Mylar balon (geometri) - Mylar balloon (geometry)

İn geometrisi , bir balona a, dönme yüzeyi . Küre , belirli bir yüzey alanı için maksimum hacmi çevreleyen yüzey iken , mylar balon bunun yerine belirli bir genel yay uzunluğu için hacmi maksimuma çıkarır . Hafifçe düzleştirilmiş bir küreye benzer.

Şekil yaklaşık olarak iki dairesel esnek, esnek olmayan malzemeden yapılmış fiziksel bir balonun şişirilmesiyle gerçekleştirilir ; örneğin, alüminize plastikten yapılmış popüler bir oyuncak balon türü . Belki de mantığa aykırı olarak, şişirilmiş balonun yüzey alanı, dairesel tabakaların yüzey alanından daha azdır. Bunun nedeni, jantın yakınında artan yüzeyin fiziksel kıvrılmasıdır.

"Mylar balon", şekli ilk araştıran W. Paulson tarafından verilen şekle verilen isimdir. Terim daha sonra diğer yazarlar tarafından kabul edildi. "Mylar", DuPont'un ticari markasıdır .

Tanım

Balonun generatrisinin pozitif kısmı z ( x ) fonksiyonudur, burada belirli bir generatrix uzunluğu için a :

${\displaystyle z(r)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!{\sqrt {1+z'(x)^{2}}}\,dx\,=a}$ (yani: generatrix uzunluğu verilir)

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!4\pi xz(x)\,dx}$ bir maksimumdur (yani: hacim maksimumdur)

Burada r yarıçapı kısıtlamalardan belirlenir.

parametrik karakterizasyon

Yarıçapı r olan bir balonun generatrisi için parametrik denklemler şu şekilde verilir:

${\displaystyle x(u)=r\cos u;\qquad z(u)=r{\sqrt {2}}\left[E(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}}) -{\frac {1}{2}}F(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]{\text{ for }}u\in [0,{\frac { \pi }{2}}]\,}$

(ki burada E ve F olan eliptik integral ve ikinci ve birinci tür)

Ölçüm

Balonun "kalınlığı" τ (yani, dönme eksenindeki mesafe) yukarıdaki parametrik denklemlerden hesaplanarak belirlenebilir . Kalınlık yaklaşık ${\displaystyle 2z({\frac {\pi }{2}})}$

τ ≈ 0,599 · 2 r .

Oranı t alınmak için r balonun boyutundan bağımsızdır.

Generatrix'in yay uzunluğunun a balonun yarıçapına oranı yaklaşık olarak

a / r ≈ 1.3110. (referans, "a"nın sönük balonun yarıçapı, "r"nin şişirilmiş balonun yarıçapı olduğunu belirtir)

Hacim balonun ile verilir:

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi ar^{2},}$

burada a , generatrisin yay uzunluğudur).

Veya alternatif olarak:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\tau a^{2},}$

τ dönme eksenindeki kalınlıktır

Yüzey geometrisi

Mylar balonun her noktasındaki ana eğriliklerin oranı tam olarak 2'dir, bu da onu Weingarten yüzeyinin ilginç bir örneği haline getirir . Ayrıca, bu tek özellik balonu tam olarak karakterize eder. Balon, dönme ekseninde açıkça daha düzdür; bu nokta aslında herhangi bir yönde sıfır eğriliğe sahiptir.

Ayrıca bakınız

• Kağıt torba sorunu

Referanslar

• Mladenov, IM (2001). "Mylar Balonun Geometrisi Üzerine". CR Acad. Bulgu. bilim 54 : 39-44. Bibcode : 2001CRABS..54i..39M .
• Paulsen, WH (1994). "Mylar Balonun Şekli Nedir?". Amerikan Matematiksel Aylık . 101 (10): 953-958. doi : 10.2307/2975161 . JSTOR  2975161 .
• Finch, Steven (13 Ağustos 2013). "Elastik olmayan bir zarı şişirmek" (PDF) .