Yassı küresel koordinatlar - Oblate spheroidal coordinates

Şekil 1: Yassı küresel koordinatlarda ( μ ,  ν ,  φ ) bir P noktası için (siyah bir küre olarak gösterilen) koordinat eşyüzeyleri  . Z -Axis dikeydir ve odaklar ± 2 altındadır. Kırmızı basık küre (düzleştirilmiş küre) μ  = 1'e karşılık gelirken mavi yarı hiperboloid ν  = 45°'ye karşılık gelir . Azimut φ  = -60° , yeşil x - z yarım düzlemi ile P noktasını içeren sarı yarım düzlem  arasındaki dihedral açıyı ölçer . Kartezyen koordinatlar arasında P (1.09, -1.89, 1.66) kabaca.

Oblate küresel koordinatlar , iki boyutlu eliptik koordinat sisteminin elipsin odak olmayan ekseni, yani odakları ayıran simetri ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen üç boyutlu bir ortogonal koordinat sistemidir . Böylece iki odak , x - y düzleminde bir yarıçap halkasına dönüştürülür . (Döndürme diğer eksen etrafında üreten yayvan küresel koordinatlar ). Kutupları basık küresel koordinatlar da kabul edilebilir sınır bir durumda bir elipsoidal koordinatlarda iki büyük olan yarı eksen uzunluğu birbirine eşittir. ${\görüntüleme stili bir}$

Yassı küresel koordinatlar , sınır koşulları bir yassı sferoid veya bir hiperboloit devir üzerinde tanımlandığında, kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde genellikle yararlıdır . Örneğin, hesaplanmasında önemli bir rol oynadığı Perrin sürtünme faktörleri 1926 verilmesi katkıda Fizik Nobel için Jean Baptiste Perrin . Bu sürtünme faktörleri , protein NMR gibi birçok tekniğin uygulanabilirliğini etkileyen ve moleküllerin hidrodinamik hacmi ve şeklinin çıkarılabileceği moleküllerin rotasyonel difüzyonunu belirler . Yassı küresel koordinatlar, elektromanyetizma (örneğin, yüklü yassı moleküllerin dielektrik sabiti), akustik (örneğin, dairesel bir delikten sesin saçılması), akışkan dinamiği (örneğin, bir yangın hortumu memesinden su akışı) ve malzemelerin ve ısının difüzyonu (örneğin, bir su banyosunda kızgın bir madeni paranın soğutulması)

Tanım (µ,ν,φ)

Şekil 2: x - z düzleminde basık küresel koordinatlar μ ve ν'nin grafiği , burada φ sıfır ve a eşittir bir. Sabit μ eğrileri kırmızı elipsler oluştururken, sabit ν eğrileri bu düzlemde camgöbeği yarı hiperbol oluşturur. Z dikey çalışır -Axis ve odaklar ayırır; z ve ν koordinatları her zaman aynı işarete sahiptir. Üç boyutta sabit μ ve ν yüzeyleri z ekseni etrafında döndürülerek elde edilir ve Şekil 1'de sırasıyla kırmızı ve mavi yüzeylerdir.

Yassı küresel koordinatların en yaygın tanımı şudur: ${\görüntüleme stili (\mu ,\nu ,\varphi )}$

${\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }$

negatif olmayan bir gerçek sayı ve açı nerede . Azimut açısı , tam bir daire üzerinde herhangi bir yere düşebilir . Bu koordinatlar, dejenere olmadıkları için aşağıdaki alternatiflere tercih edilir; koordinat seti, Kartezyen koordinatlarda benzersiz bir noktayı tanımlar . -ekseni ve odak halkasının içindeki düzlemdeki disk dışında bunun tersi de geçerlidir . ${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle \nu \in \sol[-\pi /2,\pi /2\sağ]}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \pm\pi }$${\görüntüleme stili (\mu ,\nu ,\varphi )}$${\görüntüleme stili (x,y,z)}$${\görüntüleme stili z}$${\görüntüleme stili xy}$

koordinat yüzeyleri

Sabit μ yüzeyleri , trigonometrik özdeşliğe göre yassı sferoidler oluşturur

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{ 2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

odaklarını ayıran z ekseni etrafında dönen elipsler oldukları için . x - z düzlemindeki bir elipsin (Şekil 2), x ekseni boyunca a cosh μ uzunluğunda bir ana yarı ekseni vardır, oysa küçük yan ekseninin z ekseni boyunca a sinh μ uzunluğu vardır . Tüm elips odakları X - z üzerinde bulunan düzleme x ± de -Axis bir .

