Noether teoremi - Noether's theorem

Emmy Noether'in teoremini ispatladığı "Invariante Variationsprobleme" (1918) makalesinin ilk sayfası .

Noether'in kuramı veya Noether ilk teoremi her belirtiyor differentiable simetri içinde eylem ile fiziksel bir sistemin muhafazakar güçlerin karşılık gelen sahiptir koruma kanunu . Teorem, 1915'te matematikçi Emmy Noether tarafından kanıtlandı ve 1909'da E. Cosserat ve F. Cosserat tarafından özel bir durum kanıtlandıktan sonra 1918'de yayınlandı. Fiziksel bir sistemin eylemi , bir Lagrange fonksiyonunun zaman içindeki integralidir . sistemin davranışı en az eylem ilkesiyle belirlenebilir . Bu teorem yalnızca fiziksel uzay üzerinde sürekli ve düzgün simetriler için geçerlidir .

Noether teoremi teorik fizikte ve varyasyon hesabında kullanılır . Lagrange ve Hamilton mekaniğinde (sırasıyla 1788 ve 1833'te geliştirilmiştir) hareket sabitleri üzerine formüllerin genelleştirilmesi, yalnızca bir Lagrange ile modellenemeyen sistemler için geçerli değildir (örneğin, Rayleigh yayılım fonksiyonuna sahip sistemler ). Özellikle, sürekli simetriye sahip enerji tüketen sistemlerin karşılık gelen bir korunum yasasına sahip olması gerekmez.

Temel çizimler ve arka plan

Bir örnek olarak, eğer bir fiziksel sistem uzayda nasıl yönlendirildiğine bakılmaksızın aynı şekilde davranırsa, Lagrange'ı sürekli dönüşler altında simetriktir: bu simetriden, Noether teoremi , sistemin açısal momentumunun korunmasının bir sonucu olarak sistemin açısal momentumunun korunmasını belirtir. hareket kanunları. Fiziksel sistemin kendisinin simetrik olması gerekmez; uzayda yuvarlanan sivri uçlu bir asteroit, asimetrisine rağmen açısal momentumu korur. Simetrik olan hareket yasalarıdır.

Fiziksel bir süreç olursa olsun yerde veya zamanda aynı sonuçları gösteriyorsa Başka bir örnek olarak, daha sonra Lagrange sırasıyla uzay ve zaman içinde sürekli çeviriler altında simetriktir: Noether teoremi ile bu simetrileri hesaba koruma yasaları arasında doğrusal ivme ve enerji bu dahilinde sırasıyla sistem.

Noether teoremi, hem korunum yasalarına verdiği içgörü nedeniyle hem de pratik bir hesaplama aracı olarak önemlidir. Araştırmacıların, fiziksel bir sistemin gözlenen simetrilerinden korunan nicelikleri (değişmezleri) belirlemesine olanak tanır. Tersine, araştırmacıların, fiziksel bir sistemi tanımlamak için, verilen değişmezlere sahip tüm varsayımsal Lagrange sınıflarını dikkate almalarına izin verir. Örnek olarak, X miktarını koruyan bir fiziksel teorinin önerildiğini varsayalım . Bir araştırmacı, sürekli bir simetri yoluyla X'i koruyan Lagrange türlerini hesaplayabilir . Noether teoremi nedeniyle, bu Lagrangianların özellikleri, sonuçları anlamak ve yeni teorinin uygunluğunu yargılamak için daha fazla kriter sağlar.

Noether teoreminin değişen derecelerde genelliğe sahip sayısız versiyonu vardır. Bu teoremin, Ward-Takahashi özdeşliklerinde ifade edilen doğal kuantum karşılıkları vardır . Noether teoreminin süperuzaylara genellemeleri de mevcuttur.

Teoremin resmi olmayan ifadesi

Tüm ince teknik noktalar bir yana, Noether teoremi gayri resmi olarak ifade edilebilir.

Bir sistemin sürekli simetri özelliği varsa, değerleri zamanla korunan karşılık gelen nicelikler vardır.

Alanları içeren teoremin daha karmaşık bir versiyonu şunları belirtir:

Yerel eylemler tarafından üretilen her türevlenebilir simetriye , korunan bir akım karşılık gelir .

Yukarıdaki ifadedeki "simetri" kelimesi, daha kesin olarak, belirli teknik kriterleri karşılayan tek boyutlu bir Lie grubu dönüşüme göre bir fizik yasasının aldığı formun kovaryansını ifade eder . Koruma kanunu a fiziksel miktarda , genellikle bir ifade edilir süreklilik denklemi .

Teoremin biçimsel kanıtı, korunan bir fiziksel nicelik ile ilişkili bir akım için bir ifade türetmek için değişmezlik koşulunu kullanır. Modern (c. 1980'den beri) terminolojide, korunan miktar Noether yükü olarak adlandırılırken, bu yükü taşıyan akışa Noether akımı denir . Noether akım tanımlandığı kadar bir solenoidal (divergenceless) vektörü alan.

Yerçekimi bağlamında, Felix Klein'ın Noether I eylem teoreminin ifadesi değişmezler için şart koşar:

Tamamlayıcı bir sürekli grubu altında değişmeyen ise G ρ ile ρ parametreler, ρ Lagrange ifadelerin lineer bağımsız kombinasyonları farklılıklar vardır.

Konseptin kısa gösterimi ve genel bakış

Koordinat bazında simetri için Noether teoremini gösteren çizim.

Noether teoreminin arkasındaki ana fikir, tek koordinatlı ve sürekli simetrili bir sistemle (şemadaki gri oklar) en kolay şekilde gösterilebilir . Sistemin hareket yasalarını karşılayan herhangi bir yörüngeyi (şemada koyu renkli) düşünün . Yani, bu sistemi yöneten eylem bu yörünge üzerinde durağandır , yani yörüngenin herhangi bir yerel varyasyonu altında değişmez . Özellikle, simetri akışını bir zaman dilimine [ t 0 , t 1 ] uygulayan ve o segmentin dışında hareketsiz olan bir varyasyon altında değişmez . Yörüngeyi sürekli tutmak için , segmentler arasında kademeli olarak geçiş yapmak için küçük zaman "arabelleğe alma" dönemleri kullanıyoruz .

Aksiyondaki toplam değişiklik artık oyundaki her aralığın getirdiği değişiklikleri içeriyor. Varyasyonun kendisinin ortadan kalktığı parçalar hayır getirir . Orta kısım da eylemi değiştirmez, çünkü dönüşümü bir simetridir ve böylece Lagrange'ı ve eylemi korur . Geriye kalan tek kısım "tamponlama" parçalarıdır. Kabaca konuşursak, çoğunlukla "eğik" oldukları için katkıda bulunurlar .

Bu , ile bütünleşen Lagrange'ı değiştirir .

Bu son terimler, uç noktalarının etrafında değerlendirilir ve eylem toplam değişim yapmak için birbirleriyle iptal etmeliyiz yörünge bir çözüm ise bekleneceği gibi, sıfır. Yani

yani Noether teoreminin sonucu olan miktar korunur. Örneğin , bir sabitin saf ötelemeleri simetri ise, o zaman korunan nicelik , kanonik momentum olur.

Daha genel durumlar aynı fikri takip eder:

  • Daha fazla koordinat bir simetri dönüşümüne maruz kaldığında , etkileri doğrusallık ile korunan bir nicelik olarak toplanır .
  • Zaman dönüşümleri olduğunda , "arabelleğe alma" bölümlerinin aşağıdaki iki terime katkıda bulunmasına neden olurlar :
    birinci terim, "tamponlama" bölümünün (entegrasyon alanının boyutunu değiştiren) zamansal boyutundaki esneme nedeniyledir ve ikincisi, tıpkı örnek durumda olduğu gibi "eğikliğinden" kaynaklanmaktadır. Birlikte korunan miktara bir toplama eklerler .
  • Son olarak, bir yörünge yerine tüm alanlar dikkate alındığında, argüman yerini alır.
    • - etki alanının sınırlı bir bölgesi olan aralık ,
    • uç noktalar ve bölgenin sınırı ile,
    • ve katkısı, korunan bir miktarın önceki tanımına benzer bir şekilde inşa edilen, korunan bir akımın akışı olarak yorumlanır .
    Şimdi, "tamponlama" sıfır katılım için akımının toplam akı ufuk olarak yorumlanır yoluyla . Bu, korunduğu anlamdadır: ne kadar "akıyor", ne kadarı dışarı "akıyor".

Tarihsel bağlam

Bir koruma yasası , bir sistemin evriminin matematiksel açıklamasındaki bir miktar X'in hareketi boyunca sabit kaldığını belirtir - bu bir değişmezdir . Matematiksel olarak, değişim oranı , X (kendi türevi ile ilgili zaman ) sıfır,

Bu tür miktarların korunduğu söylenir; genellikle hareket sabitleri olarak adlandırılırlar (her ne kadar hareketin kendiliğinden dahil edilmesine gerek olmamasına rağmen , sadece zaman içindeki evrim). Örneğin, bir sistemin enerjisi korunuyorsa, enerjisi her zaman değişmezdir, bu da sistemin hareketine bir kısıtlama getirir ve bunun çözümüne yardımcı olabilir. Bu tür hareket sabitlerinin bir sistemin doğasına verdiği kavrayışların yanı sıra, bunlar yararlı bir hesaplama aracıdır; örneğin, uygun korunum yasalarını karşılayan en yakın durum bulunarak yaklaşık bir çözüm düzeltilebilir.

