Poncelet'in kapanış teoremi - Poncelet's closure theorem

Poncelet'in n  = 3 için gözenekliliğinin gösterimi , bir daire içine alınmış ve diğerini çevreleyen bir üçgen.

In geometri , Poncelet en porism , bazen olarak anılacaktır Poncelet en kapatma teoremi bir zaman olduğunu, devletler çokgen olduğu yazılı bir de konik bölüm ve sınırlıyor diğeri, çokgen tüm yazılıdır çokgen sonsuz ailesinin bir parçası olmak ve aynı circumscribe gerekir iki konik. Adını, 1822'de onun hakkında yazan Fransız mühendis ve matematikçi Jean-Victor Poncelet'ten almıştır; Ancak, üçgen kasa, 1746'da William Chapple tarafından çok daha önce keşfedildi .

Poncelet'in gözenekliliği , noktaları bir koniğe teğet bir çizginin bir kombinasyonunu ve bu çizginin diğer konik ile kesişme noktasını temsil eden eliptik bir eğri kullanan bir argümanla kanıtlanabilir .

Beyan

Let C ve D , iki düzlem konikler . Bu, belirli bir için, bulmak mümkün ise , n  > 2, bir n- taraflı çokgen aynı anda içinde yazılı olduğu C (kendi noktaların her yalan yani C ) ve etrafında sınırlı D kenarların tümü anlamına ( teğet için D ), o zaman sonsuz sayıda bulmak mümkündür. C veya D' nin her noktası, böyle bir çokgenin (sırasıyla) bir tepe noktası veya teğetidir.

Konikler daire ise , bir daire içinde yazılı olan ve diğerinin etrafında çevrelenen çokgenlere çift merkezli çokgenler denir , bu nedenle Poncelet'in gözenekliliğinin bu özel durumu, her iki merkezli çokgenin sonsuz bir iki merkezli ailenin parçası olduğu söylenerek daha kısa bir şekilde ifade edilebilir. aynı iki daireye göre çokgenler.

Kanıt kroki

C ve D'yi karmaşık projektif düzlemde P 2 eğriler olarak görüntüleyin . Basitlik için, C ve D'nin enine birleştiğini varsayalım (bu, ikisinin kesişme noktasının basit bir geçiş olduğu anlamına gelir). Daha sonra Bézout teoremi ile iki eğrinin kesişimi C ∩ D dört karmaşık noktadan oluşur. Keyfi bir nokta için d olarak D , izin ℓ d teğet çizgi D de , d . Let X, bir altcins olarak Cı x D (oluşan c , d bu) bu tür ℓ d geçer c . c verildiğinde , ( c , d ) ∈ X ile d sayısı, c ∈ C ∩ D ise 1, değilse 2'dir. Böylece çıkıntı X → Cı ≃ p 1 sunar X böylece derecesi 2 kapak olarak, 4 puan üzerinde dallanmış X, bir eliptik eğri (biz bir temel nokta saptamak kez X ). Diğer noktaya ( c , d ′) aynı birinci koordinatla bir genel ( c , d ) gönderen X'in involüsyonu olsun . Sabit noktalı bir eliptik eğrinin herhangi bir dönüşü, grup kanununda ifade edildiğinde, bazı p için x → p - x formuna sahiptir, bu form da öyledir . Benzer bir şekilde, çıkıntı X → D bir derecesi 2 morfizmanın temas noktaları üzerinden dallanmış olan D hem dört satır teğet C ve D , ve karşılık gelen involüsyon formu vardır x → q - X bazı q . Böylece kompozisyon X üzerinde bir çeviridir . Bir kuvvetinin sabit bir noktası varsa, bu kuvvet özdeşlik olmalıdır. C ve D diline geri çevrildiğinde , bu, eğer bir c ∈ C noktası (karşılık gelen bir d ile donatılmış ) kapanan bir yörüngeye yol açarsa (yani, bir n -gon verir ), o zaman her noktanın da öyle olduğu anlamına gelir. C ve D' nin çapraz olmadığı yozlaşmış durumlar bir limit argümanından çıkar.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Bos, HJM ; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW "Poncelet'in kapanma teoremi". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289-364.

Dış bağlantılar