Benzer şekilde, ν sabitinin yüzeyleri , hiperbolik trigonometrik özdeşliğe göre tek yapraklı yarı hiperboloidleri oluşturur .

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{ 2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

Pozitif ν için, yarı hiperboloid x - y düzleminin üzerindedir (yani, pozitif z'ye sahiptir ), oysa negatif ν için, yarı hiperboloid x - y düzleminin altındadır (yani, negatif z'ye sahiptir ). Geometrik olarak, ν açısı hiperbolün asimptotlarının açısına karşılık gelir . Aynı şekilde bulunan tüm Hiperbol odakları x ± de -Axis bir .

ters dönüşüm

(μ, ν, φ) koordinatları Kartezyen koordinatlardan ( x , y , z ) aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Azimut açısı φ formülle verilir

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

P noktasının silindirik yarıçapı ρ şu şekilde verilir:

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$

ve φ ile tanımlanan düzlemdeki odaklara olan uzaklıkları şu şekilde verilir:

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

Kalan koordinatlar μ ve ν denklemlerden hesaplanabilir

${\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}$

${\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}$

burada μ işareti her zaman negatif değildir ve ν işareti z ile aynıdır .

Ters dönüşümü hesaplamak için başka bir yöntem

${\displaystyle \mu =\operatöradı {Re} \operatöradı {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}}$

${\displaystyle \nu =\operatöradı {Im} \operatöradı {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}}$

${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}}$

nerede

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Ölçek faktörleri

μ ve ν koordinatları için ölçek faktörleri eşittir

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

azimut ölçeği faktörü eşittir

${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$

Sonuç olarak, sonsuz küçük hacimli bir eleman eşittir

${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \sağ)d\mu d\nu d \fi }$

ve Laplacian yazılabilir

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\ sol[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\sağ)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\frac} \partial \nu }}\sağ)\sağ]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^ {2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$

ve gibi diğer diferansiyel operatörler , ortogonal koordinatlarda bulunan genel formüllerde ölçek faktörlerini değiştirerek koordinatlarda (μ, ν, φ) ifade edilebilir . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Temel Vektörler

Koordinat sistemi için ortonormal temel vektörler , Kartezyen koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir: ${\görüntüleme stili \mu ,\nu ,\phi }$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\ sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \ mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\sağ)}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(- \cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\sağ)}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}}$

Kartezyen birim vektörler nerede . Burada, sabitin kutupları basık küresel yüzeyine dışa doğru, normal vektör , küresel koordinatlar aynı azimut birim vektör ve kutupları basık bir sferoid yüzeyin teğet düzlem içindedir ve sağ elini kullanan baz grubu tamamlar. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$

Tanım (ζ, ξ, φ)

Başka bir oblate küresel koordinat seti bazen nerede ve kullanılır (Smythe 1968). Sabitin eğrileri yassı sferoidlerdir ve sabitin eğrileri devrin hiperboloidleridir. Koordinat ile sınırlandırılır ve ile sınırlandırılır . ${\görüntüleme stili (\zeta ,\xi ,\phi )}$${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$${\displaystyle \xi =\sin \nu }$${\görüntüleme stili\zeta }$${\görüntüleme stili \xi }$${\görüntüleme stili\zeta }$${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$${\görüntüleme stili \xi }$${\displaystyle -1\leq \xi <1}$

İle ilişkisi Kartezyen koordinatları olan

${\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\zeta\xi }$

Ölçek faktörleri

için ölçek faktörleri şunlardır: ${\görüntüleme stili (\zeta ,\xi ,\phi )}$

${\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}$

${\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}$

${\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}$

Ölçek faktörlerini bilerek, koordinatların çeşitli işlevleri, ortogonal koordinatlar makalesinde belirtilen genel yöntemle hesaplanabilir . Sonsuz hacim öğesi:

${\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }$

Gradyan:

${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\kısmi V}{\kısmi \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }} }{\frac {\kısmi V}{\kısmi \phi }}\,{\hat {\phi }}}$

Ayrılık şudur:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{ \partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\sağ) +{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}} }F_{\xi }\sağ)\sağ\}+{\frac {1}{{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}} }{\frac {\kısmi F_{\phi }}{\kısmi \phi }}}$

ve Laplacian eşittir

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\ frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\sağ]+{\ frac {\partial }{\partial \xi }}\sol[\left(1-\xi ^{2}\sağ){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\sağ]\sağ\ }+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$

Oblate küresel harmonikler

Ayrıca bkz. Oblate küresel dalga fonksiyonu .