Keşfedilen en eski hareket sabitleri , 17. yüzyılda René Descartes ve Gottfried Leibniz tarafından çarpışma deneyleri temelinde önerilen ve sonraki araştırmacılar tarafından rafine edilen momentum ve kinetik enerjiydi . Isaac Newton , momentumun korunumunu modern biçiminde ilk dile getiren kişiydi ve bunun Newton'un üçüncü yasasının bir sonucu olduğunu gösterdi . Genel göreliliğe göre , doğrusal momentum, enerji ve açısal momentumun korunum yasaları, yalnızca gerilim-enerji tensörünün (yerçekimi olmayan gerilim-enerji) ve Landau-Lifshitz stres-enerjisinin toplamı cinsinden ifade edildiğinde tam olarak küresel olarak doğrudur. –momentum psödotensörü (yerçekimi stresi-enerji). Serbest düşen bir referans çerçevesinde yerçekimi olmayan lineer momentum ve enerjinin yerel korunumu , stres-enerji tensörünün kovaryant diverjansının kaybolması ile ifade edilir . Astronomik cisimlerin gök mekaniği çalışmalarında keşfedilen bir diğer önemli korunan nicelik, Laplace–Runge–Lenz vektörüdür .

18. yüzyılın sonlarında ve 19. yüzyılın başlarında, fizikçiler değişmezleri keşfetmek için daha sistematik yöntemler geliştirdiler. En az etki ilkesiyle ilgili olan Lagrange mekaniğinin gelişmesiyle 1788'de büyük bir ilerleme geldi . Bu yaklaşımda, sistemin durumu herhangi bir genelleştirilmiş koordinat türü q ile tanımlanabilir ; Newton mekaniğinde alışılmış olduğu gibi hareket yasalarının Kartezyen koordinat sisteminde ifade edilmesine gerek yoktur . Aksiyon süresi ayrılmaz bir parçası olarak tanımlanır I olarak bilinen bir fonksiyonun Lagrange L  

fazla nokta burada q koordinatları değişim oranı ifade q ,

Hamilton ilkesi , q ( t ) fiziksel yolunun -sistem tarafından gerçekten alınan yolun- bu yoldaki sonsuz küçük varyasyonların I'de hiçbir değişikliğe neden olmadığı , en azından birinci mertebeye kadar bir yol olduğunu belirtir . Bu ilke, Euler-Lagrange denklemleriyle sonuçlanır ,

Bu nedenle, q k koordinatlarından biri Lagrange'da görünmüyorsa, denklemin sağ tarafı sıfırdır ve sol taraf şunu gerektirir:

momentum nerede

hareket boyunca korunur (fiziksel yolda).

Bu nedenle, yokluğu göz ardı koordinat q k Lagrange'ına gelen Lagrange değişiklikler veya dönüşümleri etkilenmeyen olduğunu ima eder q , k ; Lagrange değişmezdir ve bu tür dönüşümler altında bir simetri sergilediği söylenir . Bu, Noether teoreminde genelleştirilmiş tohum fikridir.

19. yüzyılda, özellikle William Rowan Hamilton tarafından, korunan miktarları bulmak için çeşitli alternatif yöntemler geliştirilmiştir . Örneğin, yukarıdaki gibi bazı koordinatların Lagrange'dan kaybolması ve böylece korunan kanonik momentum ile sonuçlanması için koordinatların değiştirilmesine izin veren bir kanonik dönüşümler teorisi geliştirdi . Başka bir yaklaşım ve belki de korunan miktarları bulmak için en verimli olanı Hamilton-Jacobi denklemidir .

matematiksel ifade

Pertürbasyonları kullanan basit form

Noether teoreminin özü, özetlenen ihmal edilebilir koordinatları genelleştirmektir.

Yukarıda tanımlanan Lagrange L' nin, zaman değişkeni t ve genelleştirilmiş koordinatlar q'nun küçük pertürbasyonları (çarpmaları) altında değişmez olduğu varsayılabilir . biri yazabilir

δt ve δ q pertürbasyonlarının her ikisi de küçük fakat değişkendir. (Diyelim ki) vardır genelliği için, kabul N tür simetri dönüşümleri değişmeden işlem ayrılan eylem, örneğin, dönüşümleri; r  = 1, 2, 3, ...,  N indeksi ile etiketlenir .

Daha sonra elde edilen pertürbasyon, bireysel pertürbasyon türlerinin doğrusal bir toplamı olarak yazılabilir,

burada ε r , her birine karşılık gelen sonsuz küçük parametre katsayılarıdır:

Ötelemeler için, Q r uzunluk birimleriyle bir sabittir ; döndürmeler için, q bileşenlerinde doğrusal bir ifadedir ve parametreler bir açı oluşturur .

Bu tanımları kullanarak Noether , N miktarın

(sahip olan boyutları muhafaza edilir ([enerjisi] · [saat] + [ivme] · [uzunluk] = [eylem]) hareket sabitleri ).

Örnekler

Zaman değişmezliği

Örnek olarak, zamana bağlı olmayan, yani tt + δ t değişiklikleri altında , q koordinatlarında herhangi bir değişiklik olmaksızın değişmez (simetrik) olan bir Lagrangian düşünün . Bu durumda N  =1, T  =1 ve Q  =0; karşılık gelen korunan miktar, toplam enerji H'dir.

öteleme değişmezliği

Bir (yukarıdaki gibi "yoksayılabilir") koordinatına bağlı olmayan bir Lagrangian düşünün q k ; yani q kq k + δq k değişiklikleri altında değişmezdir (simetrik) . Bu durumda, N  = 1, T  = 0 ve Q k  = 1; korunan miktar, karşılık gelen doğrusal momentum p k'dir

Gelen özel ve genel görelilik , bu görünüşte ayrı koruma kanunları yüzden, tek bir koruma kanunun yönleri stres enerji tensörü sonraki bölümde türetilmiştir.

rotasyonel değişmezlik

Korunumu açısal momentum L = r x s lineer momentumu muadili benzerdir. Lagrange simetrisinin rotasyonel olduğu, yani Lagrange'ın fiziksel sistemin uzaydaki mutlak yönelimine bağlı olmadığı varsayılır. Somutluk için , bir n ekseni etrafında δθ açısının küçük dönüşleri altında Lagrange'ın değişmediğini varsayalım ; böyle bir döndürme, Kartezyen koordinatlarını denklemle dönüştürür

Zaman dönüştürülmekte olan olmadığından, T = 0 alınması δθ olarak ε parametresi ve kartezyen koordinatlar r genelleştirilmiş koordinatlar olarak q , karşılık gelen S değişkenler tarafından verilmektedir

O zaman Noether teoremi aşağıdaki miktarın korunduğunu belirtir,

Başka bir deyişle, n ekseni boyunca açısal momentum L' nin bileşeni korunur.

Eğer n, sistemin herhangi bir dönme duyarsız ise, diğer bir deyişle rasgele, daha sonra her bir bileşenin L muhafaza edilir; kısacası açısal momentum korunur.

Alan teorisi versiyonu

Kendi başına yararlı olmasına rağmen, Noether teoreminin az önce verilen versiyonu, 1915'te türetilen genel versiyonun özel bir halidir. Genel teoremin lezzetini vermek için, Noether teoreminin dört boyutlu uzay-zamandaki sürekli alanlar için bir versiyonu şimdi veriliyor. Alan teorisi problemleri modern fizikte mekanik problemlerinden daha yaygın olduğu için , bu alan teorisi versiyonu Noether teoreminin en yaygın kullanılan (veya en sık uygulanan) versiyonudur.

Tüm uzay ve zaman üzerinde tanımlanmış bir dizi türevlenebilir alan olsun ; örneğin, sıcaklık , her yerde ve zamanda tanımlanan bir sayı olarak, böyle bir alanı temsil eder. En az eylem ilkesi bu tür alanlara uygulanabilir, ancak eylem artık uzay ve zamanın ayrılmaz bir parçasıdır.

(teoremi ayrıca Lagrange için kadar bağlıdır duruma genelleştirilebilir N inci türevi ve aynı zamanda kullanılarak formüle edilebilir püskürtme demetleri ).

Alanların sürekli bir dönüşümü sonsuz olarak şu şekilde yazılabilir:

nerede genel olarak hem ve 'ye bağlı olabilen bir işlevdir . Fiziksel bir simetri oluşturmanın koşulu , eylemin değişmez kalmasıdır. Lagrange yoğunluğu değişmez bırakılırsa bu kesinlikle doğru olacaktır , ancak Lagrange bir sapma ile değişirse de doğru olacaktır,

çünkü diverjansın integrali, diverjans teoremine göre bir sınır terimi haline gelir . Belirli bir eylemle tanımlanan bir sistem, bu türde birden fazla bağımsız simetriye sahip olabilir, bu nedenle en genel simetri dönüşümü şu şekilde yazılabilir:

sonuç ile

Bu tür sistemler için Noether teoremi, korunan akım yoğunlukları olduğunu belirtir.

