Peierls ikamesi - Peierls substitution

Adını Rudolf Peierls'in orijinal çalışmasından alan Peierls ikame yöntemi, yavaş değişen manyetik vektör potansiyelinin varlığında sıkıca bağlanmış elektronları tanımlamak için yaygın olarak kullanılan bir yaklaşımdır .

Harici bir manyetik vektör potansiyelinin varlığında sıkı bağlama çerçevesindeki Hamiltoniyen'in kinetik bölümünü oluşturan çeviri operatörleri basitçe ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = | m + 1, n \ rangle \ langle m, n | e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {x}}, \ quad \ mathbf { T} _ {y} = | m, n + 1 \ rangle \ langle m, n | e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {y}}}$$

ve ikinci kuantizasyon formülasyonunda

$${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {x} = {\ boldsymbol {\ psi}} _ {m + 1, n} ^ {\ dagger} {\ boldsymbol {\ psi}} _ {m, n} e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {x}}, \ quad \ mathbf {T} _ {y} = {\ boldsymbol {\ psi}} _ {m, n + 1} ^ {\ hançer} { \ boldsymbol {\ psi}} _ {m, n} e ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {y}}.}$$

Aşamalar şu şekilde tanımlanır:

$${\ displaystyle \ theta _ {m, n} ^ {x} = {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {m} ^ {m + 1} A_ {x} (x, n) {\ text {d}} x, \ quad \ theta _ {m, n} ^ {y} = {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {n} ^ {n + 1} A_ {y} ( m, y) {\ text {d}} y.}$$

Özellikleri

1. Plaket başına akı miktarı , faz faktörünün kafes kıvrımı ile ilgilidir, ${\ displaystyle \ phi _ {mn}}$
   $${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ theta _ {m, n} & = \ Delta _ {x} \ theta _ {m, n} ^ {y} - \ Delta _ {y} \ theta _ {m, n} ^ {x} = \ left (\ theta _ {m + 1, n} ^ {y} - \ theta _ {m, n} ^ {y} - \ theta _ {m, n + 1} ^ {x} + \ theta _ {m, n} ^ {x} \ right) \\ & = {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ text { birim hücre}} \ mathbf {A} \ cdot {\ text {d}} \ mathbf {l} = 2 \ pi {\ frac {q} {h}} \ int \ mathbf {B} \ cdot {\ text { d}} \ mathbf {s} = 2 \ pi \ phi _ {m, n} \ end {hizalı}}}$$

   
   ve kafes yoluyla toplam akı ile manyetik akı kuantum olmak Gauss birimi . ${\ textstyle \ Phi = \ Phi _ {0} \ toplamı _ {m, n} \ phi _ {m, n}}$${\ displaystyle \ Phi _ {0} = hc / e}$
2. Plaket başına akı miktarı , bir plaketi çevreleyen tek bir parçacık durumunun birikmiş fazıyla ilgilidir : ${\ displaystyle \ phi _ {mn}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = {\ boldsymbol {\ psi}} _ {i, j} | 0 \ rangle}$

$${\ displaystyle {\ begin {align {align}}} \ mathbf {T} _ {y} ^ {\ dagger} \ mathbf {T} _ {x} ^ {\ dagger} \ mathbf {T} _ {y} \ mathbf {T } _ {x} | \ psi \ rangle & = \ mathbf {T} _ {y} ^ {\ hançer} \ mathbf {T} _ {x} ^ {\ dagger} \ mathbf {T} _ {y} | i + 1, j \ rangle e ^ {i \ theta _ {i, j} ^ {x}} = \ mathbf {T} _ {y} ^ {\ dagger} \ mathbf {T} _ {x} ^ { \ hançer} | i + 1, j + 1 \ rangle e ^ {i \ left (\ theta _ {i, j} ^ {x} + \ theta _ {i + 1, j} ^ {y} \ sağ) } \\ & = \ mathbf {T} _ {y} ^ {\ hançer} | i, j + 1 \ rangle e ^ {i \ left (\ theta _ {i, j} ^ {x} + \ theta _ {i + 1, j} ^ {y} - \ theta _ {i, j + 1} ^ {x} \ right)} = | i, j \ rangle e ^ {i \ left (\ theta _ {i, j} ^ {x} + \ theta _ {i + 1, j} ^ {y} - \ theta _ {i, j + 1} ^ {x} - \ theta _ {i, j} ^ {y} \ sağ)} = | i, j \ rangle e ^ {i2 \ pi \ phi _ {m, n}}. \ end {hizalı}}}$$

Meşrulaştırma

Burada Peierls ikamesinin üç türevini veriyoruz, her biri farklı bir kuantum mekaniği teorisi formülasyonuna dayanıyor.

Aksiyomatik yaklaşım

Burada, The Feynman Lectures'e (Cilt III, Bölüm 21) dayanan Peierls ikamesinin basit bir türevini veriyoruz. Bu türetme, manyetik alanların sekme terimlerine bir faz ekleyerek sıkı bağlanma modeline dahil edildiğini ve bunun sürekli Hamiltoniyen ile tutarlı olduğunu gösterir. Dolayısıyla, başlangıç ​​noktamız Hofstadter Hamiltonian'dır :

$${\ displaystyle H_ {0} = \ sum _ {m, n} {\ bigg (} -te ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {x}} \ vert m \! + \! a, n \ rangle \ langle m, n \ vert -te ^ {i \ theta _ {m, n} ^ {y}} \ vert m, n \! + \! a \ rangle \ langle m, n \ vert - \ epsilon _ {0} \ vert m, n \ rangle \ langle m, n \ vert {\ bigg)} + {\ text {hc}}.}$$

Çeviri operatörü , kendi üreteci, yani momentum operatörü kullanılarak açıkça yazılabilir. Bu temsil altında, onu ikinci düzeye kadar genişletmek kolaydır, ${\ displaystyle \ vert m + 1 \ rangle \ langle m \ vert}$

$${\ displaystyle \ vert m \! + \! a \ rangle \ langle m \ vert = \ exp {{\ bigg (} \! - \! {\ frac {i \ mathbf {p} _ {x} a} { \ hbar}} {\ bigg)}} \ vert m \ rangle \ langle m \ vert = \ left (1 - {\ frac {i \ mathbf {p} _ {x}} {\ hbar}} a - {\ frac {\ mathbf {p} _ {x} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} a ^ {2} + {\ mathcal {O}} (a ^ {3}) \ sağ) \ dikey m \ rangle \ langle m \ vert}$$

ve bir 2D kafeste . Daha sonra, vektör potansiyelinin bir kafes aralığı boyunca önemli ölçüde değişmediğini varsayarak (küçük olduğu kabul edilir) ikinci dereceye kadar faz faktörlerini genişletiyoruz. ${\ displaystyle \ vert m \! + \! a \ rangle \ langle m \ vert \ longrightarrow \ vert m \! + \! a, n \ rangle \ langle m, n \ vert}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {i \ theta} & = 1 + i \ theta - {\ frac {1} {2}} \ theta ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ theta ^ {3}), \\\ theta & \ yaklaşık {\ frac {aqA_ {x}} {\ hbar}}, \\ e ^ {i \ theta} & = 1 + {\ frac {iaqA_ {x} } {\ hbar}} - {\ frac {a ^ {2} q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} + {\ mathcal {O}} (a ^ {3}). \ End {hizalı}}}$$

Bu genişlemeleri Hamilton veriminin ilgili kısmıyla ikame etmek

$${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {i \ theta} \ vert m + a \ rangle \ langle m \ vert + e ^ {- i \ theta} \ vert m \ rangle \ langle m + a \ vert & = {\ bigg (} 1 + {\ frac {iaqA_ {x}} {\ hbar}} - {\ frac {a ^ {2} q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} + {\ mathcal {O}} (a ^ {3}) {\ bigg)} {\ bigg (} 1 - {\ frac {i \ mathbf {p} _ {x}} {\ hbar}} a - {\ frac {\ mathbf {p} _ {x} ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} a ^ {2} + {\ mathcal {O}} (a ^ { 3}) {\ bigg)} \ vert m \ rangle \ langle m \ vert + {\ text {hc}} \\ & = {\ bigg (} 2 - {\ frac {\ mathbf {p} _ {x} ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} a ^ {2} + {\ frac {q \ lbrace \ mathbf {p} _ {x}, A_ {x} \ rbrace} {\ hbar ^ {2 }}} a ^ {2} - {\ frac {q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} a ^ {2} + {\ mathcal {O}} ( a ^ {3}) {\ bigg)} \ vert m \ rangle \ langle m \ vert \\ & = {\ bigg (} - {\ frac {a ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ big (} \ mathbf {p} _ {x} -qA_ {x} {\ big)} ^ {2} +2 + {\ mathcal {O}} (a ^ {3}) {\ bigg)} \ vert m \ rangle \ langle m \ vert. \ end {hizalı}}}$$

Son sonucu 2D vakasına genelleyerek, süreklilik sınırında Hofstadter Hamiltonian'a ulaşıyoruz:

${\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {1} {2m}} {\ big (} \ mathbf {p} -q \ mathbf {A} {\ big)} ^ {2} + {\ tilde {\ epsilon _ {0}}}}$

etkili kütle nerede ve . ${\ displaystyle m = \ hbar ^ {2} / 2ta ^ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ epsilon}} _ {0} = \ epsilon _ {0} -4}$

Yarı klasik yaklaşım

Burada Peierls faz faktörünün , Lagrangian'da ortaya çıkan dinamik terim nedeniyle manyetik bir alandaki bir elektronun yayıcısından kaynaklandığını gösteriyoruz . Gelen yol integrali formalizminin klasik mekanik eylem prensibi genelleştirilmiş, sitesinden geçiş genlik zamanda siteye anda verilir ${\ displaystyle q \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle t_ {j}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t_ {i}}$

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} _ {i}, t_ {i} | \ mathbf {r} _ {j}, t_ {j} \ rangle = \ int _ {\ mathbf {r} (t_ {i })} ^ {\ mathbf {r} (t_ {j})} {\ mathcal {D}} [\ mathbf {r} (t)] e ^ {{\ frac {\ rm {i}} {\ hbar }} {\ mathcal {S}} (\ mathbf {r})},}$$

Entegrasyon işletme, tüm olası yolları üzerinden toplamı anlamına gelmektedir için ve klasik bir eylem bağımsız değişken olarak bir yörünge alır, bir işlevsel. Bitiş noktaları olan bir yörüngeyi belirtmek için kullanırız . Sistemin Lagrangian'ı şu şekilde yazılabilir: ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {r} (t_ {i})} ^ {\ mathbf {r} (t_ {j})} {\ mathcal {D}} [\ mathbf {r} (t)] }$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t_ {i})}$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t_ {j})}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {r} _ {ij}] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {j}} L [\ mathbf {r} (t), { \ nokta {\ mathbf {r}}} (t), t] \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {ij}}$${\ displaystyle r (t_ {i}), r (t_ {j})}$

$${\ displaystyle L = L ^ {(0)} + q \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A},}$$

Manyetik alanın yokluğunda Lagrangian nerede . İlgili eylem okur ${\ displaystyle L ^ {(0)}}$

$${\ displaystyle S [\ mathbf {r} _ {ij}] = S ^ {(0)} [\ mathbf {r} _ {ij}] + q \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {j }} dt \ left ({\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {r}} {{\ text {d}} t}} \ sağ) \ cdot \ mathbf {A} = S ^ {(0 )} [\ mathbf {r} _ {ij}] + q \ int _ {\ mathbf {r} _ {ij}} \ mathbf {A} \ cdot {\ text {d}} \ mathbf {r}}$$

Şimdi, yalnızca bir yolun güçlü bir şekilde katkıda bulunduğunu varsayarsak,

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {r} _ {i}, t_ {i} | \ mathbf {r} _ {j}, t_ {j} \ rangle = e ^ {{\ frac {iq} {\ hbar} } \ int _ {\ mathbf {r} _ {c}} \ mathbf {A} \ cdot {\ text {d}} \ mathbf {r}} \ int _ {\ mathbf {r} (t_ {i}) } ^ {\ mathbf {r} (t_ {j})} {\ mathcal {D}} [\ mathbf {r} (t)] e ^ {{\ frac {\ rm {i}} {\ hbar}} {\ mathcal {S}} ^ {(0)} [\ mathbf {r}]}}$$

Dolayısıyla, bir manyetik alana maruz kalan bir elektronun geçiş genliği, bir manyetik alan ve bir fazın olmadığı durumdur.

Bir türetme

Hamiltoniyen tarafından verilir

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}} + U \ sol (\ mathbf {r} \ sağ),}$$

kristal kafes nedeniyle potansiyel manzara nerede . Bloch teoremi, sorunun çözümünün Bloch toplamı biçiminde aranacağını ileri sürer. ${\ Displaystyle U \ sol (\ mathbf {r} \ sağ)}$${\ displaystyle H \ Psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = E \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) \ Psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r} )}$

$${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {R}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ phi _ {\ mathbf {R}} \ left (\ mathbf {r} \ sağ),}$$

birim hücrelerin sayısı nerede ve Wannier işlevleri olarak bilinir . Kristal momentumuna bağlı olarak bantlar oluşturan karşılık gelen özdeğerler , matris elemanı hesaplanarak elde edilir. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}}}$${\ displaystyle E \ sol (\ mathbf {k} \ sağ)}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

$${\ displaystyle E \ sol (\ mathbf {k} \ sağ) = \ int d \ mathbf {r} \ \ Psi _ {\ mathbf {k}} ^ {*} (\ mathbf {r}) H \ Psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {R} \ mathbf {R} ^ {\ prime}} e ^ {i \ mathbf {k} \ left (\ mathbf {R} ^ {\ prime} - \ mathbf {R} \ right)} \ int d \ mathbf {r} \ \ phi _ {\ mathbf {R}} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) H \ phi _ {\ mathbf {R} ^ {\ prime}} \ left (\ mathbf {r} \ sağ)}$$

ve nihayetinde malzemeye bağlı atlama integrallerine bağlıdır

$${\ displaystyle t_ {12} = - \ int d \ mathbf {r} \ \ phi _ {\ mathbf {R} _ {1}} ^ {*} \ sol (\ mathbf {r} \ sağ) H \ phi _ {\ mathbf {R} _ {2}} \ left (\ mathbf {r} \ sağ).}$$

Manyetik alanın mevcudiyetinde Hamiltoniyen şu şekilde değişir:

$${\ displaystyle {\ tilde {H}} (t) = {\ frac {\ sol (\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} (t) \ sağ) ^ {2}} {2m}} + U \ sol (\ mathbf {r} \ sağ),}$$

parçacığın yükü nerede ? Bunu düzeltmek için, Wannier işlevlerini şu şekilde değiştirmeyi düşünün: ${\ displaystyle q}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ mathbf {r}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r} ', t) \ cdot dr'} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf { r}), \ end {hizalı}}}$$

nerede . Bu, yeni Bloch dalgası işlevlerini ${\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} \ equiv {\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {A} \ ila 0)}$

$${\ displaystyle {\ tilde {\ Psi}} _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {R} } e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} {\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}),}$$

zaman zaman tam Hamiltoniyen'in özdurumlarına , öncekiyle aynı enerjiye. Bunu görmek için önce yazmak için kullanıyoruz ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = -i \ hbar \ nabla}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {H}} (t) {{\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r})} & = \ sol [{ \ frac {(\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)) ^ {2}} {2m}} + U (\ mathbf {r}) \ sağ] e ^ { i {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ mathbf {r}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r} ', t) \ cdot d \ mathbf {r} '} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) \\ & = e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ mathbf {R} } ^ {\ mathbf {r}} A (\ mathbf {r} ', t) \ cdot d \ mathbf {r}'} \ left [{\ frac {(\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) + q \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)) ^ {2}} {2m}} + U (\ mathbf {r}) \ sağ] \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) \\ & = e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ mathbf {r} } A (\ mathbf {r} ', t) \ cdot d \ mathbf {r}'} H \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}). \ End {hizalı}}}$$

Daha sonra, yarı-dengede sekme integralini hesapladığımızda (vektör potansiyelinin yavaşça değiştiğini varsayarak)

$${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {t}} _ {\ mathbf {R} \ mathbf {R} '} (t) & = - \ int d \ mathbf {r} \ {\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) {\ tilde {H}} (t) {\ tilde {\ phi}} _ {\ mathbf {R} '} (\ mathbf {r }) \\ & = - \ int d \ mathbf {r} \ \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ sol [- \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ mathbf {r}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r} ', t) \ cdot d \ mathbf {r}' + \ int _ {\ mathbf {R} '} ^ {\ mathbf {r}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r}', t) \ cdot d \ mathbf {r} '\ right]} H \ phi _ {\ mathbf { R} '} (\ mathbf {r}) \\ & = - e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ int _ {\ mathbf {R}'} ^ {\ mathbf {R}} \ mathbf {A} (\ mathbf {r} ', t) \ cdot d \ mathbf {r}'} \ int d \ mathbf {r} \ \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r} ) e ^ {i {\ frac {q} {\ hbar}} \ Phi _ {\ mathbf {R} ', \ mathbf {r}, \ mathbf {R}}} H \ phi _ {\ mathbf {R} '} (\ mathbf {r}), \ end {hizalı}}}$$

Tanımladığımız yerde , üç konum argümanı tarafından yapılan üçgenin içinden akı. Kafes ölçeğinde (Wannier durumlarının konumlara yerelleştirildiği ölçek) yaklaşık olarak tekdüze olduğunu varsaydığımız için , istenen sonucu vererek yaklaştırabiliriz , ${\ displaystyle \ Phi _ {\ mathbf {R} ', \ mathbf {r}, \ mathbf {R}} = \ oint _ {\ mathbf {R}' \ - \ mathbf {r} \ - \ mathbf {R } \ - \ mathbf {R} '} \ mathbf {A} (\ mathbf {r}', t) \ cdot d \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ mathbf {R}, \ mathbf {r}, \ mathbf {R} '} \ yaklaşık 0}$

Bu nedenle, Peierls faz faktörü olarak adlandırılan, alınan faz faktöründen ayrı olarak, matris elemanları manyetik alanın olmadığı durumdakiyle aynıdır. Bu son derece kullanışlıdır, çünkü o zaman manyetik alan değerinden bağımsız olarak aynı malzeme parametrelerini kullanırız ve ilgili faz hesaplama açısından hesaba katılması önemsizdir. Elektronlar için ( ), sekme terimini şununla değiştirmek anlamına gelir: ${\ displaystyle q = -e}$${\ displaystyle t_ {ij}}$${\ displaystyle t_ {ij} e ^ {- i {\ frac {e} {\ hbar}} \ int _ {i} ^ {j} \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {l}}}$

Referanslar