }}$ $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime }}$ $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime }}$ $\scriptstyle {{}^{\prime \prime \prime \prime \prime }}$

Büyük ve küçük harflerden oluşan bir basamak kümesi kullanmak, altmışlı sayılar için kısa gösterime olanak tanır, örneğin 10:25:59, URL'lerde kullanım için yararlı olan 'ARz' olur (I ve O atlanarak, ancak i ve o hariç tutularak), vb., ancak insanlar için çok anlaşılır değildir.

1930'larda, Otto Neugebauer , Babil ve Helenistik sayılar için modern ondalık gösterimi 0'dan 59'a kadar olan modern ondalık gösterimi değiştirirken, sayının tam ve kesirli kısımlarını ayırmak için noktalı virgül (;) kullanarak ve virgül kullanarak modern bir notasyon sistemi tanıttı. (,) her bir kısım içindeki konumları ayırmak için. Örneğin, hem Babil hem de Helenistik gökbilimciler tarafından kullanılan ve hala İbrani takviminde kullanılan ortalama sinodik ay 29;31,50,8,20 gündür ve yukarıdaki örnekte kullanılan açı 10;25,59, 23,31,12 derece.

Bilgi işlem

Olarak işlem , ikili (baz-2), sekizli (baz-8) ve onaltılık (baz-16) bazları en yaygın olarak kullanılmaktadır. Bilgisayarlar, en temel düzeyde, yalnızca geleneksel sıfırlar ve birler dizileriyle ilgilenir, bu nedenle ikinin kuvvetleriyle uğraşmak bu anlamda daha kolaydır. Onaltılık sistem, ikili için "kısa yol" olarak kullanılır - her 4 ikili basamak (bit) bir ve yalnızca bir onaltılık basamakla ilgilidir. Onaltılı olarak, 9'dan sonraki altı basamak A, B, C, D, E ve F (ve bazen a, b, c, d, e ve f) ile gösterilir.

Sekizli sayı sistemi de ikili sayıları temsil etmek için başka bir yolu olarak kullanılmaktadır. Bu durumda taban 8'dir ve bu nedenle sadece 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7 rakamları kullanılır. İkiliden sekizliye dönüştürürken her 3 bit bir ve yalnızca bir sekizlik basamakla ilgilidir.

Onaltılık, ondalık, sekizli ve çok çeşitli diğer tabanlar ikiliden metne kodlama , keyfi kesinlikli aritmetik uygulamaları ve diğer uygulamalar için kullanılmıştır.

Bazların ve uygulamalarının bir listesi için, sayısal sistemlerin listesine bakın .

İnsan dilindeki diğer temeller

Taban-12 sistemleri ( on iki ondalık veya düzine) popüler olmuştur çünkü çarpma ve bölme, taban-10'dan daha kolaydır, toplama ve çıkarma da aynı derecede kolaydır. On iki, birçok faktöre sahip olduğu için faydalı bir temeldir . Bir, iki, üç, dört ve altının en küçük ortak katıdır. Orada İngilizce "düzine" için özel bir kelime hala ve 10 için kelime ile kıyas yoluyla ² , yüz , ticaret 12 bir kelime geliştirilen ² , brüt . Standart 12 saatlik saat biçimi ve İngilizce birimlerinde 12'nin yaygın kullanımı, tabanın faydasını vurgular. Ayrıca, ondalık basamağa dönüştürülmesinden önce, eski İngiliz para birimi İngiliz Sterlini (GBP) kısmen 12 tabanını kullandı; bir şilin(ler)de 12 peni (d), bir poundda (£) 20 şilin ve dolayısıyla bir poundda 240 peni vardı. Dolayısıyla LSD terimi veya daha doğrusu £sd .

Maya uygarlığı ve diğer medeniyetlerin Kolomb öncesi Mezoamerika taban-20 (kullanılmış vigesimal birkaç Kuzey Amerika kabileleri (iki güney Kaliforniya'da olmak üzere) yaptığı gibi). 20 tabanlı sayma sistemlerinin kanıtları, Orta ve Batı Afrika dillerinde de bulunur .

Bugün 60'dan 99'a kadar olan sayıların adlarında görüldüğü gibi , bir Galya taban-20 sisteminin kalıntıları da Fransızca'da mevcuttur. Örneğin, altmış beş soixante-cinq'tir (kelimenin tam anlamıyla, "altmış [ve] beş"). yetmiş beş, soixante-quinze'dir (kelimenin tam anlamıyla, "altmış [ve] on beş"). Ayrıca, 80 ile 99 arasındaki herhangi bir sayı için "onlarlık sütun" sayısı yirminin katı olarak ifade edilir. Örneğin, seksen iki quatre-vingt-deux'dur (kelimenin tam anlamıyla, dört yirmi[s] [ve] iki), doksan iki ise quatre-vingt-douze'dir (kelimenin tam anlamıyla, dört yirmi[s] [ve] on iki). Eski Fransızca'da kırk, iki yirmilik ve altmış üç yirmilik olarak ifade edildi, böylece elli üç, iki yirmilik [ve] on üç olarak ifade edildi, vb.