(nokta çarpımının indeks veya indeksi değil, alan indekslerini daralttığı anlaşıldığında ).

Bu gibi durumlarda korunum yasası dört boyutlu olarak ifade edilir.

Bu, bir küre içindeki korunan bir miktarın miktarının, bir kısmı küreden dışarı akmadıkça değişemeyeceği fikrini ifade eder. Örneğin, elektrik yükü korunur; bir küre içindeki yük miktarı, yükün bir kısmı küreyi terk etmedikçe değişemez.

Örnek olarak, yukarıda ele alındığı gibi, zaman ve uzayda çeviriler altında aynı şekilde davranan fiziksel bir alan sistemi düşünün; başka bir deyişle, üçüncü argümanında sabittir. Bu durumda, N  = 4, uzay ve zamanın her boyutu için bir tane. Uzayda sonsuz küçük bir öteleme ( Kronecker deltasını ifade ederek ), alanları şu şekilde etkiler : yani, koordinatları yeniden etiketlemek, alanı çevirirken koordinatları yerinde bırakmakla eşdeğerdir, bu da alanı değiştirerek alanı dönüştürmekle eşdeğerdir. her noktadaki değeri, söz konusu sonsuz küçük yer değiştirme ile haritalanacak olan "arkasındaki" noktadaki değer ile birlikte . Bu sonsuz küçük olduğundan, bu dönüşümü şu şekilde yazabiliriz:

Lagrange yoğunluğu aynı şekilde dönüşür , yani

ve böylece için koruma yasasına Noether'in kuramı karşılık stres enerjisi tensör T u vA biz kullandık, yerine . Daha önce verilen ifadeyi kullanarak ve korunan dört akımı (her biri için bir tane ) bir tensörde toplayarak , Noether teoremi şunu verir:

ile birlikte

(biz, etiketlenmesine olarak önlemek çatışmanın bir ara aşamada). (Ancak, bu şekilde elde edilen, genel görelilikte kaynak terim olarak kullanılan simetrik tensörden farklı olabilir; bkz. Kanonik gerilim-enerji tensörü .)

Buna karşılık elektrik yükünün korunumu , türevlerden ziyade φ alanlarında Ψ lineer kabul edilerek türetilebilir. Olarak kuantum mekaniği , olasılık genliği ψ ( x , bir noktasında bir parçacığı bulma) x karmaşık bir işlemdir φ bir atfeder, çünkü karmaşık sayı alanı ve zaman içinde her noktasına. Olasılık genliğinin kendisi fiziksel olarak ölçülemez; sadece olasılık p = | ψ | 2 bir dizi ölçümden çıkarılabilir. Bu nedenle, sistem ψ alanı ve onun karmaşık eşlenik alanı ψ *'nin | ψ | 2 değişmemiş, örneğin

karmaşık bir rotasyon θ fazının sonsuz küçüklükte küçüldüğü δθ limitinde , ε parametresi olarak alınabilirken , Ψ sırasıyla ve − *' ye eşittir . Spesifik bir örnek, Klein-Gordon denklemi , relativistik doğru sürümü Schrödinger denklemi için spinsiz Lagrange yoğunluğa sahip parçacıklar,

Bu durumda, Noether teoremi, korunan (∂ ⋅ j  = 0) akımın şuna eşit olduğunu belirtir: 

bu, o parçacık türünün yüküyle çarpıldığında, o parçacık türünden kaynaklanan elektrik akımı yoğunluğuna eşittir. Bu "gösterge değişmezliği" ilk olarak Hermann Weyl tarafından belirtildi ve fiziğin prototip ayar simetrilerinden biridir.

türevler

Bir bağımsız değişken

En basit durumu, tek bağımsız değişkeni olan bir sistemi ele alalım, zaman. Bağımlı değişkenlerin q öyle olduğunu varsayalım ki eylem integrali

bağımlı değişkenlerdeki kısa sonsuz küçük varyasyonlar altında değişmezdir. Başka bir deyişle, Euler-Lagrange denklemlerini sağlarlar.

Ve integralin sürekli bir simetri altında değişmez olduğunu varsayalım. Matematiksel olarak böyle bir simetri, değişkenler üzerinde aşağıdaki gibi hareket eden bir akış , φ olarak temsil edilir.

burada ε , akış miktarını gösteren gerçek bir değişkendir ve T , akışın zamanı ne kadar kaydırdığını gösteren gerçek bir sabittir (sıfır olabilir).

Eylem integrali şu şekilde akar:

ε'nin bir fonksiyonu olarak kabul edilebilir . ε' = 0'daki türevi hesaplayarak ve Leibniz kuralını kullanarak ,

Euler-Lagrange denklemlerinin şu anlama geldiğine dikkat edin:

Bunu önceki denklemde yerine koyarsak,

Yine Euler-Lagrange denklemlerini kullanarak elde ederiz.

Bunu önceki denklemde yerine koyarsak,

Bunu hangisinden görebilir

hareketin bir sabitidir, yani korunan bir niceliktir. φ[ q , 0] = q olduğundan , elde ederiz ve böylece korunan miktar basitleşir

Formüllerin aşırı karmaşıklığından kaçınmak için bu türetme, akışın zaman geçtikçe değişmediğini varsayıyordu. Aynı sonuç daha genel durumda da elde edilebilir.

Alan-teorik türetme

Noether teoremi de tensör alanları için elde edilebilir var φ A nereye endeks A çeşitli tensör alanlarının çeşitli bileşenleri üzerinde değişmektedir. Bu alan miktarları, noktaları x μ koordinatlarıyla etiketlenen dört boyutlu bir uzay üzerinde tanımlanmış fonksiyonlardır; burada μ indeksi zaman içinde değişir ( μ  = 0) ve üç uzamsal boyut ( μ  = 1, 2, 3). Bu dört koordinat bağımsız değişkenlerdir; ve her olaydaki alanların değerleri bağımlı değişkenlerdir. Sonsuz küçük bir dönüşüm altında, koordinatlardaki varyasyon yazılır

alan değişkenlerinin dönüşümü şu şekilde ifade edilirken

Bu tanıma göre, alan varyasyonları δφ A iki faktörden kaynaklanır: dönüştürülen alan α A dönüştürülen koordinatlara ξ μ bağlı olduğundan, alanın kendisindeki içsel değişiklikler ve koordinatlardaki değişiklikler . İçsel değişiklikleri izole etmek için, tek bir noktadaki alan değişimi x μ tanımlanabilir

Koordinatlar değiştirilirse, Lagrange'ın entegre edildiği uzay-zaman bölgesinin sınırı da değişir; orijinal sınır ve dönüştürülmüş versiyonu sırasıyla Ω ve Ω' olarak gösterilir.

Noether teoremi, koordinatların ve alan değişkenlerinin belirli bir dönüşümünün , verilen uzay-zaman bölgesi üzerindeki Lagrange yoğunluğunun integrali olarak tanımlanan eylemi değiştirmediği varsayımıyla başlar . Matematiksel olarak ifade edildiğinde, bu varsayım şu şekilde yazılabilir:

burada virgül alt simgesi, virgülden sonra gelen koordinat(lar)a göre kısmi bir türevi belirtir, örn.

ξ integrasyonun kukla bir değişkeni olduğundan ve Ω sınırındaki değişiklik varsayımla sonsuz küçük olduğundan, iki integral, diverjans teoreminin dört boyutlu versiyonu kullanılarak aşağıdaki biçimde birleştirilebilir.

Lagrangianlardaki fark, sonsuz küçük varyasyonlarda birinci mertebeden şu şekilde yazılabilir:

Ancak, varyasyonlar yukarıda tarif edildiği gibi aynı noktada tanımlandığı için varyasyon ve türev ters sırada yapılabilir; onlar gidip

Euler-Lagrange alan denklemlerini kullanma

Lagrangianlardaki fark düzgün bir şekilde şu şekilde yazılabilir:

Böylece, eylemdeki değişiklik şu şekilde yazılabilir:

Bu herhangi bir Ω bölgesi için geçerli olduğundan, integral sıfır olmalıdır.

Çeşitli simetri dönüşümlerinin herhangi bir kombinasyonu için pertürbasyon yazılabilir.

burada bir Lie türevi φ bir A içinde X μ yönü. Ne zaman φ A veya skalar olduğunu ,

Bu denklemler, bir noktada alınan alan varyasyonunun eşit olduğu anlamına gelir.

İle ilgili olarak yukarıda sapma Farklılaşan £ değerinin en ε  = 0 ve işaret değiştirme koruma kanunu verir

korunan akımın eşit olduğu yerde

Manifold/fiber demeti türetme

Diyelim ki n -boyutlu yönlendirilmiş bir Riemann manifoldu , M ve bir hedef manifoldu T var . Izin olmak yapılandırma alanı arasında düz fonksiyonları arasından M için T . (Daha genel olarak, M üzerinde bir lif demetinin düz bölümlerine sahip olabiliriz .)

Fizikteki bu M örnekleri şunları içerir:

  • Olarak klasik mekanik bölgesi Hamilton formülasyon E tek boyutlu manifolddur zamanı temsil eden ve hedef alanı olan cotangent demeti arasında boşluk genelleştirilmiş pozisyonların.
  • In alan teorisi , M ise uzay-zaman manifoldu ve hedef alan alanlar herhangi bir noktada alabilir değerlerin kümesidir. Örneğin, varsa m gerçek -valued sayıl alanlar , daha sonra hedef manifoldu olduğunu . Alan gerçek vektör alanı ise, hedef manifoldu olduğu izomorftur için .

Şimdi bir işlevsellik olduğunu varsayalım.

eylem denir . (Değerleri yerine alır ; bu fiziksel nedenlerden dolayıdır ve bu ispat için önemsizdir.)

Noether teoreminin olağan versiyonuna ulaşmak için eylem üzerinde ek kısıtlamalara ihtiyacımız var . Biz varsayalım olan integrali üzerinde M fonksiyonun

φ , türevi ve konumuna bağlı olarak Lagrange yoğunluğu olarak adlandırılır . Başka bir deyişle, φ için

Biz verildi varsayalım sınır koşulları , yani, değerinin bir spesifikasyon cp de sınır ise M olan kompakt veya bazı sınır cp olarak x ∞ yaklaşır. Daha sonra alt uzay ait işlevleri kapsayan cp tüm bu tür fonksiyonel türevleri arasında en φ sıfırdır, yani:

ve verilen sınır koşullarını sağlayan φ , kabuklu çözümlerin alt uzayıdır . (bkz . durağan hareket ilkesi )

Şimdi, bir olduğunu varsayalım sonsuz dönüşümü ile ilgili bir tarafından üretilen, fonksiyonel türev , Q, öyle ki

tüm kompakt alt manifoldlar için N veya başka bir deyişle,

ayarladığımız tüm x için

Bu, kabuk üzerinde ve kabuk dışında geçerliyse , Q'nun bir kabuk dışı simetri oluşturduğunu söyleriz . Bu yalnızca kabuk üzerinde geçerliyse , Q'nun bir kabuk simetrisi oluşturduğunu söyleriz . Sonra, Q'nun tek parametreli simetri Lie grubunun bir üreteci olduğunu söylüyoruz .

Şimdi, herhangi bir N için , Euler-Lagrange teoremi nedeniyle , kabuk üzerinde (ve sadece kabuk üzerinde), elimizde

Bu herhangi bir N için doğru olduğundan,

Ancak bu, şu şekilde tanımlanan akım için süreklilik denklemidir :

bu simetri ile ilişkili Noether akımı olarak adlandırılır . Süreklilik denklemi bize, bu akımı uzay benzeri bir dilim üzerinde entegre edersek , Noether yükü olarak adlandırılan korunan bir nicelik elde ettiğimizi söyler (tabii ki M kompakt değilse , akımlar sonsuzda yeterince hızlı düşerse).

Yorumlar

Noether teoremi bir kabuk teoremidir: klasik yol olan hareket denklemlerinin kullanımına dayanır. Sınır koşulları ile varyasyon ilkesi arasındaki ilişkiyi yansıtır. Eylemde sınır terimleri olmadığını varsayarak, Noether teoremi şunu ima eder:

Noether teoreminin, kabuk miktarlarını da araştıran beklenti değerlerini (örneğin, ) içeren kuantum analogları , Ward-Takahashi özdeşlikleridir .

Lie cebirlerine genelleme

Diyelim ki iki simetri türevimiz var Q 1 ve Q 2 . O halde [ Q 1Q 2 ] de bir simetri türevidir. Bunu açıkça görelim. Diyelimki

ve

Sonra,

burada f 12  =  Q 1 [ f 2 μ ] −  Q 2 [ f 1 μ ]. Yani,

Bu, Noether teoremini daha büyük Lie cebirlerine doğal bir şekilde genişletebileceğimizi gösteriyor.

ispatın genelleştirilmesi

Bu  , QS ≈ 0'ı karşılayan herhangi bir yerel simetri türevi Q için ve ayrıca Lagrange'ın alanların daha yüksek türevlerine bağlı olduğu durumlar da dahil olmak üzere daha genel yerel fonksiyonel türevlenebilir eylemler için geçerlidir. ε , desteğinin kapanması sınırdan ayrık olacak şekilde uzay-zaman (veya zaman) manifoldunun herhangi bir keyfi düzgün fonksiyonu olsun . ε  bir test fonksiyonudur . O zaman, varyasyon ilkesi nedeniyle (bu arada, sınır için geçerli değildir ), q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] tarafından üretilen türev dağılımı q, aşağıdakileri sağlar: q [ ε ][ S ] ≈ 0 her ε için  veya daha kompakt olarak, q ( x )[ S ] ≈ 0 sınırda olmayan tüm x için (ancak unutmayın ki q ( x ) bir türetme dağılımının kısaltmasıdır , değil genel olarak x ile parametrelenen bir türetme ). Bu, Noether teoreminin genelleştirilmiş halidir.

Genellemenin yukarıda verilen versiyonla nasıl ilişkili olduğunu görmek için, eylemin sadece φ ve birinci türevlerine bağlı olan bir Lagrange'ın uzay-zaman integrali olduğunu varsayalım. Ayrıca, varsayalım

Sonra,

hepsi için .

Daha genel olarak, eğer Lagrange daha yüksek türevlere bağlıysa, o zaman

Örnekler

Örnek 1: Enerjinin korunumu

Kütlesi m , koordinat x olan , V potansiyelinin etkisi altında hareket eden , t zamanı tarafından koordine edilen Newton parçacığının özel durumuna bakıldığında . Eylem , S , olduğu:

Parantez içindeki ilk terim parçacığın kinetik enerjisi , ikincisi ise potansiyel enerjisidir . Q = d / dt zaman ötelemelerinin üretecini düşünün . Başka bir deyişle, . x koordinatının zamana açık bir bağımlılığı vardır, V ise yoktur; sonuç olarak:

böylece ayarlayabiliriz

Sonra,

Sağ taraf enerjidir ve Noether teoremi şunu belirtir (yani enerjinin korunumu ilkesi, zaman ötelemelerinde değişmezliğin bir sonucudur).

Daha genel olarak, eğer Lagrange açıkça zamana bağlı değilse, miktar

( Hamiltonian olarak adlandırılır ) korunur.

Örnek 2: Momentum merkezinin korunumu

Hala 1 boyutlu zamanı göz önünde bulundurarak, izin ver

veya potansiyelin sadece çift olarak göreceli yer değiştirmeye bağlı olduğu Newton parçacıkları.

için , Galilean dönüşümlerinin üretecini düşünün (yani referans çerçevesindeki bir değişiklik). Diğer bir deyişle,

Ve

Bu, ayarlayabilmemiz için forma sahiptir

Sonra,

toplam momentum nerede , M toplam kütle ve kütle merkezidir. Noether teoremi şunları belirtir:

Örnek 3: Konformal dönüşüm

Örnek 1 ve 2, 1 boyutlu bir manifoldun (zaman) üzerindedir. Uzay-zamanı içeren bir örnek , (3 + 1)- Minkowski uzay-zamanında bir kuartik potansiyele sahip kütlesiz bir gerçek skaler alanın uyumlu bir dönüşümüdür .

İçin Q , bir uzay-zaman yeniden ölçeklendirme süreçlerinin jeneratör düşünün. Diğer bir deyişle,

Sağ taraftaki ikinci terim, 'nin "konformal ağırlığından" kaynaklanmaktadır . Ve

Bu şekli vardır

(kukla endekslerde bir değişiklik yaptığımız yerde)

Sonra

Noether teoremi, (Euler-Lagrange denklemlerini sol tarafa koyarak açıkça kontrol edilebileceği gibi) belirtir .

Bu denklemin Ward-Takahashi benzerini bulmaya çalışırsanız , anormallikler nedeniyle bir sorunla karşılaşırsınız .

Uygulamalar

Noether teoreminin uygulanması, fizikçilerin, yalnızca ilgili yasaların biçimini değişmez hale getirecek çeşitli dönüşümleri analiz ederek, fizikteki herhangi bir genel teori hakkında güçlü içgörüler kazanmalarını sağlar. Örneğin:

Olarak kuantum alan teorisi , Noether'in teoremi, analog Ward-Takahashi kimliği , örneğin korunması gibi başka koruma yasalarını verir elektrik yükünde bir değişikliğe göre, değişmezliği gelen faz faktörü arasında karmaşık yüklü parçacık alanı ve ilgili göstergesi arasında elektrik potansiyeli ve vektör potansiyel .

Noether yük de hesaplanmasında kullanılan entropi arasında sabit kara delikler .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar