Moore düzlem - Moore plane

In matematik , Moore uçağı da bazen denilen Niemytzki düzlem (veya Nemytskii düzlemi , Nemytskii en teğet diski topoloji ) bir olduğunu topolojik uzay . Bu tamamen normal olduğunu Hausdorff uzay (diğer adıyla Tychonoff uzay değildir) Normal . Bu almıştır Robert Lee Moore ve Viktor Vladimirovich Nemytskii .

Tanım

Niemytzki uçağın Açık mahalle, teğet x ekseni

Eğer (kapalı) üst yarım düzlemdir , daha sonra bir topoloji ile tanımlanabilir bir alarak yerel bir temel aşağıdaki gibi: ${\ Displaystyle \ Gama}$ ${\ Displaystyle \ Gama = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} | y \ GEQ 0 \}}$ ${\ Displaystyle \ Gama}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p, q)}$

Noktalarda lokal olarak elemanları ile dahilinde olduğu kadar küçük bir düzlemde açık disklerdir . ${\ Displaystyle (x, y)}$ ${\ Displaystyle y> 0}$ ${\ Displaystyle \ Gama}$
Noktalarda lokal olarak unsurları kümeleridir burada bir teğet olan üst yarı düzlemde açık disktir x eksenin p . ${\ Displaystyle p = (x, 0)}$ ${\ Displaystyle \ {p \} \ kap A}$

Yani, yerel temeli verilir edilir

{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (p, q) = {\ başlar {olgu} \ {U _ {\ epsilon} (p, q) = \ {(x, y) :( xp) ^ {2 } + (yq) ^ {2} <\ epsilon ^ {2} \} \ orta \ epsilon> 0 \}, ve {\ mbox {q> 0}} ise; \\\ {V _ {\ epsilon} (s ): = \ {(s, 0) \} \ kap \ {(x, y) :( xp) ^ {2} + (y \ epsilon) ^ {2} <\ epsilon ^ {2} \} \ orta \ epsilon> 0 \}, ve {\ mbox {ise} q = 0}. \ ucu {olgu}}}

Böylece alt uzay topolojisi tarafından miras Öklid düzleminin standart topolojisi miras alt uzay topolojisi ile aynıdır. ${\ Displaystyle \ Gama içindeki \ {\ (x, 0) | x \ in \ mathbb {R} \}}$

Moore Düzlem grafik gösterimi

Özellikleri

Moore uçağı olan ayrılabilir bir sayılabilir yoğun alt kümesi vardır, yani. ${\ Displaystyle \ Gama}$
Moore uçağın ise tamamen normal Hausdorff uzay (yani Tychonoff uzay değildir), normaldir .
Alt uzay içinde onun gibi olan alt uzay topolojisi , ayrık topoloji . Böylece, Moore uçağı ayrılabilir alan bir alt uzay ayrılabilir olması gerekmez göstermektedir. ${\ Displaystyle \ {(x, 0) \ \, Gamma | x \ R \}}$ ${\ Displaystyle \ Gama}$
Moore uçağı ilk sayılabilir , ancak sayılabilen ikinci veya Lindelöf .
Moore uçağı değil yerel kompakt .
Moore uçağı sayılabilir metacompact ama metacompact .

Moore düzlem normal olmadığını Kanıtı

Bu boşluk olması M değil , normal (yani değişken için çok benzer olan aşağıdaki sayma bağımsız değişken ile kurulabilir Sorgenfrey düzlemi normal değil):

Bir yandan, sayılabilir grubu rasyonel koordinatlar ile nokta arasında yoğun M ; dolayısıyla her sürekli fonksiyon olan sınırlama ile belirlenir , bu nedenle en fazla olabilir birçok sürekli gerçek değerli fonksiyonlar M . ${\ Displaystyle S: = \ {(p, q) \ in \ mathbb {S} \ kez \ mathbb {S} q> 0 \}}$ ${\ Displaystyle f: M \ mathbb \ olarak {R}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle | \ mathbb {R} | ^ {| S |} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$
Diğer taraftan, gerçek hattı kapalı bir ayrık alt uzay olan M ile birçok noktada. Yani orada birçok sürekli fonksiyonlar L için . Tüm bu fonksiyonlar üzerinde sürekli fonksiyonlara uzatılabilir Değil M . ${\ Displaystyle L: = \ {(s, 0): p \ \ mathbb olarak {R} \}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}}> 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
Bu nedenle M ile, çünkü normal değil Tietze genişleme teoremi normal alan bir kapalı alt tanımlanan tüm sürekli fonksiyonlar bütün alanı üzerinde sürekli bir fonksiyona uzatılabilir.