İngilizce'de, " skorlar " kullanımında aynı 20 tabanlı sayım görünür . Çoğunlukla tarihsel olmasına rağmen, zaman zaman halk dilinde kullanılır. İncil'in King James Versiyonu'ndaki Pslam 90'ın 10. ayeti şöyle başlar: "Yıllarımızın günleri üç yıl on yıl; ve güç nedeniyle dört yıl olsalar bile, güçleri emek ve kederdir". Gettysburg Adresi başlıyor: "Dört puan ve yedi yıl önce".

İrlanda dili de, geçmişte yirmi olmanın taban-20 kullanılan fichid , kırk DHA fhichid , altmış Trí fhichid seksen Ceithre fhichid . Bu sistemin bir kalıntısı, modern 40 kelimesi olan daoichead'de görülebilir .

Galler dili bir kullanmaya devam eder taban-20 sayma sistemi özellikle insanların, tarihlerin yaşa ve yaygın deyimlerle. 16–19 "15'te bir", "15'te iki" vb. olmak üzere 15 de önemlidir. 18 normalde "iki dokuz"dur. Genellikle ondalık sistem kullanılır.

Eskimolar dil bir kullanımı baz-20 sayma sistemi. Alaska , Kaktovik'ten öğrenciler, 1994'te 20 tabanlı bir sayı sistemi icat etti.

Danimarka rakamları benzer bir 20 tabanlı yapı gösterir.

Maori dili Yeni Zelanda da açısından görüldüğü gibi altta yatan bir baz-20 sisteminin kanıtları vardır Te Hokowhitu bir Tu savaş partisi atıfta (kelimenin tam anlamıyla "Tu yedi 20s") ve Tama-hokotahi büyük bir savaşçı atıfta bulunarak, ("20'ye eşit tek adam").

İkili sistem , Mısır Eski Krallığı'nda, MÖ 3000'den MÖ 2050'ye kadar kullanıldı. 1 ila 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64'ten küçük rasyonel sayıların 1 / 64'lük bir terim atılarak yuvarlanmasıyla bitişik el yazısıydı (sisteme Horus'un Gözü ).

Bir dizi Avustralya Aborijin dili, ikili veya ikili benzeri sayma sistemleri kullanır. Örneğin, Kala Lagaw Ya'da birden altıya kadar olan sayılar urapon , ukasar , ukasar-urapon , ukasar-ukasar , ukasar-ukasar-urapon , ukasar-ukasar-ukasar'dır .

Kuzey ve Orta Amerika yerlileri , dört ana yönü temsil etmek için taban-4'ü ( dörtlü ) kullandılar. Mezoamerikalılar, değiştirilmiş bir taban-20 sistemi oluşturmak için ikinci bir taban-5 sistemi ekleme eğilimindeydiler.

Sayım için birçok kültürde bir taban-5 sistemi ( beşli ) kullanılmıştır. Açıkçası, bir insan elindeki rakam sayısına dayanmaktadır. Ayrıca taban-10, taban-20 ve taban-60 gibi diğer bazların bir alt tabanı olarak da kabul edilebilir.

Kuzey Kaliforniya'daki Yuki kabilesi tarafından, bir ile sekiz arasındaki rakamlara karşılık gelen, saymak için parmaklar arasındaki boşlukları kullanan bir taban-8 sistemi ( sekizlik ) tasarlandı . Ayrıca, Bronz Çağı Proto-Hint Avrupalılarının (çoğu Avrupa ve Hint dilinin soyundan geldiği), 8 tabanlı bir sistemi (veya yalnızca 8'e kadar sayabilen bir sistemi) 10 tabanlı bir sistemle değiştirmiş olabileceğini gösteren dilsel kanıtlar da vardır. sistem. Kanıt şu ki, 9 için newm , bazıları tarafından "new", newo- kelimesinden türetilerek , 9 sayısının yakın zamanda icat edildiğini ve "yeni sayı" olarak adlandırıldığını öne sürüyor.

Pek çok eski sayma sistemi, neredeyse kesin olarak bir kişinin elindeki parmak sayısından gelen beşi birincil taban olarak kullanır. Genellikle bu sistemler, bazen on, bazen yirmi olmak üzere ikincil bir tabanla desteklenir. Bazı Afrika dilleri beş kelime "el" ya da "yumruk" (aynıdır Dyola dil arasında Gine-Bissau , Banda dilinin ait Orta Afrika'da ). Sayma, ikincil tabana ulaşılana kadar 5'li kombinasyonlara 1, 2, 3 veya 4 eklenerek devam eder. Yirmi durumda, bu kelime genellikle "insan tam" anlamına gelir. Bu sistem quinquavigesimal olarak adlandırılır . Sudan bölgesinin birçok dilinde bulunur .

Telefol dil konuşulan, Papua Yeni Gine , bir baz-27 rakamı sistemini bulundurduğu için dikkate değer.

Standart olmayan konumsal sayı sistemleri

Baz sabit veya pozitif olmadığında ve rakam sembol kümeleri negatif değerleri gösterdiğinde ilginç özellikler ortaya çıkar. Daha birçok varyasyon var. Bu sistemler bilgisayar bilimcileri için pratik ve teorik değere sahiptir.

Dengeli üçlü , 3 tabanını kullanır, ancak basamak kümesi {0,1,2} yerine { 1 ,0,1}'dir. " 1 ", -1'e eşdeğer bir değere sahiptir. Bir sayının olumsuzlanması , 1'lerin açılmasıyla kolayca oluşturulabilir . Bu sistem, bilinmeyen bir ağırlığı belirlemek için bilinen en az bir karşı ağırlık kümesi bulmayı gerektiren denge problemini çözmek için kullanılabilir . 1, 3, 9, ... 3 ⁿ birimlik ağırlıklar, 1 + 3 + ... + 3 ⁿ birime kadar herhangi bir bilinmeyen ağırlığı belirlemek için kullanılabilir . Terazinin her iki tarafında bir ağırlık kullanılabilir veya hiç kullanılmayabilir. Bilinmeyen ağırlıkta terazi kefesinde kullanılan ağırlıklar 1 , boş kefe üzerinde kullanılıyorsa 1 ve kullanılmamışsa 0 ile gösterilir. Bilinmeyen bir ağırlık W , kefesinde 3 (3 ¹ ) ve diğerinde 1 ve 27 (3 ⁰ ve 3 ³ ) ile dengelenirse , ondalık olarak ağırlığı , dengeli taban-3'te 25 veya 10 1 1'dir.

10113 = 1 \times 3 3 + 0 \times 3 2 - 1 \times 3 1 + 1 \times 3 0 = 25.

Faktöriyel sayı sistemi veren bir değiştirilmesi, radix kullanır faktöriyel yer değerleri olarak; ilgili oldukları Çin kalan teoremi ve kalıntı sayısı sistem numaralandırma. Bu sistem, permütasyonları etkili bir şekilde sıralar. Bunun bir türevi, bir sayma sistemi olarak Towers of Hanoi bulmaca konfigürasyonunu kullanır . Kulelerin konfigürasyonu, konfigürasyonun gerçekleştiği adımın ondalık sayısı ile 1'e 1 yazışmaya konulabilir ve bunun tersi de geçerlidir.

ondalık eşdeğerler	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	7	8
Dengeli taban 3	1 0	1 1	1	1	1 1	10	11	1 1 1	1 1 0	1 1 1	10 1
Baz -2	1101	10	11	1	110	111	100	101	11010	11011	11000
faktöroid				10	100	110	200	210	1000	1010	1100

Konumsal olmayan pozisyonlar

Her pozisyonun kendisinin pozisyonel olması gerekmez. Babil altmışlık sayıları konumsaldı, ancak her konumda bir ve onlukları temsil eden iki tür kama grubu vardı (dar bir dikey kama ( | ) ve açık bir sol işaret kaması (<))—konum başına en fazla 14 sembol (5 onluk ( <<<<<) ve 9 tane ( ||||||||| ) üç adede kadar simge katmanı içeren bir veya iki yakın kare veya bir konumun olmaması için bir yer tutucu (\\) halinde gruplandırılmıştır) . Helenistik gökbilimciler, her konum için bir veya iki alfabetik Yunan rakamı kullandılar (biri 10-50'yi temsil eden 5 harften ve/veya 1-9'u temsil eden 9 harften veya bir sıfır sembolünden seçildi ).

Ayrıca bakınız

Örnekler:

İlgili konular:

Başka:

önemli rakamlar

Notlar

Referanslar

O'Connor, John; Robertson, Edmund (Aralık 2000). "Babil Rakamları" . Erişim tarihi: 21 Ağustos 2010 .
Kadvany, John (Aralık 2007). "Konumsal Değer ve Dilsel Özyineleme". Hint Felsefesi Dergisi . 35 (5–6): 487–520. doi : 10.1007/s10781-007-9025-5 . S2CID 52885600 .
Knuth, Donald (1997). Bilgisayar Programlama sanatı . 2 . Addison-Wesley. s. 195–213. ISBN'si 0-201-89684-2.
Ifrah, George (2000). Sayıların Evrensel Tarihi: Tarih Öncesinden Bilgisayarın Buluşuna . Wiley. ISBN'si 0-471-37568-3.
Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Kaliforniya Kızılderililerinin El Kitabı . Kurye Dover Yayınları. P. 176. ISBN 9780486233680.

Languages

In other projects