Olduğu gibi küresel koordinatlar ve küresel harmonik , Laplace denklemi ile verilen yöntemle çözülebilir değişkenlerin ayrılması şeklinde çözümler elde etmek için yassı kutuplu sferoidal harmonik sınır koşulları, bir sabit olan bir yüzeyi üzerinde tanımlanmış zaman kullanmak daha uygun olan, oblate küresel koordinat.

Değişkenleri ayırma tekniğini izleyerek Laplace denkleminin bir çözümü yazılır:

${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$

Bu, değişkenlerin her birinde üç ayrı diferansiyel denklem verir:

${\displaystyle {\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\sağ]+{\frac {m^ {2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\xi }}\sol[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\sağ]-{\frac { m^{2}\Xi {1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi }$

burada m bir tam sayı olan bir sabittir çünkü φ değişkeni 2π periyodu ile periyodiktir. n o zaman bir tam sayı olacaktır. Bu denklemlerin çözümü:

${\displaystyle Z_{mn}=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )}$

${\displaystyle \Xi _{mn}=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )}$

${\displaystyle \Phi _{m}=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }}$

burada sabit ve ve edilmektedir Legendre polinomları ilişkili ikinci tür, sırasıyla birinci ve. Üç çözümün ürününe basık küresel harmonik denir ve Laplace denkleminin genel çözümü yazılır: ${\displaystyle A_{i}}$${\ Displaystyle P_{n}^{m}(z)}$${\ Displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$

${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}( \xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$

Sabitler, her harmonik için yalnızca dört bağımsız sabit verecek şekilde birleşecektir.

Tanım (σ, τ, φ)

Şekil 3: Alternatif oblate küresel koordinatlarda (σ, τ, φ) bir P noktası için (siyah bir küre olarak gösterilen) koordinat eşyüzeyleri. Daha önce olduğu gibi, σ'ya karşılık gelen basık küre kırmızı ile gösterilir ve φ, yeşil ve sarı yarım düzlemler arasındaki azimut açısını ölçer. Bununla birlikte, τ sabitinin yüzeyi mavi ile gösterilen tam bir tek yapraklı hiperboloiddir. Bu, ( x , y , ± z ) konumunda bulunan iki siyah küre tarafından gösterilen iki katlı bir dejenerasyon üretir .

Alternatif ve geometrik olarak sezgisel bir oblate küresel koordinatlar seti (σ, τ, φ) bazen kullanılır, burada σ = cosh μ ve τ = cos ν olur. Bu nedenle, σ koordinatı birden büyük veya bire eşit olmalıdır, oysa τ ±1 dahil arasında olmalıdır. σ sabitinin yüzeyleri, sabit μ'ninkiler gibi yassı sferoidlerdir, oysa τ sabitinin eğrileri, ±ν'a karşılık gelen yarı hiperboloidler dahil olmak üzere tam devir hiperboloidleridir. Dolayısıyla bu koordinatlar dejeneredir; iki Kartezyen koordinatlarında noktaları ( x , y , ± z ) eşlemek bir koordinatları (σ, τ, φ) grubu. İşareti olarak bu iki kat dejenere z için yassı kutuplu sferoidal koordinatlardan transforme denklem bellidir Kartezyen koordinatlar

${\displaystyle x=a\sigma \tau \cos\phi }$

${\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi }$

${\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\sağ)\left(1-\tau ^{2}\sağ)}$

Koordinatlar ve odak halkasına olan mesafelerle basit bir ilişkisi vardır. Herhangi bir nokta için, odak halkasına olan uzaklıklarının toplamı eşittir , farkları ise eşittir . Böylece odak halkasına "uzak" uzaklık , "yakın" uzaklık ise . ${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili\tau }$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$${\ Displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$${\ Displaystyle 2a\tau }$${\ Displaystyle a(\sigma +\tau )}$${\görüntüleme stili bir(\sigma -\tau )}$

koordinat yüzeyleri

Muadili μ'ye benzer şekilde, sabit σ yüzeyleri yassı küreseller oluşturur.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2} \left(\sigma ^{2}-1\sağ)}}=1}$

Benzer şekilde, τ sabitinin yüzeyleri tam tek yapraklı hiperboloitler oluşturur .

