Nielsen–Schreier teoremi - Nielsen–Schreier theorem

Gelen grup teorisi , matematik dalıdır, Nielsen-Schreier Teorem her belirtmektedir alt grup a ücretsiz grubunun serbest kendisini olduğunu. Adını Jakob Nielsen ve Otto Schreier'den almıştır .

Teoremin ifadesi

Serbest bir grup , hiçbir ilişkisi olmayan bir dizi üreteçten oluşan bir grup sunumundan tanımlanabilir . Yani, her eleman bir dizi üreteç ve onların tersinin bir ürünüdür, ancak bu elemanlar gg -1 = 1'den önemsiz bir şekilde aşağıdakiler dışında herhangi bir denkleme uymazlar . Bir serbest grubun elemanları, tüm olası indirgenmiş kelimeler olarak tanımlanabilir. , hiçbir üreticinin kendi tersinin bitişiğinde olmadığı üreteç dizileri ve bunların tersleri. İki indirgenmiş kelime, bunları birleştirerek ve ardından birleştirmeden kaynaklanan herhangi bir üreteç-ters çiftleri kaldırarak çarpılabilir .

Nielsen-Schreier teoremi eğer bildiren H serbest grubunun bir alt-grubu olan G , daha sonra , H kendisi izomorfik bir serbest gruba. Kendisine, bir dizi vardır S oluşturmak elemanlarının H unsurları arasında herhangi bir aşikar olmayan ilişkiler, S .

Nielsen-Schreier, formül veya Schreier endeksi formülü alt grup sonlu indisine sahip durumunda sonuç rakamlarla: eğer G değerde açık bir gruptur , n (ücretsiz n jeneratörler) ve H sonlu bir alt grubudur indeksi [ G  : H ] = e , o zaman H rütbesizdir .

Örnek

Let G iki jeneratör serbest grubu olabilir ve izin H eşit uzunlukta tüm düşük kelime (harf çift sayıda ürün oluşan altgrubu ). Daha sonra , H altı elemanları tarafından oluşturulan herhangi bir düşük kelimenin bir çarpanlara H , bu oluşturma düzenlerinin ve tersleri sadece indirgenmiş kelime harflerinin ardışık çiftlerini alınarak imal edilebilir. Ancak bu, H'nin serbest bir sunumu değildir, çünkü son üç üreteç, ilk üç cinsinden yazılabilir . Bunun yerine H , aralarında hiçbir ilişkisi olmayan üç element tarafından serbest bir grup olarak üretilir ; veya bunun yerine altı jeneratörün diğer birkaç üçlüsü ile. Bundan başka, G, serbesttir , n = 2 jeneratörler, H göstergesi olan E = [ G  : H ] = 2 G ve H 1 + serbesttir e ( n -1) = 3 jeneratörü. Nielsen-Schreier teoremi , H gibi , bir serbest grubun her alt grubunun bir serbest grup olarak üretilebileceğini ve H'nin indeksi sonlu ise, sıralamasının indeks formülü ile verildiğini belirtir .

Kanıt

Serbest grup G = π 1 ( X ) sahiptir , n döngüleri ilgili = 2 jeneratörler bir , b temel nokta gelen P içinde X . e = [ G  : H ] = 2 indeksli çift uzunluktaki kelimelerin H alt grubu , H ve H' = aH = bH = a −1 H = b kosetlerine karşılık gelen iki köşe ile Y kaplama grafiğine karşılık gelir. 1 H ve orijinal döngü kenarlarının her biri için iki kaldırılmış kenar a , b . Y'nin kenarlarından birinin daraltılması, üç daireden oluşan bir buket için bir homotopi denkliği verir, böylece H = π 1 ( Y ) üç üreteç üzerinde serbest bir gruptur, örneğin aa , ab , ba .

Nielsen-Schreier teoreminin kısa bir kanıtı kullanan cebirsel topoloji ve temel gruplar ve kaplama boşluklar . Bir jeneratör setindeki serbest bir G grubu, bir daire buketinin temel grubudur, tek bir tepe noktası ve her jeneratör için bir döngü kenarı olan bir topolojik grafik X. Herhangi bir alt grubu , H , temel grubunun kendisi bağlı kaplama alanı temel grup olduğu Y'ninX alanı , Y , bir (muhtemelen sonsuz) topolojik grafiktir, Schreier eşküme grafik her biri için bir tepeye sahip olan eşküme içinde G / H . Herhangi bir bağlantılı topolojik grafikte, aynı temel H grubuna sahip bir daire buketi üreterek grafiğin yayılan ağacının kenarlarını küçültmek mümkündür . Bu yana , H çevrelerinin bir buketin temel grup olduğu, kendisi serbesttir.

Basit homoloji , örtü uzayının ilk Betti sayısı, bağımsız döngü sayısı h 1'e ( Y ) eşit olan H sıralamasının hesaplanmasına izin verir . İçin G serbest seviye arasında n , grafik X sahip N kenarları ve 1 tepe noktası; varsayarak H sonlu indeksine sahiptir [ G  : H ] = E , kaplama grafiği Y sahip en kenarları ve E köşe. Bir grafiğin ilk Betti sayısı, kenar sayısı eksi köşe sayısı artı bağlı bileşenlerin sayısına eşittir; dolayısıyla H'nin rankı :

Bu kanıt, Reinhold Baer ve Friedrich Levi'ye  ( 1936 ); Schreier'in orijinal kanıtı, Schreier grafiğini , G modulo'nun H'nin eyleminin Cayley grafiğinin bir bölümü olarak farklı bir şekilde oluşturur .

Göre Schreier alt grup lemmasının , serbest bir sunum için jeneratör bir dizi H imâl edilebilir döngü kalan sınıfları birine, a, bir taban alanına (kimlik eşküme) bir kapsayan ağaç yolu birleştirerek oluşturulan kaplama grafikte ağaç olmayan tek bir kenar ve kenarın diğer uç noktasından taban noktasına geri uzanan bir ters yayılan ağaç yolu.

aksiyomatik temeller

Nielsen-Schreier teoreminin birkaç farklı ispatı bilinmesine rağmen, hepsi seçim aksiyomuna bağlıdır . Buketlerin temel gruplarına dayanan ispatta, örneğin, seçim aksiyomu, her bağlı grafiğin bir kapsayan ağacı olduğu ifadesi kılığında görünür. Seçim aksiyomunun ve Nielsen-Schreier teoreminin her ikisinin de yanlış olduğu Zermelo-Fraenkel küme teorisi modelleri mevcut olduğundan, bu aksiyomun kullanılması gereklidir . Nielsen-Schreier teoremi, sonlu kümeler için seçim aksiyomunun daha zayıf bir versiyonunu ima eder.

Tarih

Nielsen-Schreier teoremi, Richard Dedekind'in serbest değişmeli grubun her alt grubunun serbest değişmeli olduğu şeklindeki daha eski bir sonucunun değişmeyen olmayan bir analoğudur .

Jakob Nielsen ( 1921 ) başlangıçta teoremin sınırlı bir biçimini kanıtladı ve serbest bir grubun sonlu olarak oluşturulmuş herhangi bir alt grubunun serbest olduğunu belirtti. Kanıtı, alt grubun üretici kümesi üzerinde uzunluklarını azaltan bir dizi Nielsen dönüşümü gerçekleştirmeyi içerir ( çizildikleri serbest gruptaki indirgenmiş kelimeler olarak). Otto Schreier Nielsen-Schreier yaptığı 1926 yılında tam genelliği teoremi kanıtladı Habilitasyon tez , Gruppe freien Die Untergruppen der Ayrıca 1927 yılında yayınlanan, ABH. matematik. Sem. Hamburg. Üniv.

Çember buketlerinin temel gruplarına dayanan topolojik kanıt, Reinhold Baer ve Friedrich Levi'ye  ( 1936 ) aittir . Göre diğer bir topolojik geçirmez, Bas-Serre teorinin ait grup etkileri ile ilgili ağaçlar , tarafından yayımlanan Jean-Pierre Serre  ( 1970 ).

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar