Maksimum ve minimum - Maxima and minima

cos(3π x )/ x , 0.1≤ x ≤1.1 için yerel ve global maksimum ve minimum

Olarak matematiksel analiz , maksimum ve minimum (karşılık gelen çoğul maksimum ve minimum a) fonksiyonu gibi yaygın olarak bilinen, ekstremumu (çoğul ekstrem ), belirli bir mesafede olan, ya da fonksiyonun en büyük ve en küçük değer aralığı ( yerel veya göreli ekstremum) veya tüm alan üzerinde ( global veya mutlak ekstremum). Pierre de Fermat , fonksiyonların maksimum ve minimumlarını bulmak için genel bir teknik olan uygunluk öneren ilk matematikçilerden biriydi .

Tanımlandığı üzere bir dizi teori , bir maksimum ve minimum grubu olan en büyük ve en küçük elemanlar , sırasıyla, set. Sınırsız sonsuz kümeler böyle bir set olarak, reel sayılar , hiçbir minimum ve maksimum var.

Tanım

Bir X alanında tanımlanan gerçek değerli bir f fonksiyonu , global (veya mutlak ) bir maksimum noktaya sahiptir. de x * , eğer f ( x * ) ≥ f ( x ), herkese x içinde X . Benzer şekilde, fonksiyonun global (veya mutlak ) bir minimum noktası vardır.de x * , eğer f ( x * ) ≤ f ( x ), herkese x içinde X . Fonksiyonun maksimum noktadaki değerine denir. fonksiyonun maksimum değeri ile gösterilirve fonksiyonun minimum noktadaki değerine denir.fonksiyonun minimum değeri . Sembolik olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir:

global bir maksimum fonksiyon noktası ise

Küresel minimum noktanın tanımı da benzer şekilde ilerler.

X alanı bir metrik uzay ise , f'nin yerel (veya göreli ) bir maksimum noktasına sahip olduğu söylenir.noktada X * , bir mevcutsa £ değenni > 0 öyle ki f ( x * ) ≥ f ( x ), herkese x de X mesafesi içinde £ değerinin bir x * . Benzer şekilde, fonksiyonun yerel bir minimum noktası vardır.de x * , eğer f ( x * ) ≤ f ( x tüm) x de x mesafesi içinde £ değerinin arasında X * . X bir topolojik uzay olduğunda benzer bir tanım kullanılabilir , çünkü az önce verilen tanım komşuluklar cinsinden yeniden ifade edilebilir. Matematiksel olarak, verilen tanım aşağıdaki gibi yazılır:

Let bir metrik uzay ve fonksiyonu . Sonra fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır eğer öyle ki

Yerel minimum noktanın tanımı da benzer şekilde ilerleyebilir.

Hem küresel hem de yerel durumlarda, bir kavram katı ekstremum tanımlanabilir. Örneğin,xbirSıkı küresel maksimum noktası herkes için eğerxinxile x x * , elimizdeki f ( x * )> f ( x )vex*bir olduğunuSıkı lokal maksimum noktası bazı mevcutsa £ değenni > 0öyle, hepsi içinxinXmesafesi dahilinde£ değerininaitx*ile x x * , elimizdeki f ( x * )> f ( x ). Bir noktanın, ancak ve ancak benzersiz bir global maksimum nokta olması durumunda katı bir global maksimum nokta olduğuna ve benzer şekilde minimum noktalar için olduğuna dikkat edin.

Bir sürekli bir ile gerçek değerli bir fonksiyondur kompakt etki her zaman maksimum noktası ve minimum noktası vardır. Önemli bir örnek, etki alanı, kapalı ve sınırlı bir fonksiyonudur aralığı içinde gerçek sayılar (yukarıdaki paragraf).

Arama

Genel maksimum ve minimumları bulmak matematiksel optimizasyonun amacıdır . Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta sürekli ise, aşırı değer teoremi ile global maksimum ve minimum vardır. Ayrıca, global bir maksimum (veya minimum) ya alanın içinde yerel bir maksimum (veya minimum) olmalı ya da alanın sınırında bulunmalıdır. Bu nedenle, küresel bir maksimum (veya minimum) bulma yöntemi, iç kısımdaki tüm yerel maksimumlara (veya minimumlara) bakmak ve ayrıca sınırdaki noktaların maksimumlarına (veya minimumlarına) bakmak ve en büyüğünü almaktır ( veya en küçük) bir.

Olasılıkla en önemlisi henüz oldukça açık, özellik sürekli reel değerli fonksiyonları gerçek değişken onlar olmasıdır azaltmak yerel minimum öncesi ve artırmak aynı şekilde maksimumlar için, sonradan. Eğer (Biçimsel olarak, ön gerçek değişken ile ilgili sürekli gerçek değerli bir fonksiyondur x , o zaman X 0 , yerel minimum ancak ve ancak orada mevcut bir < x 0 < b böyle f (azalırsa birx 0 ) ve artışlar ile ( x 0b )) Bunun doğrudan bir sonucu, yerel ekstremin kritik noktalarda (veya fonksiyonun türevlenebilir olmadığı noktalarda) meydana gelmesi gerektiğini belirten Fermat teoremidir . Yeterli türevlenebilirlik verildiğinde , birinci türev testi , ikinci türev testi veya daha yüksek dereceli türev testi kullanılarak kritik bir noktanın yerel maksimum veya yerel minimum olup olmadığı ayırt edilebilir .

Parçalı olarak tanımlanan herhangi bir fonksiyon için, her bir parçanın maksimumunu (veya minimumunu) ayrı ayrı bularak ve ardından hangisinin en büyük (veya en küçük) olduğuna bakarak maksimum (veya minimum) bulunur.

Örnekler

xx'in global maksimumu , x = e'de gerçekleşir .
fonksiyon Maksimum ve minimum
x 2 x = 0'da benzersiz global minimum .
x 3 Global minimum veya maksimum yok. x = 0'da birinci türev (3 x 2 ) 0 olmasına rağmen , bu bir bükülme noktasıdır . (2. türev bu noktada 0'dır.)
x = e'de benzersiz global maksimum . (Sağdaki şekle bakın)
x - x x = 1/ e'deki pozitif gerçek sayılar üzerinde benzersiz global maksimum .
x 3 /3 - X Birinci türev x 2 − 1 ve ikinci türev 2 x . Birinci türevi 0'a ayarlamak ve x'i çözmek , -1 ve + 1'de durağan noktalar verir . İkinci türevin işaretinden, -1'in yerel bir maksimum ve +1'in yerel bir minimum olduğunu görebiliriz. Bu işlevin global maksimum veya minimum değeri yoktur.
| x | Türev x = 0'da olmadığı için türev alınarak bulunamayan x = 0'daki global minimum .
çünkü( x ) 0, ±2 π , ±4 π , ...'de sonsuz sayıda global maksimum ve ± π , ±3 π , ±5 π , ...'de sonsuz sayıda global minimum.
2 cos( x ) − x Sonsuz sayıda yerel maksimum ve minimum, ancak global maksimum veya minimum yok.
cos(3 π x )/ x ile 0.1 ≤ x ≤ 1.1 Küresel maksimum X  = 0.1 (sınır), yakın bir global minimuma x  = 0,3, yakın yerel maksimum X  = 0.6 ve yakın yerel minimum x  = 1.0. (Sayfanın üstündeki şekle bakın.)
x 3 + 3 x 2 − 2 x + 1 kapalı aralık (segment) üzerinden tanımlanır [−4,2] Yerel maksimum X  = -1 15 /3, yerel minimum X  = -1+ 15 de / 3, global maksimumun x  = 2 ve global minimuma X  = -4.

Pratik bir örnek için, birinin ayakları çitle çevrili olduğu ve dikdörtgen bir muhafazanın kare görüntüsünü maksimize etmeye çalıştığı bir durumu varsayalım ; burada uzunluk, genişlik ve alandır:

ile ilgili türev :

Bunu eşitlemek

tek kritik noktamızın bu olduğunu ortaya koyuyor . Şimdi , sınırlı olan aralığı belirleyerek uç noktaları alın . Genişlik pozitif olduğundan, o zaman ve beri , bu . Kritik noktada Tak , hem de bitiş noktaları ve , içine , ve sonuçlarıdır ve sırasıyla.

Bu nedenle, bir dikdörtgen ayak eskrim ile ulaşılabilecek en büyük alan .

Birden fazla değişkenli fonksiyonlar

Peano yüzeyi , 19. yüzyılın yerel maksimumlarının bazı kriterlerine karşı bir örnek
Küresel maksimum, en üstteki noktadır.
Karşı örnek: Kırmızı nokta, küresel bir minimum olmayan bir yerel minimumu gösterir.

Birden fazla değişkenli fonksiyonlar için benzer koşullar geçerlidir. Örneğin, sağdaki (genişletilebilir) şekilde, yerel bir maksimum için gerekli koşullar, tek değişkenli bir fonksiyonun koşullarına benzer. Birinci kısmi türev olarak z (değişken maksimize edilecek) en fazla sıfır (şekilde üstte parlayan nokta) vardır. İkinci kısmi türevler negatiftir. Bunlar, bir eyer noktası olasılığı nedeniyle yerel bir maksimum için yalnızca gerekli, yeterli olmayan koşullardır . Bu koşulların bir maksimumu çözmek için kullanılması için, z fonksiyonu da baştan sona türevlenebilir olmalıdır . İkinci kısmi türev testi göreli maksimum ya da göreli olarak en az noktası sınıflandırılmasına yardımcı olabilir. Buna karşılık, global ekstremumun tanımlanmasında tek değişkenli fonksiyonlar ile birden fazla değişkenli fonksiyonlar arasında önemli farklılıklar vardır. Örneğin , gerçek doğruda kapalı bir aralıkta tanımlanan sınırlı bir türevlenebilir f fonksiyonu , yerel bir minimum olan tek bir kritik noktaya sahipse, o zaman aynı zamanda global bir minimumdur ( bunu kanıtlamak için ara değer teoremini ve Rolle teoremini kullanın). azaltma reklam imkansız ). İki ve daha fazla boyutta bu argüman başarısız olur. Bu fonksiyon ile gösterilmiştir.

tek kritik noktası (0,0) olan, ki bu f (0,0) = 0 ile yerel bir minimumdur. Ancak, global olamaz, çünkü f (2,3) = -5.

Bir fonksiyonelin maksimumu veya minimumu

Bir ekstrem bulunabilir olan bir fonksiyon alan fonksiyonlarının kendini oluşuyorsa (bir extremum bir bölgesinin bulunabilir ise, yani fonksiyonel ), sonra ekstrem kullanılarak bulunur varyasyon hesabı .

kümelerle ilgili olarak

Kümeler için maksimum ve minimum da tanımlanabilir. Bir Genel olarak, sıralı dizi S bir sahiptir büyük eleman m , o zaman m, a, maksimal elemanı kümesinin, aynı zamanda şu şekilde ifade . Ayrıca, eğer S olan bir bir alt sıralı dizi T ve m, büyük elemanıdır S (indüklediği sıraya göre T ), daha sonra m, a, en üst sınırı arasında S olarak T . Benzer sonuçlar en az eleman , en az eleman ve en büyük alt sınır için geçerlidir . Kümeler için maksimum ve minimum işlev veritabanlarında kullanılır ve bir kümenin maksimumu (veya minimumu) bir bölümün maksimumundan hesaplanabildiğinden hızlı bir şekilde hesaplanabilir; resmi olarak, bunlar kendi kendine parçalanabilen toplama işlevleridir .

Genel bir kısmi düzen söz konusu olduğunda, en küçük öğe (yani, diğerlerinden daha küçük olan), minimum öğeyle karıştırılmamalıdır (hiçbir şey daha küçük değildir). Benzer şekilde, bir büyük eleman a kısmen sıralı bir setin (poşet) bir bir üst sınırı , bir oysa grubu içinde yer alır kümesinin maksimal eleman m bir poşet içinde A bir elemanıdır bir şekilde, eğer mb herhangi ( b içinde A ), daha sonra m = b . Bir pozun herhangi bir en küçük öğesi veya en büyük öğesi benzersizdir, ancak bir pozun birkaç minimum veya maksimum öğesi olabilir. Bir pozun birden fazla maksimum öğesi varsa, bu öğeler karşılıklı olarak karşılaştırılabilir olmayacaktır.

Bir de tamamen sıralı grubu, ya da zincir , tüm elemanlar karşılıklı olarak karşılaştırılabilir nedenle, bu tür bir dizi en az bir en az bir eleman ve en az bir maksimal elemanı olabilir. Daha sonra, karşılıklı karşılaştırılabilirlik nedeniyle, minimal eleman aynı zamanda en küçük eleman olacak ve maksimum eleman aynı zamanda en büyük eleman olacaktır. Böylece tamamen sıralı bir kümede minimum ve maksimum terimlerini kullanabiliriz .

Bir zincir sonluysa, her zaman bir maksimumu ve bir minimumu olacaktır. Bir zincir sonsuzsa, maksimum veya minimum olması gerekmez. Örneğin, doğal sayılar kümesinin minimumu olmasına rağmen maksimumu yoktur. Sonsuz bir zincir S sınırlıysa, kümenin Cl ( S ) kapanışı bazen bir minimuma ve bir maksimuma sahiptir, bu durumda bunlara sırasıyla S kümesinin en büyük alt sınırı ve en küçük üst sınırı denir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar