Ortalama eğrilik - Mean curvature

Gelen matematik , ortalama eğrilik a yüzeyi bir bir dış ölçüsü eğrilik gelen diferansiyel geometri ve yerel olarak bir eğriliğini tarif gömülü gibi bazı çevre alanı yüzey Öklid alanı . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle S}$

Kavram, esneklik teorisi üzerine çalışmasında Sophie Germain tarafından kullanıldı . Jean Baptiste Marie Meusnier , 1776'da minimal yüzey çalışmalarında kullandı . Ortalama eğriliği sıfır olan minimal yüzeylerin analizinde ve örneğin Young-Laplace denklemi ile statik akışlarda sabit ortalama eğriliğe sahip sıvılar ( sabun filmleri gibi) arasındaki fiziksel arayüzlerin analizinde önemlidir. .

Tanım

Yüzeyde bir nokta olsun . Bir (düzlem) eğriyi kesmek için normal çizgiyi içeren her düzlem . Bir birim normal seçimini sabitlemek, bu eğriye işaretli bir eğrilik verir. Düzlem bir açıyla (her zaman normal çizgiyi içeren) döndürüldüğünde, bu eğrilik değişebilir. Maksimum kavisi ve minimum eğrilik şekilde bilinmektedir eğrilikleri arasında . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ displaystyle S}$

Ortalama eğrilik de o zaman bütün açılarda imzalanan eğrilik ortalamasıdır : ${\ displaystyle p \ S'de}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ theta) \; d \ theta}$.

Euler teoremini uygulayarak , bu, temel eğriliklerin ortalamasına eşittir ( Spivak 1999 , Cilt 3, Bölüm 2):

${\ displaystyle H = {1 \ over 2} (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}).}$

Daha genel olarak ( Spivak 1999 , Cilt 4, Bölüm 7), bir hiper yüzey için ortalama eğrilik şu şekilde verilir: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {n}} \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} \ kappa _ {i}.}$

Daha soyut olarak, ortalama eğrilik, ikinci temel formun izinin n'ye bölünmesidir (veya eşdeğer olarak şekil operatörü ).

Buna ek olarak, ortalama eğrilik açısından yazılabilir bildirdiğinden türevi olarak ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle H {\ vec {n}} = g ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} X,}$

kullanılarak Gauss Weingarten ilişkileri, burada bir düzgün gömülü hiperyüzey olduğu bir birim, normal vektör, ve metrik tensör . ${\ displaystyle X (x)}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle g_ {ij}}$

Bir yüzey minimum yüzeydir ancak ve ancak ortalama eğrilik sıfırsa. Ayrıca, yüzeyin ortalama eğriliği altında gelişen bir yüzeyin , ortalama eğrilik akış denklemi adı verilen ısı tipi bir denkleme uyduğu söylenir . ${\ displaystyle S}$

Küre sınır veya tekilliklerden olmadan sürekli pozitif ortalama eğrilik sadece gömülü yüzeydir. Ancak, "gömülü yüzey" durumu "daldırılmış yüzeye" zayıflatıldığında sonuç doğru değildir.

3B uzayda yüzeyler

3B uzayda tanımlanan bir yüzey için ortalama eğrilik, yüzeyin normal bir birimi ile ilişkilidir :

${\ displaystyle 2H = - \ nabla \ cdot {\ hat {n}}}$

seçilen normalin eğriliğin işaretini etkilediği yer. Eğriliğin işareti, normal seçimine bağlıdır: eğrilik, eğer yüzey normale "doğru" eğilirse pozitiftir. Yukarıdaki formül , birim normalin sapması hesaplanabildiği sürece, herhangi bir şekilde tanımlanan 3B uzaydaki yüzeyler için geçerlidir . Ortalama Eğrilik de hesaplanabilir

${\ displaystyle 2H = {\ text {İzleme}} ((\ mathrm {II}) (\ mathrm {I} ^ {- 1}))}$

burada I ve II, sırasıyla birinci ve ikinci ikinci dereceden form matrislerini belirtir.

Eğer yüzeyin parametrizasyon ve daha sonra ortalama eğrilik açısından yazılabilir parametre alanı içinde iki lineer bağımsız vektörlerdir birinci ve ikinci temel formları olarak ${\ displaystyle S (x, y)}$${\ displaystyle u, v}$

nerede . ${\ displaystyle E = \ mathrm {I} (u, u), F = \ mathrm {I} (u, v), G = \ mathrm {I} (v, v), l = \ mathrm {II} ( u, u), m = \ mathrm {II} (u, v), n = \ mathrm {II} (v, v)}$

İki koordinatın bir fonksiyonu olarak tanımlanan bir yüzeyin özel durumu için, örneğin , yukarı doğru normali kullanarak (ikiye katlanmış) ortalama eğrilik ifadesi şu şekildedir: ${\ displaystyle z = S (x, y)}$

