Nachbin teoremi - Nachbin's theorem

In matematik , alanında karmaşık analizde , Nachbin teoremi (adını Leopoldo Nachbin ) yaygın olarak bir büyüme oranları üzerinde bir sınır kurmak için kullanılır analitik işlevi . Bu makale, üstel tipte bir fonksiyon fikri de dahil olmak üzere büyüme oranlarının kısa bir incelemesini sunmaktadır . Büyüme oranlarının türe göre sınıflandırılması, büyük O veya Landau gösteriminden daha iyi bir araç sağlamaya yardımcı olur , çünkü sınırlı fonksiyonun analitik yapısı ve integral dönüşümleri hakkında bir dizi teorem belirtilebilir. Özellikle, Nachbin teoremi, yakınsama alanını vermek için kullanılabilir.genelleştirilmiş Borel dönüşümü , aşağıda verilmiştir.

Üstel tür

Karmaşık düzlemde tanımlanan bir f ( z ) fonksiyonunun , M ve α sabitleri varsa üstel tipte olduğu söylenir.

{\ displaystyle | f (yeniden ^ {i \ teta}) | \ leq Me ^ {\ alfa r}}

sınırında . Burada, karmaşık değişken z , limitin her yönde hold tutması gerektiğini vurgulamak için yazılmıştır . Aday α icar infimum tüm bu a bir işlev söylüyor f taşımaktadır üstel tip a . ${\ displaystyle r \ ila \ infty}$ ${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}$

Örneğin, izin ver . Sonra biri bunun üssel tipte π olduğunu söyler , çünkü π hayali eksen boyunca büyümesini sınırlayan en küçük sayıdır . Bu nedenle, bu örnek için, Carlson teoremi , π'dan daha küçük üstel tipte fonksiyonlar gerektirdiğinden uygulanamaz. ${\ Displaystyle f (z) = \ günah (\ pi z)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z)}$

Ψ türü

Üstel fonksiyonun yanı sıra diğer fonksiyonlar için sınırlama tanımlanabilir. Genel olarak, bir işlev , bir dizi varsa bir karşılaştırma işlevidir. ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

{\ displaystyle \ Psi (t) = \ toplamı _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} t ^ {n}}

tüm n için ile ve ${\ displaystyle \ Psi _ {n}> 0}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ ila \ infty} {\ frac {\ Psi _ {n + 1}} {\ Psi _ {n}}} = 0.}

Karşılaştırma fonksiyonları zorunlu olarak tamdır ve bu oran testini takip eder . Eğer böyle bir karşılaştırma işlevidir, bir sonra söylüyor f orada sabitleri varsa Ψ-tiptedir M ve t alınmak şekilde ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

{\ Displaystyle \ sol | f \ sol (yeniden ^ {i \ teta} \ sağ) \ sağ | \ leq M \ Psi (\ tau r)}

as . Τ tüm bu bir infimum ise τ biri söylüyor f Ψ tipi taşımaktadır t alınmak . ${\ displaystyle r \ ila \ infty}$

Nachbin teoremi , dizi ile bir f ( z ) fonksiyonunun

{\ displaystyle f (z) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} z ^ {n}}

Ψ tipinde τ ancak ve ancak

{\ displaystyle \ limsup _ {n \ ila \ infty} \ sola | {\ frac {f_ {n}} {\ Psi _ {n}}} \ sağ | ^ {1 / n} = \ tau.}

Borel dönüşümü

Nachbin teoremi, Cauchy teoremine benzer durumlarda ve integral dönüşümler için acil uygulamalara sahiptir . Örneğin, genelleştirilmiş Borel dönüşümü şu şekilde verilir:

{\ displaystyle F (w) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f_ {n}} {\ Psi _ {n} w ^ {n + 1}}}.}

Eğer f Ψ tipi taşımaktadır t alınmak , yakınsama etki alanının ardından dış ve onun tekil noktalarının tümünü, diskin içinde bulunan ${\ displaystyle F (w)}$

{\ displaystyle | w | \ leq \ tau.}

Ayrıca, biri vardır

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ gamma} \ Psi (zw) F (w) \, dw}

nerede entegrasyon kontur y diskini çevreleyen . Bu , üstel tip için olağan Borel dönüşümünü genelleştirir , burada . Genelleştirilmiş Borel dönüşümü için integral formu da aşağıdaki gibidir. Izin vermek , birinci türevi aralığa bağlı bir fonksiyon olsun , böylece ${\ displaystyle | w | \ leq \ tau}$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = e ^ {t}}$ ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Psi _ {n}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {n} \, d \ alpha (t)}

nerede . Daha sonra genelleştirilmiş Borel dönüşümünün integral formu ${\ displaystyle d \ alpha (t) = \ alpha ^ {\ üssü} (t) \, dt}$

{\ displaystyle F (w) = {\ frac {1} {w}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f \ sol ({\ frac {t} {w}} \ sağ) \, d \ alfa (t).}

Sıradan Borel dönüşümü ayarlanarak yeniden kazanılır . Borel dönüşümünün integral formunun sadece Laplace dönüşümü olduğuna dikkat edin . ${\ displaystyle \ alpha (t) = e ^ {- t}}$

Nachbin resummation

Nachbin resummation (genelleştirilmiş Borel dönüşümü), olağan Borel toplamına kaçan ıraksak serileri toplamak veya hatta formun (asimptotik olarak) integral denklemlerini çözmek için kullanılabilir:

{\ displaystyle g (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} K (st) f (t) \, dt}

burada f ( t ) üstel büyüme gösterebilir veya olmayabilir ve çekirdek K ( u ) bir Mellin dönüşümüne sahiptir . Çözelti olarak elde edilebilir olan ve M ( n ) Mellin dönüşümü olan K ( u ). Buna bir örnek Gram serisidir. ${\ displaystyle f (x) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} x ^ {n}}$ ${\ displaystyle g (s) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} s ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ pi (x) \ yaklaşık 1+ \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ log ^ {n} (x)} {n \ cdot n! \ zeta (n + 1)}}.}$

bazı durumlarda ekstra koşul olarak sonlu ve 0'dan farklı olmamız gerekir . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} K (t) t ^ {n} \, dt}$ ${\ displaystyle n = 0,1,2,3, ...}$

Fréchet alanı

Üstel tipte fonksiyonların Koleksiyonları bir oluşturabilecek komple üniforma alanı , yani bir Fréchet boşluk tarafından, topoloji sayılabilen ailesi tarafından uyarılan normlar ${\ displaystyle \ tau}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ sol [- \ sol (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ sağ ) | z | \ sağ] | f (z) |.}

Ayrıca bakınız

Referanslar

L. Nachbin, "Sonlu üstel tipteki integral fonksiyonları kavramının bir uzantısı", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
Ralph P. Boas, Jr. ve R. Creighton Buck, Analitik Fonksiyonların Polinom Genişlemeleri (İkinci Baskı Düzeltildi) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Kongre Kart Numarası 63-23263 Kütüphanesi. (Nachbin teoremine ilişkin bir açıklama ve kanıtın yanı sıra bu konunun genel bir incelemesini sağlar.)
AF Leont'ev (2001) [1994], "Üstel tipin işlevi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
AF Leont'ev (2001) [1994], "Borel dönüşümü" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

Languages

In other projects