Genel topoloji - General topology

Topologist en sinüs eğrisi , noktadan belirlendi topoloji yararlı bir örnek. Bağlıdır ancak yola bağlı değildir.

In matematik , genel topoloji dalıdır topoloji temel konu eden dizi-teorik tanımları ve yapılar topolojide kullanılan. Diferansiyel topoloji , geometrik topoloji ve cebirsel topoloji dahil olmak üzere diğer birçok topoloji dalının temelidir . Genel topolojinin diğer bir adı nokta küme topolojisidir .

Nokta küme topolojisindeki temel kavramlar süreklilik , kompaktlık ve bağlantılılıktır :

'Yakın', 'keyfi olarak küçük' ve 'uzak' terimlerinin tümü, açık kümeler kavramı kullanılarak kesin hale getirilebilir . 'Açık küme' tanımını değiştirirsek, sürekli fonksiyonların, kompakt kümelerin ve bağlı kümelerin ne olduğunu değiştiririz. 'Açık küme' için her tanım seçimine topoloji denir . Topolojisi olan bir kümeye topolojik uzay denir .

Metrik uzaylar , kümedeki nokta çiftleri üzerinde metrik olarak da adlandırılan gerçek, negatif olmayan bir mesafenintanımlanabildiğiönemli bir topolojik uzay sınıfıdır. Bir metriğe sahip olmak birçok ispatı basitleştirir ve en yaygın topolojik uzayların çoğu metrik uzaylardır.

Tarih

Genel topoloji, en önemlisi aşağıdakiler olmak üzere bir dizi alandan doğmuştur:

Genel topoloji bugünkü biçimini 1940'larda aldı. Denilebilir ki, süreklilik sezgisindeki hemen hemen her şeyi , matematiğin herhangi bir alanında uygulanabilecek teknik olarak yeterli bir biçimde yakalar .

Bir küme üzerinde bir topoloji

Let X kümesi olacak ve izin τ bir olmak aile içinde alt kümeleri arasında X . O zaman τ , aşağıdaki durumlarda X üzerinde bir topoloji olarak adlandırılır :

  1. Hem boş küme hem de X , τ'nın elemanlarıdır.
  2. Herhangi birlik unsurlarının t alınmak bir unsurdur t alınmak
  3. Herhangi bir kesişim bölgesinin sonlu sayıda elemanlarının t alınmak bir elemanıdır t alınmak

Eğer τ bir topoloji X , daha sonra çift ( X , τ ) denen topolojik uzay . X t notasyonu , belirli bir t topolojisine sahip bir X kümesini belirtmek için kullanılabilir .

Üyeleri t alınmak denir açık kümeleri içinde X . Bir alt kümesi, X'in söylenir kapalı olarak ise tamamlayıcı olan t alınmak (yani, tamamlayıcı açıktır). X'in bir alt kümesi açık, kapalı, ikisi birden ( clopen küme ) veya hiçbiri olabilir. Boş küme ve X'in kendisi her zaman hem kapalı hem de açıktır.

Bir topolojinin temeli

Bir baz (ya da baz ) B bir için topolojik boşluk X olan topolojisi T bir koleksiyon açık kümeler içinde T her açık grubu şekilde T elemanlarının bir birlik olarak yazılabilir B . Tabanın T topolojisini oluşturduğunu söylüyoruz . Bazlar yararlıdır çünkü topolojilerin birçok özelliği, o topolojiyi oluşturan bir taban hakkındaki ifadelere indirgenebilir ve birçok topoloji onları oluşturan bir taban açısından en kolay şekilde tanımlanabilir.

Alt uzay ve bölüm

Bir topolojik uzayın her alt kümesine , açık kümelerin daha büyük uzayın açık kümelerinin alt küme ile kesişimleri olduğu altuzay topolojisi verilebilir . Endekslenmiş herhangi bir topolojik uzay ailesi için, ürüne , projeksiyon eşlemeleri altındaki faktörlerin açık kümelerinin ters görüntüleri tarafından üretilen çarpım topolojisi verilebilir . Örneğin, sonlu çarpımlarda, çarpım topolojisi için bir temel, açık kümelerin tüm ürünlerinden oluşur. Sonsuz çarpımlar için, temel bir açık kümede, uzantılarının sonlu çoğu hariç tümünün tüm uzay olduğu ek bir gereklilik vardır.

Bir bölüm uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır: eğer X bir topolojik uzay ve Y, bir dizi ve eğer f  : XY bir olduğunu örten fonksiyon , daha sonra bölüm topolojisi üzerinde Y alt kümelerinin koleksiyonu Y açık olan ters görüntüleri f altında . Başka bir deyişle, bölüm topolojisi, f'nin sürekli olduğu Y üzerindeki en iyi topolojidir . Bölüm topolojisinin yaygın bir örneği, X topolojik uzayında bir denklik ilişkisinin tanımlanmasıdır . O halde f haritası denklik sınıfları kümesine doğal izdüşümdür .

topolojik uzay örnekleri

Belirli bir kümenin birçok farklı topolojisi olabilir. Bir kümeye farklı bir topoloji verilirse, farklı bir topolojik uzay olarak görülür.

Ayrık ve önemsiz topolojiler

Herhangi bir kümeye, her alt kümenin açık olduğu ayrık topoloji verilebilir . Bu topolojideki tek yakınsak diziler veya ağlar, sonunda sabit olanlardır. Ayrıca, herhangi bir kümeye, yalnızca boş kümenin ve tüm uzayın açık olduğu önemsiz topoloji (ayrıksız topoloji de denir) verilebilir . Bu topolojideki her dizi ve ağ, uzayın her noktasına yakınsar. Bu örnek, genel topolojik uzaylarda dizilerin limitlerinin benzersiz olması gerekmediğini gösterir. Ancak, genellikle topolojik uzaylar, limit noktalarının benzersiz olduğu Hausdorff uzayları olmalıdır .

Eş sonlu ve sayılabilir topolojiler

Açık kümelerin boş küme ve tümleyeni sonlu kümeler olduğu herhangi bir kümeye eş sonlu topoloji verilebilir . Bu, herhangi bir sonsuz kümedeki en küçük T 1 topolojisidir.

Herhangi bir kümeye, bir kümenin boş olması veya tümleyeninin sayılabilir olması durumunda açık olarak tanımlandığı , sayılabilir topoloji verilebilir . Küme sayılamaz olduğunda, bu topoloji birçok durumda bir karşı örnek olarak hizmet eder.

Gerçek ve karmaşık sayılar üzerinde topolojiler

Gerçek sayılar kümesi olan R üzerinde bir topoloji tanımlamanın birçok yolu vardır . R üzerindeki standart topoloji , açık aralıklar tarafından üretilir . Tüm açık aralıkların kümesi , topoloji için bir taban veya temel oluşturur; bu, her açık kümenin, tabandan gelen bazı kümelerin bir birleşimi olduğu anlamına gelir. Özellikle, bu, kümedeki her nokta etrafında sıfır yarıçaplı olmayan bir açık aralık varsa, bir kümenin açık olduğu anlamına gelir. Daha genel olarak, R n Öklid uzaylarına bir topoloji verilebilir. R n üzerindeki olağan topolojide temel açık kümeler açık toplardır . Benzer bir şekilde, Cı- , grubu karmaşık sayılar ve Cı- n- temel açık kümeler açık topları olan standart topoloji var.

Gerçek çizgiye alt limit topolojisi de verilebilir . Burada temel açık kümeler yarı açık aralıklardır [ a , b ). R üzerindeki bu topoloji, yukarıda tanımlanan Öklid topolojisinden kesinlikle daha incedir; bir dizi bu topolojideki bir noktaya ancak ve ancak Öklid topolojisinde yukarıdan yakınsadığında yakınsar. Bu örnek, bir kümenin üzerinde tanımlanmış birçok farklı topolojiye sahip olabileceğini göstermektedir.

metrik topoloji

Her metrik uzaya , temel açık kümelerin metrik tarafından tanımlanan açık toplar olduğu bir metrik topoloji verilebilir. Bu, herhangi bir normlu vektör uzayında standart topolojidir . Sonlu boyutlu bir vektör uzayında bu topoloji tüm normlar için aynıdır.

Diğer örnekler

Sürekli fonksiyonlar

Süreklilik cinsinden ifade edilir mahallelerde : f bir noktada sürekli x  ∈  X , ancak ve ancak bir mahalle için eğer V bölgesinin f ( x ) , bir mahalle vardır , U ve X , öyle ki f ( U ) ⊆  V . Sezgisel olarak, süreklilik aracı ne olursa olsun "küçük" ne V olur, her bir orada u ihtiva eden x içine eşler V görüntü altında ve f içeren f ( x ) . Bu şartıyla eşdeğerdir preimages açık (kapalı) setleri Y açık (kapalı) olan X . Metrik uzaylarda bu tanım, analizde sıklıkla kullanılan ε–δ tanımına eşdeğerdir .

Uç bir örnek: bir X kümesine ayrık topoloji verilirse , tüm işlevler

herhangi bir topolojik uzaya T süreklidir. Öte yandan, X ayrık topoloji ile donatılmışsa ve T uzayı en az T 0 ise , o zaman sadece sürekli fonksiyonlar sabit fonksiyonlardır. Tersine, aralığı ayrık olmayan herhangi bir fonksiyon süreklidir.

Alternatif tanımlar

Bir topolojik yapı için birkaç eşdeğer tanım mevcuttur ve bu nedenle sürekli bir işlevi tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır.

Mahalle tanımı

Ön görüntülere dayalı tanımlamaların doğrudan kullanılması genellikle zordur. Şu kriteri açısından sürekliliği ifade mahallelerde : f bir noktada sürekli x  ∈  X , ancak ve ancak bir mahalle için eğer V bölgesinin f ( x , bir mahalle vardır) u ve x , öyle ki f ( U ) ⊆  V . Sezgisel olarak, süreklilik, V ne kadar "küçük" olursa olsun , her zaman V içinde eşleşen x içeren bir U olduğu anlamına gelir .

Eğer X ve Y, metrik boşluk vardır, dikkate eşdeğerdir mahalle sistemi arasında açık topları merkezli x ve f ( x ) yerine her mahallelerde. Bu, metrik uzaylar bağlamında sürekliliğin yukarıdaki δ-ε tanımını verir. Ancak genel olarak topolojik uzaylarda yakınlık veya uzaklık kavramı yoktur.

Bununla birlikte, hedef alanı ise bu Hausdorff , hala doğru olduğunu f süreklidir bir halinde ve sınır durumunda f olarak x yaklaşımlar bir olduğunu f ( a ). İzole bir noktada, her fonksiyon süreklidir.

Diziler ve ağlar

Birçok bağlamda, bir uzayın topolojisi uygun bir şekilde limit noktaları cinsinden belirtilir . Birçok durumda, bu, bir noktanın ne zaman bir dizinin limiti olduğunu belirterek gerçekleştirilir , ancak bir anlamda çok büyük olan bazı uzaylar için, bir noktanın, bir yönlendirilmiş tarafından indekslenen daha genel nokta kümelerinin limiti olduğu da belirtilir. ağlar olarak bilinen küme . Bir fonksiyon, ancak dizilerin limitlerini dizilerin limitlerine kadar alıyorsa süreklidir. İlk durumda, sınırların korunması da yeterlidir; ikincisinde, bir fonksiyon dizilerin tüm sınırlarını koruyabilir, ancak yine de sürekli olamaz ve ağların korunması gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Ayrıntılı olarak, bir fonksiyon f : XY ise sırayla sürekli ise her bir dizisi ( x n olarak) X, bir sınır yakınsar x , dizi ( f ( x , n )) için yakınsak f ( x ). Böylece sıralı sürekli fonksiyonlar "sıralı limitleri korur". Her sürekli fonksiyon sıralı olarak süreklidir. Eğer X, a, birinci sayılabilir alan ve sayılabilir seçim , sonra tutar tersinin de geçerli: sıralı sınırlar koruyucu bir fonksiyon süreklidir. Özellikle, X bir metrik uzay ise, sıralı süreklilik ve süreklilik eşdeğerdir. İlk sayılamayan uzaylar için, sıralı süreklilik, süreklilikten kesinlikle daha zayıf olabilir. (İki özelliğin eşdeğer olduğu uzaylara sıralı uzaylar denir .) Bu, genel topolojik uzaylarda diziler yerine ağların dikkate alınmasını motive eder. Sürekli fonksiyonlar ağların limitlerini korur ve aslında bu özellik sürekli fonksiyonları karakterize eder.

Kapanış operatörü tanımı

Bunun yerine, bir topolojik alanının açık alt kümelerini belirtme, topoloji da belirlenebilir kapanış operatörü (gösterilen cl), herhangi bir alt kümesi için olan atar birX onun kapatma veya bir iç operatör (gösterilen int), burada atar herhangi alt-kümesi bir ve X de . Bu terimlerle, bir fonksiyon

topolojik mekanlar arasında anlamda kesintisiz yukarıda ancak ve ancak tüm alt-gruplar için ise A ve X

Yani, herhangi bir A alt kümesinin kapanışında bulunan X'in herhangi bir x elemanı verildiğinde , f ( x ), f ( A ) ' nın kapanışına aittir . Bu, tüm A ' X ' alt kümeleri için gerekliliğe eşdeğerdir.

Dahası,

süreklidir ancak ve ancak

herhangi bir alt kümesi için , A ve X .

Özellikler

Eğer f : XY ve g : YZ süreklidir, o zaman bileşimdir gf : XZ . Eğer f : XY süreklidir ve

  • X, bir kompakt , daha sonra f ( X ) kompakttır.
  • X, bir bağlanmış , daha sonra f ( X bağlanmıştır).
  • X, bir yol bağlı sonra, f ( x ) yolu bağlantılıdır.
  • X, bir Lindelöf sonra, f ( x ) Lindelöf olup.
  • X, bir ayrılabilir , sonra f ( X ) ayrılabilir.

Sabit bir dizi olası topolojileri X vardır kısmi sıralı : τ bir topoloji 1 olduğu söylenir kaba τ bir topoloji daha 2 (işaretlerle: τ 1 ⊆ τ 2 ) t alınmak göre her açık alt kümesi ise 1 , aynı zamanda göre açık olan τ 2 . Daha sonra kimlik haritası

id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )

ancak ve ancak τ 1 ⊆ τ 2 ise süreklidir (topolojilerin karşılaştırmasına da bakınız ). Daha genel olarak, sürekli bir fonksiyon

τ Y topolojisi daha kaba bir topoloji ile değiştirilirse ve/veya τ X daha ince bir topoloji ile değiştirilirse sürekli kalır .

Homeomorfizmalar

Sürekli harita kavramına simetrik , açık kümelerin görüntülerinin açık olduğu açık bir haritadır . Aslında, açık bir f haritasının bir ters işlevi varsa , bu ters süreklidir ve sürekli bir g haritasının bir tersi varsa, bu ters açıktır. Bir verilen örten fonksiyon f iki topolojik boşluk arasında, ters fonksiyon f -1 ihtiyaç sürekli olmak zorunda değildir. Sürekli ters fonksiyonu olan bir bijektif sürekli fonksiyona homeomorfizm denir .

Sürekli bijection onun kadar varsa etki bir kompakt uzay ve değer kümesi olan Haussdorf , o zaman bir homeomorfizma olduğunu.

Sürekli fonksiyonlar aracılığıyla topolojileri tanımlama

Verilen bir fonksiyon

burada X, bir topolojik alan ve S , (belirli bir topoloji olmadan) bir dizi son topolojisi ile S açık kümeleri izin tanımlanır S olduğu alt kümelerini bir bölgesinin S olan f -1 ( A ) daha açık X . Eğer S varolan topoloji vardır, f Bu topoloji açısından süreklidir ancak ve ancak mevcut topoloji ise kaba üzerinde son topoloji daha S . Böylece nihai topoloji, f'yi sürekli yapan S üzerindeki en iyi topoloji olarak karakterize edilebilir . Eğer f olduğu örten , bu topoloji kanonik özdeşleşen bölüm topoloji altında denklik ilişkisi ile tanımlanan f .

İkili olarak bir işlev için f bir seti S topolojik alana, ilk topolojisi ile S açık alt kümeleri olarak bulunur , A ve S olan alt kümelerini f ( A açıktır) X . Eğer S olan bir topolojiye sahip olan, ön topoloji göre devamlı, ancak ve ancak, mevcut topoloji başlangıç topoloji daha ince ise, S . Böylece ilk topoloji, f'yi sürekli yapan S üzerindeki en kaba topoloji olarak karakterize edilebilir . Eğer f birebirdir, bu topoloji kanonik ile tanımlanır alt uzay topoloji ve S bir alt kümesi olarak bakıldığında, X .

S kümesindeki bir topoloji, tüm X topolojik uzaylarına tüm sürekli fonksiyonların sınıfı tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir . İkili olarak , benzer bir fikir haritalara da uygulanabilir.

Kompakt setler

Resmen bir topolojik uzay X denir kompakt onun her eğer açık kapakları bir sahiptir sonlu alt örtüye . Aksi takdirde, kompakt olmayan olarak adlandırılır . Açıkça, bu, her keyfi koleksiyon için

açık alt kümelerinin X şekilde

Sonlu bir alt grubu vardır J ait bir şekilde

Gibi matematik Bazı dallar cebirsel geometri tipik Fransız okulunda etkisinde, Bourbaki terimi kullanmak yarı-yoğun genel kavramı için, ve terim rezerv kompakt hem topolojik alanlar için Hausdorff ve quasi-kompakt . Kompakt bir kümeye bazen kompaktum , çoğul kompakta denir .

Her kapalı aralık içinde R sonlu uzunlukta olan kompakt . In: Daha doğrudur R n bir dizi kompakt, ancak ve ancak o olduğu kapalı ve sınırlı. (Bkz. Heine-Borel teoremi ).

Kompakt bir uzayın her sürekli görüntüsü kompakttır.

Bir Hausdorff uzayının kompakt bir alt kümesi kapalıdır.

Bir kompakt uzaydan bir Hausdorff uzayına her sürekli bijeksiyon , zorunlu olarak bir homeomorfizmadır .

Kompakt bir metrik uzaydaki her nokta dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.

Her kompakt sonlu boyutlu manifoldu bazı Öklid uzayında gömülebilir R n .

bağlı kümeler

Bir topolojik uzay X söyleniyor kesilmiş Çünkü eğer sendika iki ayrık nonempty açık kümeler . Aksi takdirde, X'in bağlı olduğu söylenir . Bir topolojik uzayın bir altkümesi , kendi altuzay topolojisine bağlıysa, bağlı olduğu söylenir . Bazı yazarlar, boş kümeyi (benzersiz topolojisiyle) bağlantılı bir alan olarak hariç tutar, ancak bu makale bu uygulamayı takip etmemektedir.

X topolojik uzayı için aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

  1. X bağlı.
  2. X iki ayrık, boş olmayan kapalı kümeye bölünemez .
  3. X'in hem açık hem de kapalı olan tek alt kümesi ( clopen kümeler ) X ve boş kümedir .
  4. Sadece alt kümeleri X boş ile sınır olan X ve boş kümesi.
  5. X , iki boş olmayan ayrılmış kümenin birleşimi olarak yazılamaz .
  6. X'ten {0,1}'e kadar olan tek sürekli fonksiyonlar , ayrık topoloji ile donatılmış iki noktalı uzay sabittir.

Her aralık R edilir bağlı .

Bağlı bir uzayın sürekli görüntüsü bağlantılıdır.

Bağlı bileşenler

Maksimal (göre sıralı bağlı alt-gruplar dahil boş olmayan bir topolojik alanı) olarak adlandırılır , bağlı bileşenler alanı. Herhangi topolojik uzay bileşenleri X bir formu bölüm içinde  X onlar: ayrık , boş olmayan ve onların sendikası bütün alandır. Her bileşen, orijinal uzayın kapalı bir alt kümesidir . Sayılarının sonlu olduğu durumda, her bileşen aynı zamanda bir açık altkümedir. Ancak sayıları sonsuz ise durum böyle olmayabilir; örneğin, rasyonel sayılar kümesinin bağlı bileşenleri, açık olmayan tek noktalı kümelerdir.

Izin ait bağlantılı bileşen olmak x bir topolojik uzay içinde X ve içeren tüm açık kapalı kümelerin kesişim olmak x (denilen yarı-bileşenli bir x .) Ardından eğer eşitliğin nerede X kompakt Haussdorf veya lokal olarak bağladı.

Bağlantısı kesilmiş alanlar

Tüm bileşenlerin tek noktalı kümeler olduğu bir uzaya tamamen bağlantısız denir . Bu özellik ile ilgili olarak, bir boşluk X adı verilen bir tamamen ayrılmış bir iki farklı elemanlar için, eğer x ve y ve X , ayrık orada mevcut açık komşuluklara u arasında x ve V arasında y şekildedir X grubunun birleşimi olan bir U ve V . Açıkça, tamamen ayrılmış herhangi bir uzayın bağlantısı tamamen kesilir, ancak bunun tersi geçerli değildir. Örneğin, Q rasyonel sayılarının iki kopyasını alın ve bunları sıfır dışında her noktada tanımlayın. Elde edilen uzay, bölüm topolojisi ile tamamen bağlantısızdır. Ancak sıfırın iki kopyası göz önüne alındığında, uzayın tamamen ayrılmadığı görülür. Aslında Hausdorff bile değildir ve tamamen ayrı olma koşulu Hausdorff olma koşulundan kesinlikle daha güçlüdür.

Yol bağlantılı kümeler

Bu alt uzay R, bir yol alan herhangi iki nokta arasında çizilen çünkü ², yol bağlantılıdır.

Bir yol, bir noktadan x noktası için y a topolojik alan X a, sürekli bir fonksiyon f den birimi aralığı için [0,1] X ile f (0) = x ve f (1) = y . Bir yol bileşenli bir X bir bir eşdeğerlik sınıfı arasında X altında denklik ilişkisi yapar, x eşdeğer y ile ilgili bir yol olup olmadığını x için y . En fazla bir yol bileşeni varsa, yani X'teki herhangi iki noktayı birleştiren bir yol varsa, X uzayının yola bağlı (veya yola bağlı veya 0 bağlantılı ) olduğu söylenir . Yine, birçok yazar boş alanı dışlar.

Her yola bağlı uzay bağlantılıdır. Bunun tersi her zaman doğru değildir: yola bağlı olmayan bağlantılı uzayların örnekleri arasında uzatılmış uzun L * çizgisi ve topologun sinüs eğrisi bulunur .

Bununla birlikte, alt-gruplar gerçek hattı R bağlanır ve eğer yalnızca bu yol bağlı olan; Bu alt kümeleri olan aralıkları arasında Ar . Ayrıca, açık bir alt-gruplar arasında , R n ya da C , n da yol bağlı olan, ancak ve ancak bağlanır. Ek olarak, bağlantılılık ve yol bağlantılılık, sonlu topolojik uzaylar için aynıdır .

Mekan ürünleri

X verildiğinde ,

Topolojik boşlukların Kartezyen ürün X i , dizine göre ve standart çıkıntılar s ı  : XX i , ürün topolojisi ile X olarak tanımlanır kaba topoloji (yani en az açık setleri ile topolojisi) olan tüm çıkıntılar s ı olan sürekli . Ürün topolojisine bazen Tychonoff topolojisi denir .

Çarpım topolojisindeki açık kümeler , her U i'nin X i ve U i  ≠  X i'de yalnızca sonlu sayıda açık olduğu formdaki kümelerin birleşimidir (sonlu veya sonsuz) . Sonlu bir ürün, özellikle de (ve özellikle de iki topolojik boşlukların ürünü için), temel elemanlarının ürünleri X i ürün için bir temel sağlar .

İlgili ürün topolojisi X formu grubu aracılığı ile topolojisi olan p ı -1 ( U ), i olan I ve U bir açık alt kümesi , X i . Diğer bir deyişle, { p i −1 ( U )} kümeleri , X üzerindeki topoloji için bir alt taban oluşturur . Bir alt-kümesi içinde , X , bir (muhtemelen sonsuz) 'dir, ancak ve ancak açık olan birlik bir kesişme formu sonlu sayıda setleri p ı -1 ( U ). S ı -1 ( U ), bazen adlandırılır açık silindirleri ve kesişmeleri olan silindir setleri .

Genel olarak, her X i'nin topolojilerinin ürünü , X üzerindeki kutu topolojisi olarak adlandırılan şey için bir temel oluşturur . Genel olarak, kutu topolojidir ince ürün topoloji daha ama sonlu ürünler için onlar örtüşmektedir.

Kompaktlıkla ilgili olarak Tychonoff'un teoremi vardır : kompakt uzayların (keyfi) ürünü kompakttır.

ayırma aksiyomları

Ayrılma aksiyomlarının tarihi bölümünde açıklandığı gibi, bu isimlerin birçoğunun bazı matematik literatüründe alternatif anlamları vardır ; örneğin, "normal" ve "T 4 " ün anlamları bazen birbirinin yerine kullanılabilir, benzer şekilde "düzenli" ve "T 3 " vb. Kavramların çoğunun ayrıca birkaç adı vardır; ancak, ilk sıralananın her zaman belirsiz olma olasılığı en düşüktür.

Bu aksiyomların çoğu aynı anlama sahip alternatif tanımlara sahiptir; burada verilen tanımlar, önceki bölümde tanımlanan çeşitli ayırma kavramlarını ilişkilendiren tutarlı bir kalıba girer. Diğer olası tanımlar tek tek makalelerde bulunabilir.

Aşağıdaki tanımların hepsinde X yine bir topolojik uzaydır .

  • X, bir T 0 , ya da Kolmogorov herhangi iki ayrı puan ise, X olan topolojik ayırt . (Bir aksiyomun T 0 gerektiren bir versiyonuna ve gerektirmeyen bir versiyonuna sahip olmak, ayırma aksiyomları arasında yaygın bir temadır .)
  • X, bir T 1 ya da erişilebilir ve Frechet herhangi iki ayrı puan ise, X ayrılır. Bu nedenle X , yalnızca ve yalnızca hem T 0 hem de R 0 ise T 1'dir . (Eğer gibi işlemler söyleyebiliriz rağmen T 1 uzay , Fréchet topoloji ve topolojik uzay varsayalım X Fréchet olduğu önlemek söyleyerek Fréchet alan bir başka tamamen farklı bir kavram olmadığı için, bu bağlamda Fréchet uzayda içinde fonksiyonel analiz .)
  • X, bir Hausdorff veya T 2 ya da ayrılmış herhangi iki ayrı puan ise, X çevreye göre ayrılır. Bu durumda, X, Hausdorff ve eğer her iki T, sadece 0 ve R ' 1 . Bir Hausdorff uzayı da T 1 olmalıdır .
  • X , T veya Urysohn'dur , eğer X'teki herhangi iki farklı nokta kapalı komşuluklarla ayrılmışsa. AT alanı da Hausdorff olmalıdır.
  • X, bir normal veya T 3 , T ise, 0 ve herhangi bir nokta verilirse x ve kapalı bir dizi F içinde X , öyle ki x değil aittir etmez F , bunlar çevreye göre ayrılır. (Aslında, düzenli bir uzayda, böyle herhangi bir x ve F de kapalı komşuluklarla ayrılır.)
  • X, bir Tychonoff veya T 3 ½ , tamamen T 3 , ya da tam olarak düzenli , T ise, 0 herhangi bir nokta verilir ve eğer f x ve kapalı grubu F içinde X , öyle ki x değil aittir etmez F , sürekli bir ayrılır işlev.
  • X ise , normal ya da T 4 bu Hausdorff ve eğer herhangi iki ayrık kapalı alt-gruplar halinde, X çevreye göre ayrılır. (Aslında, ancak ve ancak herhangi iki ayrık kapalı küme sürekli bir fonksiyonla ayrılabiliyorsa, bir uzay normaldir; bu Urysohn'un lemmasıdır .)
  • X ise tamamen normal ya da T 5 ya da tamamen, T 4 , T ise, 1 ve herhangi iki ayrılmış setleri çevreye göre ayrılır,. Tamamen normal bir uzay da normal olmalıdır.
  • X, bir çok normal ya da T 6 veya mükemmel T 4 , T ise, 1 ve herhangi iki ayrık kapalı setleri hassas bir şekilde sürekli bir fonksiyon ile ayrılmış. Tamamen normal bir Hausdorff uzayı aynı zamanda tamamen normal Hausdorff olmalıdır.

Tietze genişleme teoremi : Normal bir alanda, kapalı bir altuzaydan tanımlanan her sürekli gerçek değerli işlev tüm alanın üzerinde tanımlı sürekli bir haritaya uzatılabilir.

sayılabilirlik aksiyomları

Bir Sayılabilirliğin aksiyomu bir olan mülkiyet belli bir matematiksel nesneler (genellikle içinde kategorisinde bir varlığını gerektirir) sayılabilir seti böyle setleri var olmayabilir olmadan iken, bazı özelliklere sahip.

Topolojik uzaylar için önemli sayılabilirlik aksiyomları :

ilişkiler:

  • Her ilk sayılabilir uzay ardışıktır.
  • Her ikinci sayılabilir uzay birinci sayılabilir, ayrılabilir ve Lindelöf'tür.
  • Her σ-kompakt uzayı Lindelöf'tür.
  • Bir metrik uzay ilk sayılabilirdir.
  • Metrik uzaylar için ikinci sayılabilirlik, ayrılabilirlik ve Lindelöf özelliğinin tümü eşdeğerdir.

Metrik uzaylar

Bir metrik uzay bir olduğunu sıralı ikili kümesidir ve bir olan metrik üzerinde , yani bir işlev

herhangi biri için aşağıdakiler geçerli olacak şekilde:

  1.     ( olumsuz değil ),
  2. iff     ( ayırt edilemezlerin kimliği ),
  3.     ( simetri ) ve
  4.     ( üçgen eşitsizliği ).

Bu fonksiyon aynı zamanda uzaklık fonksiyonu veya sadece uzaklık olarak da adlandırılır . Genellikle, atlanır ve bağlamdan hangi metriğin kullanıldığı açıksa, sadece bir metrik uzay için yazılır.

Her metrik uzay olduğu Parakompakt ve Hausdorff ve dolayısıyla normal bir .

Metriklenebilme teoremleri bir topoloji bir metrik geliyormuş için gerekli ve yeterli koşullar sunmaktadır.

Baire kategori teoremi

Baire kategori teoremi diyor ki: Eğer X bir olduğunu tam metrik uzay veya yerel kompakt Hausdorff uzay ardından her birliğin iç sayılabilir birçok yerde yoğun kümeleri boş.

Bir Baire uzayının herhangi bir açık alt uzayının kendisi bir Baire uzayıdır.

Ana araştırma alanları

Limiti boşluk doldurma eğrisi olan bir Peano eğrisi yapısının üç yinelemesi. Peano eğrisi, genel topolojinin bir dalı olan süreklilik teorisinde incelenir .

süreklilik teorisi

Bir süreklilik (pl sürekli ), boş olmayan bir kompakt bağlantılı metrik uzaydır veya daha az sıklıkla, kompakt bağlantılı bir Hausdorff uzayıdır . Süreklilik teorisi , süreklilik çalışmasına ayrılmış topoloji dalıdır. Bu nesneler, neredeyse tüm topoloji ve analiz alanlarında sıklıkla ortaya çıkar ve özellikleri, birçok 'geometrik' özellik verecek kadar güçlüdür.

dinamik sistemler

Topolojik dinamikler, bir uzayın ve onun alt uzaylarının sürekli değişime maruz kaldığında zaman içindeki davranışıyla ilgilidir. Fizik ve diğer matematiğin diğer alanlarına uygulamalı birçok örnek, akışkanlar dinamiği , bilardo ve manifoldlardaki akışları içerir . Fraktal geometrideki fraktalların , karmaşık dinamiklerde ortaya çıkan Julia kümelerinin ve Mandelbrot kümesinin ve diferansiyel denklemlerdeki çekicilerin topolojik özellikleri, bu sistemleri anlamak için genellikle kritik öneme sahiptir.

anlamsız topoloji

Anlamsız topolojisi (aynı zamanda pointfree veya pointfree topolojisi ) bir yaklaşımdır topoloji önler noktaları söz olduğu. Anlamsız topoloji adı John von Neumann'a aittir . Anlamsız topoloji fikirleri, bölgelerin (kümelerin) temel nokta kümelerine açık bir referans olmaksızın temel olarak ele alındığı mereotopolojilerle yakından ilişkilidir .

boyut teorisi

Boyut teorisi ile uğraşan genel topoloji dalıdır boyutlu değişmezler arasında topolojik uzaylarda .

topolojik cebirler

Bir topolojik alan K üzerinde bir topolojik cebir A , sürekli bir çarpma ile birlikte bir topolojik vektör uzayıdır.

bu onu K üzerinde bir cebir yapar . Bir birimsel ilişkisel topolojik cebir, topolojik bir halkadır .

Terim David van Dantzig tarafından icat edildi ; doktora tezinin başlığında yer alır (1931).

Metrizabilite teorisi

Gelen topoloji ve ilgili alanlarda matematik , bir metriklenebilir uzay bir olan topolojik uzay olduğunu homeomorphic a metrik uzay . Yani, bir metrik varsa , bir topolojik uzayın metriklenebilir olduğu söylenir.

bu neden olduğu topolojisi bu d olan . Metrizasyon teoremleri , bir topolojik uzayın metriklenebilir olması için yeterli koşulları veren teoremlerdir .

Küme-teorik topoloji

Küme teorik topolojisi, küme teorisi ve genel topolojiyi birleştiren bir konudur. Zermelo-Fraenkel küme teorisinden (ZFC) bağımsız olan topolojik sorulara odaklanır . Ünlü bir problem, yoğun araştırmaların konusu olan genel topolojide bir soru olan normal Moore uzay sorusudur . Normal Moore uzay sorusunun cevabının sonunda ZFC'den bağımsız olduğu kanıtlandı.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Genel topoloji üzerine bazı standart kitaplar şunları içerir:

ArXiv konu kodudur math.GN .

Dış bağlantılar