${\ displaystyle {\ başlar {hizalı} 2H & = - \ nabla \ cdot \ sol ({\ frac {\ nabla (zS)} {| \ nabla (zS) |}} \ sağ) \\ & = \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla S- \ nabla z} {\ sqrt {1+ | \ nabla S | ^ {2}}}} \ sağ) \\ & = {\ frac {\ left (1+ \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi x}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) {\ frac {\ kısmi ^ {2} S} {\ kısmi y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi x}} {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi y}} {\ frac {\ kısmi ^ {2} S} {\ kısmi x \ kısmi y}} + \ left (1+ \ left ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi y}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) {\ frac {\ kısmi ^ {2} S} {\ kısmi x ^ { 2}}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi x}} \ sağ) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi y}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) ^ {3/2}}}. \ end {hizalı}}}$

Özellikle , ortalama eğriliğin Hessian matrisinin izinin yarısı olduğu bir noktada . ${\ displaystyle \ nabla S = 0}$${\ displaystyle S}$

Yüzey ek olduğu biliniyorsa eksenel simetrik olan , ${\ displaystyle z = S (r)}$

${\ displaystyle 2H = {\ frac {\ frac {\ kısmi ^ {2} S} {\ kısmi r ^ {2}}} {\ sol (1+ \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi) r}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) ^ {3/2}}} + {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r}} {\ frac {1} {r \ left (1+ \ sol ({\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r}} \ sağ) ^ {2} \ sağ) ^ {1/2}}},}$

türevi nereden geliyor . ${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi S} {\ kısmi r}} {\ frac {1} {r}}}$${\ displaystyle z = S (r) = S \ sol (\ scriptstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ sağ)}$

Ortalama eğriliğin örtük formu

Bir denklemle belirtilen bir yüzeyin ortalama eğriliği , gradyan ve Hessian matrisi kullanılarak hesaplanabilir.${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ nabla F = \ sol ({\ frac {\ kısmi F} {\ kısmi x}}, {\ frac {\ kısmi F} {\ kısmi y}}, {\ frac {\ kısmi F} {\ kısmi z}} \ sağ)}$

${\ displaystyle \ textstyle {\ mbox {Hess}} (F) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi x ^ {2}}} & {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi x \ kısmi y}} & {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi x \ kısmi z}} \\ {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ bölüm y \ bölüm x}} & {\ frac {\ bölüm ^ {2} F} {\ bölüm y ^ {2}}} & {\ frac {\ bölüm ^ {2} F} {\ kısmi y \ kısmi z}} \\ {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi z \ kısmi x}} & {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi z \ kısmi y} } & {\ frac {\ kısmi ^ {2} F} {\ kısmi z ^ {2}}} \ end {pmatrix}}.}$

Ortalama eğrilik şu şekilde verilir:

${\ displaystyle H = {\ frac {\ nabla F \ {\ mbox {Hess}} (F) \ \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} - | \ nabla F | ^ {2} \, {\ text {İz}} ({\ mbox {Hess}} (F))} {2 | \ nabla F | ^ {3}}}}$

Diğer bir biçim, normal birimin ıraksaması gibidir . Bir birim normal verilir ve ortalama eğrilik ${\ displaystyle {\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}}}$

${\ displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ sol ({\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}} \ sağ).}$

Akışkanlar mekaniğinde ortalama eğrilik

Akışkanlar mekaniğinde bazen iki faktörden kaçınmak için alternatif bir tanım kullanılır :

${\ displaystyle H_ {f} = (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) \,}$.

Bu , yüzey gerilimi süreleri olan bir denge küresel damlacık içindeki Young-Laplace denklemine göre basınçla sonuçlanır ; iki eğrilik, damlacık yarıçapının tersine eşittir ${\ displaystyle H_ {f}}$

${\ displaystyle \ kappa _ {1} = \ kappa _ {2} = r ^ {- 1} \,}$.

Minimal yüzeyler

Bir minimal yüzey bütün noktalarda sıfır ortalama eğriliğe sahip bir yüzeydir. Klasik örnekleri arasında catenoid , helikoidi ve Enneper yüzeyi . Son keşifler arasında Costa'nın minimal yüzeyi ve Gyroid yer alıyor .

CMC yüzeyleri

Minimal yüzey fikrinin bir uzantısı, sabit ortalama eğriliğe sahip yüzeylerdir. Hiperbolik uzayda birim sabit ortalama eğriliğin yüzeylerine Bryant yüzeyleri denir .

Ayrıca bakınız

• Gauss eğriliği
• Ortalama eğrilik akışı
• Ters ortalama eğrilik akışı
• Alan formülünün ilk varyasyonu
• Gerilmiş ızgara yöntemi

Notlar

Referanslar

• Spivak, Michael (1999), Diferansiyel geometriye kapsamlı bir giriş (Cilt 3-4) (3. baskı), Publish veya Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Cilt 3), (Cilt 4).
• P.Grinfeld (2014). Tensör Analizine Giriş ve Hareketli Yüzeyler Hesabı . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.