Ağırlıklı ortalama çekiş operatörü sipariş - Ordered weighted averaging aggregation operator

Spesifik olarak - Uygulamalı matematik olarak bulanık mantık - sipariş ağırlıklı ortalama (OWA) operatörleri bir temin parametreli ortalama tip agregasyon operatörlerin sınıfı. Onlar tarafından tanıtıldı Ronald R. Yager'in . Böyle max, gibi pek çok kayda değer ortalama operatörler aritmetik ortalamasının , ortanca ve min, bu sınıfın üyeleridir. Çıktıkları kullanılmıştır hesaplamalı istihbarat çünkü dilsel ifade toplama talimatı modellemek için yeteneklerini.

Tanım

Resmen bir OWA boyutun operatör bir eşleme olan ağırlıkların ilişkili bir koleksiyona sahiptir birim aralığında yatan ve birine ve birlikte toplanmasıyla ${\ Displaystyle \ n}$${\ Displaystyle F: R_ {n} \ rightarrow R}$${\ Displaystyle \ W = [W_ {1}, \ ldots, W_ {n}]}$

${\ Displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} W_ {j} b_ {j}}$

nerede olduğunu j ^inci büyük . ${\ Displaystyle b_ {j}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$

Farklı seçerek W biri farklı toplama operatörleri uygulayabilir. OWA operatör belirleme işleminin bir sonucu olarak, lineer olmayan bir operatördür b _j .

Özellikleri

OWA operatörü ortalama operatörüdür. Bu edilir sınırlanan , tekdüze , simetrik ve İdempotent aşağıda tanımlandığı gibi.

Sınırlı	${\ Displaystyle \ dak (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) \ leq F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) \ leq \ maks (a_ {1}, \ ldots, a- {n})}$
monoton	${\ Displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) \ geq F (G_ {1}, \ ldots, G_ {n})}$eğer için${\ Displaystyle a_ {I} \ geq G_ {i}}$${\ Displaystyle \ i = 1,2, \ ldots, n}$
Simetrik	${\ Displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = F (a _ {\ boldsymbol {\ pi (1)}} \ ldots bir _ {\ boldsymbol {\ pi (n)}}) }$eğer bir permütasyon haritasıdır ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ pi}}}$
İdempotent	${\ Displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = a}$ düştüm ${\ Displaystyle \ a_ {I} = a}$

Önemli OWA operatörleri

${\ Displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = \ maks (a_ {1}, \ ldots, a-{n})}$eğer ve için${\ Displaystyle \ W_ {1} = 1}$${\ Displaystyle \ W_ {j} = 0}$${\ Displaystyle j \ neq 1}$

${\ Displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = \ dak (a_ {1}, \ ldots, a-{n})}$eğer ve için${\ Displaystyle \ W_ {n} = 1}$${\ Displaystyle \ W_ {j} = 0}$${\ Displaystyle j \ neq n}$

${\ Displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a-{n}) = \ mathrm {ortalama} (a_ {1}, \ ldots, a-{n})}$eğer herkes için${\ Displaystyle \ W_ {j} = {\ frac {1} {n}}}$${\ De displaystyle j \ [1, n]}$

karakterize edici özellikler

İki özellik OWA operatörleri karakterize etmek kullanılmıştır. İlk tutumsal karakteri (orness) 'dir.

Bu gibi tanımlanmıştır

${\ Displaystyle ac (W) = {\ frac {1} {n-1}} \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} (nj) W_ {j}}.$

O bilinmektedir . ${\ Displaystyle ac (W) \ içinde [0,1]}$

Buna ek olarak , A  -  C (maksimum) = 1, A - C (ave) = A - C (MED) = 0.5 ve A - C (dak) = 0 Dolayısıyla A - biz gitmek gibi Cı-0 1'den gider Min toplama için Maks. Tutum karakteri toplama VEYA işlemi benzerliğini karakterize (TD Max olarak tanımlanmaktadır).

İkinci özellik dispersiyonudur. Bu gibi tanımlanmıştır

${\ Displaystyle H (W) = -. \ Toplamı _ {j = 1} ^ {n} W_ {j} \ ln (W_ {j})}$

Alternatif bir tanımı dispersiyon bağımsız değişkenler nasıl kullanıldığını eşit karakterize Ae ${\ Displaystyle e (W) = \ toplamı _ {j = 1} ^ {n} W_ {j} ^ {2}}.$

Bir literatür taraması: OWA (1988-2014)

OWA alanında, ilk OWA kağıt yayınlanmasından beri ortaya çıkan bilgi birikiminin baskın yönünün belirlenmesi bilimsel gelişmenin tarihsel rekonstrüksiyon ve araştırmanın en aktif hatları keşfetmek için yakın zamanda yayımlanmıştır (bkz: http: //onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/int.21673/full ). Beklenmedik sonuçlar Yager kağıt [1] (IEEE Trans. Sistemleri Erkek Cybernet, 18 (1), 1988 183-190) en etkili kağıt ve OWA'yı kullanan tüm diğer araştırmaların bir başlangıç noktası olduğu, göstermektedir. Katkılarından başlayarak araştırmanın diğer hatlar geliştirdi ve onları açıklar. OWA'DA yayınlanan bildiri tam liste de mevcuttur http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/int.21673/full )

Tip-1 OWA toplama operatörleri

Yager OWA operatörleri yukarıda gevrek değerlerini toplamak için kullanılır. Biz OWA mekanizmasında bulanık kümeleri bir araya miyim? Tip-1 OWA operatörleri bu amaçla önerilmiştir. Yani tip-1 OWA operatörleri doğrudan bu belirsiz nesneler bulanık kümeler tarafından modellenir yumuşak karar verme ve veri madenciliği, OWA mekanizması yoluyla belirsiz ağırlıklarla belirsiz bilgileri bir araya için yeni bir teknikle bize sağlar.

Tip-1 OWA operatör aşağıdaki gibi bulanık kümelerin alfa kesimler göre tanımlanır:

Verilen n dil ağırlıkları söylem etki tanımlanan bulanık kümeler şeklinde daha sonra her biri için, bir ile -seviye tip-1 OWA operatör -seviye ayarlar toplamak için bulanık kümelerin -cuts olarak verilmiştir ${\ Displaystyle \ \ {{W ^ {i}} \ doğru \} _ {ı = 1} ^ {n} sol}$${\ Displaystyle U = [0, \; \ 1;]}$${\ Displaystyle \ a \ içinde [0, \ 1;]}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ ^ {i}} \ doğru \} _ {ı = 1} ^ {n}} \ {{W _ {\ alfa sol}$${\ Displaystyle \ a}$${\ Displaystyle \ \ {{A ^ {i}} \ doğru \} _ {ı = 1} ^ {n} sol}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ ldots A _ {\ a} ^ {n}} \ sağ) = \ sol \ {{{\ frac { \ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i} a _ {\ sigma, (i)}}} {\ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i}} }} \ sol | W {W_ {i} \ _ {\ a} ^ {ı}, \;. A _ {\ a} ^ {ı}, \ içinde a_ {i}} \ doğru \; i = 1, \ ldots, n} \ sağda \}}$

nerede ve bir permütasyon fonksiyonu böyle olduğunu , yani, bir sette inci en büyük eleman . ${\ Displaystyle W _ {\ a} ^ {ı} = \ {w | \ u _ {W_ {i}} (a) \ geq \ a \}, bir _ {\ a} ^ {ı} = \ {x | \ u _ {A_ {i}} (x) \ geq \ a \}}$${\ Displaystyle \ sigma: \ {\; 1, \ ldots, n \, \} \: \ {\ olarak; 1, \ ldots, n \, \}}$${\ Displaystyle bir _ {\ Sigma, (i)} \ geq bir _ {\ Sigma, (i + 1)}, \; \ \ forall'dır; i = 1, \ ldots, n-1}$${\ Displaystyle bir _ {\ Sigma, (i)}}$${\ Displaystyle ı}$${\ Displaystyle \ \ {{a_ {1}, \ ldots sol, a-{n}} \ doğru \}}$

Hesaplama tip-1 OWA çıkış aralıklarının sol uç noktaları ve sağ uç noktaları hesaplanmasıyla uygulanır : ve burada . Ardından toplanma bulanık kümesini çıkan üyelik fonksiyonudur: ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ ldots A _ {\ a} ^ {n}} \ sağ)}$${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ ldots A _ {\ a} ^ {n}} \ doğru) = {-}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ ldots A _ {\ a} ^ {n}} \ doğru) = {+},}$${\ Displaystyle bir _ {\ a} ^ {ı} = [A _ {\ a -} ^ {ı}, bir _ {\ a +} ^ {ı}], W _ {\ a} ^ {ı} = [W_ { \ a -} ^ {ı}, W _ {\ a +} ^ {ı}]}$

${\ Displaystyle \ u _ {G} (x) = \ mathop {\ v} _ {\ a: X \ in \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ cdots A _ {\ a} ^ {n}} \ doğru) = {\ a}} \ a}$

sol uç noktaları için, aşağıdaki programlama sorunu çözmek gerekir:

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ cdots A _ {\ a} ^ {n}} \ doğru) = {-} = \ \ sınırlar dk _ {\ başlar {dizi} {l} W _ {\ a -} ^ {ı} \ leq W_ {i} \ leq W _ {\ a +} ^ {ı} bir _ {\ a -} ^ {ı} \ leq a_ {i} \ leq bir _ {\ a +} ^ {ı} \ ucu {dizi}} \ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i} a _ {\ sigma, (i)} / \ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i}}}}$

Sağ uç noktaları için ise, aşağıdaki programlama sorunu çözmek gerekir:

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ a} \ sol ({A _ {\ a} ^ {1}, \ cdots A _ {\ a} ^ {n}} \ doğru) = {+} = maks \ sınırları \ _ {\ başlar {dizi} {l} W _ {\ a -} ^ {ı} \ leq W_ {i} \ leq W _ {\ a +} ^ {ı} bir _ {\ a -} ^ {ı} \ leq a_ {i} \ leq bir _ {\ a +} ^ {ı} \ ucu {dizi}} \ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i} a _ {\ sigma, (i)} / \ toplamı \ sınırlar _ {i = 1} ^ {n} {W_ {i}}}}$

Bu çalışma, tip-1 OWA agregasyon işlemi etkin bir şekilde gerçekleştirilebilir, böylece iki programlama sorunu çözmek için hızlı bir yöntem sunmuştur.

Referanslar

• Yager, RR, Systems IEEE Transactions "olarak, çoklu kriterler karar vermede ağırlıklı ortalama çekiş operatörleri sıralı", Adam ve Cybernetics 18, 183-190, 1988'de tarif edilmiştir.
• Yager, RR ve Kacprzyk, J. Sıralı ağırlıklı ortalamalı Operatörler: Teori ve Uygulamalar , Kluwer: Norwell, MA., 1997
• Liu, X, "minimaks eşitsizlik ve OWA operatörler için minimum varyans sorunlarının çözümü denkliği," Yaklaşık Reasoning 45 International Journal, 68-81, 2007.
• Emrouznejad (2009), SAS / OWA: SAS optimizasyonu ağırlıklı ortalamasını sipariş Esnek Hesaplama : [1]
• Emrouznejad, A. ve M. Marra (2014), Ağırlıklı Ortalama alma operatörleri 1988-2014 Sıralı: Bir alıntı tabanlı literatür araştırması, Akıllı Sistemlerin Uluslararası Journal, 29: 994-1014 & http://onlinelibrary.wiley.com/store /10.1002/int.21673/asset/supinfo/int21673-sup-0001-SupMat.docx?v=1&s=c0d8bdd220a31c876eb5885521cfa16d191f334d .
• Torra, V. ve Narukawa, Y., Modelleme Kararlar: Bilgi Füzyon ve Toplama Operatörler, Springer: Berlin 2007.
• Majlender P., "maksimal Rényi entropi ile OWA operatörleri," Bulanık Kümeler ve Sistemler 155, 340-360, 2005.
• Szekely, GJ ve Buczolich, Z., "zaman sıralı örnek elemanlarının yer parametresinin maksimum olabilirlik tahmin bir ağırlıklı ortalama mi?" Applied Mathematics 10, 1989, 439-456 Advances in.
• S.-M. F. Chiclana, RI John ve JM Garibaldi, "Tip-1, Tip-2 dilsel Nicelik tarafından uyarılan belirsiz ağırlıklarla belirsiz toplanan bilginin bir araya OWA operatörleri" Bulanık Kümeler ve Sistemler, Vol.159, No.24, s. 3281 Zhou -3296 2008 [2]
• S.-M. Zhou F. Chiclana, RI John ve JM Garibaldi, "Alfa düzey toplama: Meme kanseri tedavilere uygulamalarla belirsiz toplanan bilginin bir araya OWA operasyonu-1 yazmak için pratik bir yaklaşım," Bilgi IEEE İşlemleri ve Veri Mühendisliği, cilt. 23 no.10, 2011, s. 1455-1468. [3]
• S.-M. Akıllı Sistemler International Journal, vol "yumuşak karar verme, tip-2 OWA operatörleri tarafından belirsiz bilgileri bir araya Üzerine" Zhou RI John F. Chiclana ve JM Garibaldi. 25, No.6, s. 540-558, 2010. [4]