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2} \left(1-\tau ^{2}\sağ)}}=1}$

Ölçek faktörleri

Alternatif oblate küresel koordinatlar için ölçek faktörleri şunlardır: ${\görüntüleme stili (\sigma ,\tau ,\phi )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

azimut ölçeği faktörü ise . ${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$

Bu nedenle, sonsuz küçük hacimli eleman yazılabilir.

${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\sağ) \left(1-\tau ^{2}\sağ)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

ve Laplacian eşittir

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{ \frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^ {2}-1}}\sağ){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\sağ]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\sağ){\frac {\partial \Phi } {\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2 }\Phi }{\kısmi \phi ^{2}}}}$

ve gibi diğer diferansiyel operatörler , ortogonal koordinatlarda bulunan genel formüllerde ölçek faktörlerinin yerine kullanılmasıyla koordinatlarda ifade edilebilir . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$${\görüntüleme stili (\sigma ,\tau )}$

Olduğu gibi küresel koordinatlar , Laplaces denklem metodu ile çözülebilir değişkenlerin ayrılması şeklinde çözümler elde etmek için yassı kutuplu sferoidal harmonik sınır koşulları sabit oblate bir yüzeyi üzerinde tanımlanmış zaman koordinat küremsi kullanmak daha uygun olan, (Bkz. Smythe, 1968).

Ayrıca bakınız

• Elipsoidal koordinatlar (jeodezi)

Referanslar

bibliyografya

açı kuralı yok

• Mors PM, Feshbach H (1953). Teorik Fizik Yöntemleri, Kısım I . New York: McGraw-Hill. s. 662. ξ ₁ = a sinh μ, ξ ₂ = sin ν ve ξ ₃ = cos φ kullanır.
• Zwillinger D (1992). Entegrasyon El Kitabı . Boston, MA: Jones ve Bartlett. s. 115. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach (1953) ile aynı, u _k yerine ξ _k .
• Smythe, WR (1968). Statik ve Dinamik Elektrik (3. baskı). New York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabo I (1967). Matematiksel Hilfsmittel des Ingenieurs . New York: Springer Verlag. s. 98. LCCN  67025285 . ξ = sinh μ, η = sin ν ve φ hibrit koordinatlarını kullanır.

açı kuralı

• Korn GA, Korn TM (1961). Bilim adamları ve Mühendisler için Matematiksel El Kitabı . New York: McGraw-Hill. s. 177 . LCCN  59014456 . Korn ve Korn (μ, ν, φ) koordinatlarını kullanır, fakat aynı zamanda dejenere (σ, τ, φ) koordinatlarını da sunar.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Fizik ve Kimya Matematiği . New York: D. van Nostrand. s. 182 . LCCN  55010911 . Gibi Korn ve Korn (1961), fakat kullanımları colatitude ν yerine - θ = 90 ° enlemi v'yi.
• Ay PH, Spencer DE (1988). "Yaysal küresel koordinatlar (η, θ, ψ)". Alan Teorisi El Kitabı, Koordinat Sistemlerini, Diferansiyel Denklemleri ve Çözümlerini İçeren (düzeltilmiş 2. baskı, 3. baskı). New York: Springer Verlag. s. 31–34 (Tablo 1.07). ISBN'si 0-387-02732-7. Moon ve Spencer, θ = 90° - ν birliktelik kuralını kullanır ve φ'yi ψ olarak yeniden adlandırır.

Olağandışı kongre

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Sürekli Ortamın Elektrodinamiği ( Teorik Fizik Dersinin 8. Cildi ) (2. baskı). New York: Bergama Basını. s. 19–29. ISBN'si 978-0-7506-2634-7. Yassı küresel koordinatları, genel elipsoidal koordinatların sınırlayıcı bir durumu olarak ele alır . Uzaklık birimlerinin karesi olan (ξ, η, ζ) koordinatlarını kullanır.

Dış bağlantılar

• Yassı küresel koordinatların MathWorld açıklaması