Gereklilik ve yeterlilik - Necessity and sufficiency

Gelen mantık ve matematik , zorunluluk ve yeterlilik bir tanımlamak için kullanılan terimlerdir koşullu iki arasında ya implicational ilişkiyi ifadeleri . Örneğin, koşullu ifadede: "Eğer P o zaman Q ise ", Q, P için gereklidir , çünkü Q'nun doğruluğu, P'nin doğruluğu tarafından garanti edilir (eşdeğer olarak, Q olmadan P'ye sahip olmak imkansızdır ). Benzer şekilde, P Q için yeterlidir , çünkü P'nin doğru olması her zaman Q'nun doğru olduğunu ima eder, ancak P'nin doğru olmaması her zaman Q'nun doğru olmadığı anlamına gelmez.

Genel olarak, gerekli bir koşul, başka bir koşulun meydana gelmesi için mevcut olması gereken bir koşul iken, yeterli bir koşul, söz konusu koşulu üreten koşuldur. Bir ifadenin bir başkasının "gerekli ve yeterli" koşulu olduğu iddiası , önceki ifadenin ancak ve ancak ikincisi doğruysa doğru olduğu anlamına gelir . Yani, iki ifade ya aynı anda doğru ya da aynı anda yanlış olmalıdır.

Gelen sıradan İngilizce , "gerekli" ve "yeterli" işlerine değil, ifadeleri koşulları veya devlet arasındaki ilişkileri göstermektedir. Örneğin erkek olmak kardeş olmak için gerekli bir koşuldur, ancak yeterli değildir - erkek kardeş olmak ise kardeş olmak için gerekli ve yeterli bir koşuldur. Herhangi bir koşullu ifade, en az bir yeterli koşul ve en az bir gerekli koşuldan oluşur.

Tanımlar

Koşullu açıklamada, "ise S , sonra N " ile temsil edilen sentezleme S denir öncül ve temsil ettiği ifade N denir , sonucu . Bu koşullu önerme örneğin "gibi birçok eşdeğer şekillerde yazılabilir N eğer S ", " S yalnızca N ", " S ima N ", " N ima edilmektedir S ", SN , SN ve " N ne zaman S ".

Yukarıdaki durumda, N'nin S için gerekli bir koşul olduğu söylenir . Ortak dilde bu, koşullu ifade doğru bir ifadeyse, sonuçtaki N'nin doğru olması gerektiğini söylemeye eşdeğerdir - eğer S doğruysa ( hemen aşağıdaki " doğruluk tablosunun " üçüncü sütununa bakın). Başka bir deyişle, N doğru olmadan S öncülü doğru olamaz . Örneğin, çağrılacak birisi için sırayla S birisi olması için ocrates, gerekli K amed. Aynı şekilde insanın da yaşayabilmesi için havaya sahip olması gerekir.

Yukarıdaki durumda, S'nin N için yeterli bir koşul olduğu da söylenebilir (hemen aşağıdaki doğruluk tablosunun üçüncü sütununa tekrar bakın). Koşullu ifade doğruysa, S doğruysa, N doğru olmalıdır; koşullu ifade doğruysa ve N doğruysa, S doğru veya yanlış olabilir. Ortak terimlerle, " S'nin gerçeği, N'nin gerçeğini garanti eder ". Örneğin, bir önceki örnekten yola çıkarak, birisine S okrates dendiğini bilmenin, birinin bir N ame sahip olduğunu bilmek için yeterli olduğu söylenebilir .

Bir gerekli ve yeterli bir durum etkileri hem de gerektirir ve (ikincisinin aynı zamanda şu şekilde yazılabilir beklemede). İlk çıkarım, S'nin N için yeterli bir koşul olduğunu öne sürerken, ikinci çıkarım, S'nin N için gerekli bir koşul olduğunu öne sürer . Bu, " S , N için gerekli ve yeterlidir ", " S ancak ve ancak N ise " veya olarak ifade edilir .

Doğruluk şeması
S n
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T

gereklilik

Güneşin ufkun üzerinde olması, doğrudan güneş ışığı için gerekli bir koşuldur; ancak bu yeterli bir koşul değildir, çünkü başka bir şey gölge düşürebilir, örneğin bir tutulma durumunda ay .

Q'nun P için gerekli olduğu iddiası , konuşma dilinde " Q doğru olmadıkça P doğru olamaz " veya "Q yanlışsa, P yanlıştır" ile eşdeğerdir . By , tersine , bu "her ne zaman aynı şeydir P doğrudur, böyledir Q ".

Arasında mantıksal bir ilişki P ve Q "gibi ifade edilir P , daha sonra Q " ve "ifade PQ " ( P eder Q ). Aynı zamanda " P yalnızca Q ise ", " Q , eğer P ise ", " Q her zaman P " ve " P olduğunda Q " olarak ifade edilebilir. Örneğin matematiksel nesirde, Örnek 5'te gösterildiği gibi, birlikte alındığında yeterli bir koşulu oluşturan (yani, bireysel olarak gerekli ve birlikte yeterli) birkaç gerekli koşul sıklıkla bulunur.

örnek 1
"John bekardır" ifadesinin doğru olması için, onun bekar olduğunun da doğru olması gerekir.
  1. bekar,
  2. erkek,
  3. yetişkin,
çünkü "John bekardır" demek, John'un bu üç ek yüklemin her birine sahip olduğu anlamına gelir .
Örnek 2
İkiden büyük tam sayılar için, hem çift hem de asal olan tek tam sayı iki olduğundan, asal olmak için tek olmak gereklidir.
Örnek 3
Yıldırımın neden olduğu ses olan gök gürültüsünü düşünün. Şimşek, şimşek olmadan asla şimşek olmayacağından, şimşek için gök gürültüsünün gerekli olduğu söylenir. Şimşek olduğu zaman gök gürültüsü de vardır. Şimşek şimşeğe neden olmaz (çünkü şimşek gök gürültüsüne neden olur), ancak şimşek her zaman gök gürültüsüyle birlikte geldiği için, şimşek için gök gürültüsünün gerekli olduğunu söylüyoruz. (Yani biçimsel anlamda zorunluluk nedensellik anlamına gelmez.)
Örnek 4
ABD Senatosu'nda görev yapmak için en az 30 yaşında olmak gereklidir. 30 yaşın altındaysanız, senatör olmanız imkansız. Yani senatör iseniz, en az 30 yaşında olmanız gerekir.
Örnek 5
Olarak cebri , bazı grubu S , bir birlikte çalışma oluşturmak üzere bir grup , gereklidir olmak birleştirici . Da gereklidir S özel bir element, e her için böyle x olarak S , bu durumda , e X ve X e hem de eşit x . Her için bu gereklidir x de S karşılık gelen bir unsuru vardır "x hem de bu şekilde, x X" ve x ", X , özel eleman eşit e . Bu üç gerekli koşulun hiçbiri tek başına yeterli değildir, ancak üçünün birleşimi yeterlidir .

yeterlilik

Bir trenin tarifeli olarak çalışması, zamanında varmak için yeterli bir koşul olabilir (trene bir kişi binerse ve zamanında hareket ederse, o zaman zamanında varılır); ancak bu her zaman gerekli bir koşul değildir, çünkü seyahat etmenin başka yolları da vardır (tren zamanında gitmezse, başka ulaşım araçlarıyla yine de zamanında varılabilir).

Eğer p için yeterli olan Q , daha sonra bilerek P doğru olduğu sonucuna varmak için yeterli gerekçesiyle Q, geçerlidir; bununla birlikte, P'nin yanlış olduğunu bilmek , Q'nun yanlış olduğu sonucuna varmak için asgari bir ihtiyacı karşılamaz .

Mantıksal bağıntı, daha önce olduğu gibi, "eğer P , o zaman Q " veya " PQ " olarak ifade edilir. Bu aynı zamanda " P yalnızca Q ise ", " P , Q'yu ima ediyor " veya diğer birkaç varyant olarak ifade edilebilir . Örnek 5'te gösterildiği gibi, birkaç yeterli koşulun birlikte ele alındığında tek bir gerekli koşulu (yani, bireysel olarak yeterli ve birlikte gerekli) oluşturması söz konusu olabilir.

örnek 1
"John bir kraldır", John'un erkek olduğunu ima eder. Yani John'un bir kral olduğunu bilmek, onun bir erkek olduğunu bilmek için yeterlidir.
Örnek 2
Bir sayının çift olması için 4'e tam bölünebilmesi yeterlidir (ancak zorunlu değildir), 2'ye tam bölünebilmesi hem yeterli hem de gereklidir.
Örnek 3
Gök gürültüsünün meydana gelmesi, gök gürültüsünü duymanın ve onu açık bir şekilde bu şekilde tanımanın, bir şimşek olduğu sonucuna varmayı haklı çıkarması anlamında, şimşeğin meydana gelmesi için yeterli bir koşuldur.
Örnek 4
ABD Kongresi bir yasa tasarısını kabul ederse, başkanın yasa tasarısını imzalaması yasalaşması için yeterlidir. Başkanın, örneğin bir başkanlık vetosu kullanarak yasa tasarısını imzalamamasının, yasa tasarısının yasalaşmadığı anlamına gelmediğine dikkat edin (örneğin, yine de bir kongre geçersiz kılma yoluyla yasa haline gelebilirdi ).
Örnek 5
Bir oyun kartının merkezinin tek bir büyük maça (♠) ile işaretlenmesi, kartın as olması için yeterlidir. Diğer üç yeterli koşul, kartın merkezinin tek bir elmas (♦), kalp (♥) veya sopa (♣) ile işaretlenmesidir. Kartın as olması için bu koşulların hiçbiri gerekli değildir, ancak bunların ayrılması zorunludur , çünkü bu koşullardan en az birini (aslında tam olarak) yerine getirmeden hiçbir kart as olamaz.

Gereklilik ve yeterlilik arasındaki ilişki

Mor bölgede olmak A'da olmak için yeterlidir ama gerekli değildir. Mor bölgede olmak için A'da olmak gereklidir ama yeterli değildir. A'da olmak ve B'de olmak mor bölgede olmak için gerekli ve yeterlidir.

Bir koşul, diğeri olmaksızın gerekli veya yeterli olabilir. Örneğin, memeli olmak ( N ) insan olmak için gereklidir ancak yeterli değildir ( S ) ve bir sayının rasyonel olması ( S ) gerçek bir sayı ( N ) olmak için yeterlidir ancak gerekli değildir (çünkü gerçek sayılar olduğu için rasyonel değildir).

Bir koşul hem gerekli hem de yeterli olabilir. Örneğin, şu anda, "bugün bugün bayram için gerekli ve yeterli koşul" bugün olduğu " Bağımsızlık Günü içinde ABD'de ". Buna benzer şekilde, yeterli ve gerekli koşul tersinirlik a matris M olmasıdır M sıfırdan farklı bir sahiptir belirleyici .

Matematiksel olarak konuşursak, gereklilik ve yeterlilik birbirinin ikilidir . Herhangi bir S ve N deyimi için, " N , S için gereklidir " iddiası, " S , N için yeterlidir " iddiasına eşdeğerdir . Bu ikiliğin bir başka yönü, yukarıda gösterildiği gibi, gerekli koşulların ("ve" kullanılarak) bağlaçlarının yeterliliği, yeterli koşulların ( "veya" kullanarak) birleşimlerinin ise gerekliliği sağlayabilmesidir. Üçüncü bir yönü için, her matematiksel tespit yüklem N grubu ile birlikte , T ( N olan nesne, olay veya tabloların) N geçerlidir; Daha sonra gerekliliğini iddia N için S iddia eşdeğerdir T ( N ) a, üst kümesi arasında T ( S yeterliliği korurken,) S için N iddia eşdeğerdir T ( S ) a, alt küme ve T ( N ).

Eşzamanlı gereklilik ve yeterlilik

Söylemek için P gerekli ve yeterli olan Q iki şey demek ki:

  1. bu P için gerekli olan Q , ve bu p için yeterli olan Q , .
  2. eşdeğer olarak, P ve Q'nun diğeri için gerekli olduğu söylenebilir, bu da her birinin diğeri için yeterli olduğu veya ima ettiği şeklinde de ifade edilebilir .

Bir deyim "tarafından bu davaların, böylece tüm herhangi özetlemek ve olabilecek P ancak ve ancak Q ile gösterilir", olgu olduğunu söyler, oysa aynıdır .

Örneğin, grafik teorisinde , G'nin her kenarının her bir rengin bir bitiş noktasına sahip olacağı şekilde , köşelerinin her birine siyah veya beyaz renk atamak mümkünse , bir G grafiği iki parçalı olarak adlandırılır . Ve herhangi bir grafiğin iki parçalı olması için, tek uzunlukta döngüler içermemesi gerekli ve yeterli bir koşuldur . Bu nedenle, bir grafiğin herhangi bir tek döngüye sahip olup olmadığını keşfetmek, birine iki parçalı olup olmadığını ve bunun tersi olup olmadığını söyler. Bir filozof böylece bu durumu karakterize olabilir: "bipartiteness ve tek döngü yokluğunda kavramları farklılık gösterse de niyeti , bunlar aynı sahip uzantı .

Matematikte, teoremler genellikle " P , ancak ve ancak Q doğruysa doğrudur" şeklinde ifade edilir. Onların ispatları normalde önce yeterliliği ispatlar, örn . İkincisi, bunun tersi kanıtlanmıştır,

  1. ya doğrudan, Q'nun doğru olduğunu varsayarsak ve Q çemberinin P içinde yer aldığını gösterir, ya da
  2. ters-pozitif olarak , bu, P'nin çemberinin dışına adım atmamızın , Q'nun dışına çıktığını gösterir : P değil, Q sonuçları olmadığını varsayarsak .

Bu, Q ve P dairelerinin yukarıdaki Venn diyagramlarında eşleştiğini kanıtlar.

Önceki bölümde açıklandığı gibi, için, diğeri için bir gerekliliği örneğin, birinci bir diğer yeterliliği eşdeğerdir olan eşdeğer ise, P için gerekli ve yeterli olan Q , daha sonra S gerekli ve yeterli olan P . " P , ancak ve ancak Q doğruysa doğrudur" ve " Q , ancak ve ancak P doğruysa doğrudur" ifadelerinin eşdeğer olduğunu yazabilir ve söyleyebiliriz .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar