Operatör cebiri - Operator algebra

Olarak fonksiyonel analiz , bir dalı matematik , bir operatör cebri bir bir cebri bir sürekli doğrusal operatörleri bir ilgili topolojik vektör alanı ile verilen çarpma ile, dönüşümlerin bileşim .

Operatör cebirlerinin çalışmasında elde edilen sonuçlar cebirsel terimlerle ifade edilirken, kullanılan teknikler oldukça analitiktir . Operatör cebir çalışmaları genellikle fonksiyonel analizin bir dalı olarak sınıflandırılsa da, temsil teorisi , diferansiyel geometri , kuantum istatistiksel mekaniği , kuantum bilgisi ve kuantum alan teorisine doğrudan uygulamaları vardır .

genel bakış

Operatör cebirleri, aynı anda küçük cebirsel ilişkilere sahip isteğe bağlı operatör kümelerini incelemek için kullanılabilir . Bu bakış açısından, operatör cebirleri, tek bir operatörün spektral teorisinin bir genellemesi olarak kabul edilebilir . Genel olarak operatör cebirleri değişmeli olmayan halkalardır .

Bir operatör cebirinin tipik olarak , sürekli lineer operatörlerin tüm cebiri içinde belirli bir operatör topolojisinde kapatılması gerekir . Özellikle, hem cebirsel hem de topolojik kapatma özelliklerine sahip bir operatörler kümesidir. Bazı disiplinlerde bu tür özellikler aksiyomlaştırılmakta ve belirli topolojik yapıya sahip cebirler araştırmanın konusu olmaktadır.

Operatörlerin cebirleri çeşitli bağlamlarda çalışılsa da (örneğin, dağılım uzayları üzerinde etkili olan sözde diferansiyel operatörlerin cebirleri ), operatör cebiri terimi genellikle bir Banach uzayındaki sınırlı operatörlerin cebirlerine atıfta bulunmak için kullanılır . Operatör norm topolojisine sahip, ayrılabilir bir Hilbert uzayındaki operatörlerin cebirlerine referans .

Hilbert uzayındaki operatörler söz konusu olduğunda, operatörler üzerindeki Hermitian birleşik haritası , cebire yüklenebilecek ek bir cebirsel yapı sağlayan doğal bir involüsyon verir . Bu bağlamda, en iyi çalışılan örnekler, öz-eşlenik operatör cebirleridir, yani bunlar, eşlemeler altında kapalıdır. Bunlara C*-cebirleri , von Neumann cebirleri ve AW*-cebirleri dahildir . C*-cebirleri, norm, involüsyon ve çarpma ile ilgili bir koşulla soyut olarak kolayca karakterize edilebilir. Bu tür soyut olarak tanımlanmış C*-cebirleri, uygun bir Hilbert uzayı üzerinde sürekli lineer operatörlerin cebirinin belirli bir kapalı alt cebiriyle tanımlanabilir . Benzer bir sonuç von Neumann cebirleri için de geçerlidir.

Değişmeli özeslenik'tir cebiri ait cebir olarak görülebilir karmaşık bir üzerinde -valued sürekli fonksiyonların yerel kompakt uzay veya bu ölçülebilir fonksiyonlar bir üzerinde standart ölçülebilir uzay . Bu nedenle, genel operatör cebirleri genellikle bu cebirlerin değişmeli olmayan genellemeleri veya fonksiyonların tanımlandığı temel uzayın yapısı olarak kabul edilir . Bu bakış açısı, çeşitli klasik olmayan ve/veya patolojik nesneleri değişmeli olmayan operatör cebirleriyle incelemeye çalışan değişmeli olmayan geometri felsefesi olarak detaylandırılmıştır .

Kendinden birleşik olmayan operatör cebir örnekleri şunları içerir:

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

  • Blackadar, Bruce (2005). Operatör Cebirleri: C*-Cebirleri Teorisi ve von Neumann Cebirleri . Matematik Bilimleri Ansiklopedisi. Springer-Verlag . ISBN'si 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, Operatör Cebirleri Teorisi I , Springer, 2001.