Dairesel ortalama - Circular mean

Gelen matematik ve istatistik , bir dairesel ortalama ya da açısal ortalama a, ortalama için tasarlanmış açıları ve bu şekilde içindeki siklik miktarlarda, günlerinin ve kesirli bir gerçek sayılar . Bu gereklidir, çünkü olağan araçların çoğu açıya benzer miktarlar için uygun olmayabilir. Örneğin, 0° ve 360°'nin aritmetik ortalaması 180°'dir, bu yanıltıcıdır çünkü 360°, bir tam döngü 0° modülüne eşittir. Başka bir örnek olarak, 23:00 ile 01:00 arasındaki "ortalama süre", iki saatin tek bir gecenin veya tek bir takvim gününün parçası olmasına bağlı olarak gece yarısı veya öğlendir. Dairesel ortalama, dairesel istatistiklerin ve Öklidyen olmayan uzayların istatistiklerinin en basit örneklerinden biridir .

Tanım

Aritmetik ortalama açılar için her zaman uygun olmadığından, hem ortalama bir değer elde etmek hem de açıların varyansını ölçmek için aşağıdaki yöntem kullanılabilir :

Noktaları karşılık gelen tüm açıları dönüştürme birim çember , örneğin için . Olduğunu, dönüştürmek kutupsal koordinatları için kartezyen koordinatlar . Sonra bu noktaların aritmetik ortalamasını hesaplayın . Ortaya çıkan nokta, birim diskin içinde yer alacaktır. Bu noktayı tekrar kutupsal koordinatlara dönüştürün. Açı, giriş açılarının makul bir ortalamasıdır. Tüm açılar eşitse elde edilen yarıçap 1 olacaktır. Açılar daire üzerinde düzgün bir şekilde dağılmışsa, elde edilen yarıçap 0 olacaktır ve dairesel bir ortalama yoktur. (Aslında, daire üzerinde sürekli bir ortalama işlemi tanımlamak imkansızdır .) Diğer bir deyişle, yarıçap, açıların yoğunluğunu ölçer. ${\görüntüleme stili \alfa }$${\ Displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

Açılar verildiğinde, arktanjant fonksiyonunun atan2 varyantını kullanan ortalamanın ortak bir formülü şudur: ${\displaystyle \alpha _{1},\dots,\alpha _{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatöradı {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j} ,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\sağ)=\operatöradı {atan2} \left(\sum _{j=1 }^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\sağ)}$

veya karmaşık sayıları kullanarak :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \sol(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\sağ)}$

Puanların aritmetik ortalamalarını kullanarak yukarıdaki türevi eşleştirmek için, toplamların 'ye bölünmesi gerekir . Ancak, ölçeklendirme ve için önemli değildir , bu nedenle ihmal edilebilir. ${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle \ operatör adı {atan2} }$${\görüntüleme stili \arg }$

Bu hesaplama, aritmetik ortalamadan farklı bir sonuç üretir ve açılar geniş bir şekilde dağıtıldığında fark daha büyüktür. Örneğin, 0°, 0° ve 90° üç açının aritmetik ortalaması (0+0+90)/3 = 30°'dir, ancak vektör ortalaması 26.565°'dir. Ayrıca, aritmetik ortalama ile dairesel varyans sadece ±180° olarak tanımlanır.

Özellikler

dairesel ortalama ${\ Displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• von Mises dağılımının ortalama parametresinin olasılığını maksimize eder ve
• daire üzerindeki belirli bir mesafenin toplamını en aza indirir, daha kesin olarak

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatöradı {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ burada }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

Uzaklık , ve ile ilişkili birim çember üzerindeki iki nokta arasındaki kare Öklid mesafesinin yarısına eşittir .${\görüntüleme stili d(\varphi ,\beta )}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \beta }$

Örnek

Bir dizi açının ortalamasını ([0°, 360°) aralığında) hesaplamanın basit bir yolu, her açının kosinüs ve sinüslerinin ortalamasını hesaplamak ve ters tanjantı hesaplayarak açıyı elde etmektir. Örnek olarak şu üç açıyı düşünün: 10, 20 ve 30 derece. Sezgisel olarak, ortalamayı hesaplamak, bu üç açıyı birbirine eklemeyi ve 3'e bölmeyi içerir, bu durumda gerçekten de 20 derecelik doğru bir ortalama açıyla sonuçlanır. Bu sistemi saat yönünün tersine 15 derece döndürerek üç açı 355 derece, 5 derece ve 15 derece olur. Saf ortalama şimdi 125 derecedir, bu da 5 derece olması gerektiği gibi yanlış cevaptır. Vektör ortalaması , ortalama sinüs ve ortalama kosinüs kullanılarak aşağıdaki şekilde hesaplanabilir : ${\textstyle {\bar {\theta }}}$${\textstyle {\bar {s}}}$${\textstyle {\bar {c}}\değil =0}$

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{ \circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\yaklaşık 0.086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{ \circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\yaklaşık 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\sağ)&{\ bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \sol({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\sağ)+180^{ \circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\sağ)+360^{\circ }&{ \bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\sağ)=\ arctan(0.087)=5^{\circ }.}$

Bu, yönlü verilerin aslında birim uzunluk vektörleri olduğunun farkına varılarak daha özlü bir şekilde ifade edilebilir. Tek boyutlu verileri durumunda, bu veri noktaları birim büyüklüğü kompleks sayı olarak uygun bir ifade edilebilir , ölçülen açıdır. Örnek için ortalama sonuç vektörü şu şekildedir: ${\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}$${\görüntüleme stili \teta}$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

Örnek ortalama açısı, ortalama sonucun argümanıdır :

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatöradı {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

Örnek ortalama sonuç vektörünün uzunluğu:

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

ve 0 ile 1 arasında bir değere sahip olacaktır. Böylece örnek ortalama sonuç vektörü şu şekilde temsil edilebilir:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}$

Dairesel varyansı tanımlamak için de benzer hesaplamalar kullanılır .

Ayrıca bakınız

• Dairesel dağıtım
• Dairesel standart sapma
• Yön istatistikleri
• merkez
• kütle merkezi

Referanslar

daha fazla okuma

Jammalamadaka, S. Rao ve SenGupta, A. (2001). Dairesel İstatistiklerdeki Konular , Bölüm 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN  981-02-3778-2

Dış bağlantılar

• C++11 ile Dairesel Değerler Matematik ve İstatistik , Dairesel değerler (açılar, günün saati vb.) matematik ve istatistik için bir C++11 altyapısı