Markov numarası - Markov number
Bir Markov numarası veya Markov numarası bir pozitif tamsayıdır x , y veya z Markov için bir çözeltinin bir parçası olan Diofant denklemi
Andrey Markoff ( 1879 , 1880 ) tarafından incelenmiştir .
İlk birkaç Markov sayısı
- 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (dizi A002559 olarak OEIS )
Markov üçlülerinin koordinatları olarak görünen
- (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169) , 985), (13, 34, 1325), ...
Sonsuz sayıda Markov sayısı ve Markov üçlüsü vardır.
Markov ağacı
Eski bir Markov üçlüsünden yeni bir Markov üçlüsü elde etmenin iki basit yolu vardır ( x , y , z ). İlk olarak, x , y , z 3 sayısına izin verilebilir , böylece özellikle üçlüler x ≤ y ≤ z olacak şekilde normalleştirilebilir . İkinci olarak, eğer ( x , y , z ) bir Markov üçlüsüyse, o zaman Vieta atlama ile ( x , y , 3 xy − z ) olur. Bu işlemi iki kez uygulamak, başladığı üçlünün aynısını döndürür. Buradan elde edilebilecek 1, 2 veya 3 normalize üçlüye her bir normalize Markov üçlüsünün birleştirilmesi, diyagramdaki gibi (1,1,1)'den başlayan bir grafik verir. Bu grafik bağlı; başka bir deyişle, her Markov üçlüsü, bu işlemlerin bir dizisi ile (1,1,1)'e bağlanabilir. Örnek olarak (1, 5, 13) ile başlarsak, Markov ağacında z ise üç komşusunu (5, 13, 194), (1, 13, 34) ve (1, 2, 5) alırız. sırasıyla 1, 5 ve 13 olarak ayarlanır. Örneğin, (1, 1, 2) ile başlamak ve dönüşümün her yinelemesinden önce y ve z ticareti yapmak , Markov'un Fibonacci sayılarıyla üçlülerini listeler. Aynı üçlü ile başlamak ve her yinelemeden önce x ve z ticareti yapmak, Pell sayıları olan üçlüleri verir.
2'nin bölgesine bitişik bölgelerde tüm Markov numaraları tek-indisli olan Pell numaraları (veya numaraları N şekilde 2 n- 2 - 1 A kare, OEIS : A001653 ve 1'in bölgesine bitişik bölgelerde tüm Markov sayılardır) garip-endeksli Fibonacci sayıları ( OEIS : A001519 ). Böylece, formun sonsuz sayıda Markov üçlüsü vardır.
burada K x olan x Fibonacci sayıda inci. Aynı şekilde, formun sonsuz sayıda Markov üçlüsü vardır.
burada P x olan X inci Pell sayısı .
Diğer özellikler
En küçük iki tekil üçlü (1,1,1) ve (1,1,2) dışında, her Markov üçlüsü üç farklı tam sayıdan oluşur.
Olmakadır varsayım , belirli bir Markov numarası için belirtmektedir c , tam olarak bir normalize çözüm sahip olduğu c bu varsayım deliller iddia edilmiş fakat hiçbiri doğru gibi görünüyor: onun büyük unsur olarak.
Tek Markov sayıları 4'ün katlarından 1, çift Markov sayıları ise 32'nin katlarından 2 fazladır.
1982'de yazıda, Don Zagier conjectured n Markov sayıda inci asimptotik ile verilmektedir
Hata aşağıda çizilmiştir.
Ayrıca, orijinal Diophantine denkleminin bir yaklaşımının f ( t ) = arkosh (3 t /2) ile eşdeğer olduğuna dikkat çekti . Bu varsayım, 1995 yılında hiperbolik geometri teknikleri kullanılarak Greg McShane ve Igor Rivin tarafından kanıtlandı .
N inci Lagrange sayısı hesaplanabilir n formül Markov sayıda inci
Markov sayıları (benzersiz olmayan) kare çiftlerinin toplamıdır.
Markov teoremi
Markoff ( 1879 , 1880 ) gösterdi ki eğer
Gerçek katsayılı ile belirsiz bir ikili kuadratik şeklidir diskriminant , o tamsayılardır vardır x , y olan ön en mutlak değerinin sıfır olmayan bir değer alır
f bir Markov formu olmadıkça : a sabit çarpı a form
öyle ki
burada ( p , q , r ) bir Markov üçlüsüdür.
Bir de bulunmaktadır Markov teoremi içinde topoloji Andrey Markov, oğlu adını, Andrey Andreevich Markov .
matrisler
Tr matrisler üzerindeki trace fonksiyonunu göstersin . Eğer X ve Y'nin olan SL 2 ( ℂ , daha sonra)
- Tr ( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) + Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) + 2 = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2
öyle ki Tr( X ⋅ Y ⋅ X −1 ⋅ Y −1 ) = −2 ise
- Tr( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) = Tr( X ) 2 + Tr( Y ) 2 + Tr( X ⋅ Y ) 2
Özellikle X ve Y'nin tamsayı girişleri varsa, o zaman Tr( X )/3, Tr( Y )/3 ve Tr( X ⋅ Y )/3 bir Markov üçlüsüdür. Eğer X, ⋅ Y ⋅ Z = 1 daha sonra Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( Z ), bu nedenle daha fazla simetrik olarak eğer X , Y ve Z, SL olan 2 ile (ℤ) X ⋅ Y ⋅ Z = 1 ve komütatör ve ikisinde iz -2 var, o zaman izleri/3 bir Markov üçlüsüdür.
Ayrıca bakınız
Notlar
- ^ Cassels (1957) s.28
- ^ OEIS : A030452 listeleri Markov diğer iki terimlerinden biri 5'tir çözümlerinde görünen sayılar.
- ^ Cassels (1957) s.27
- ^ Adam (2004) s.263
- ^ Zhang, Ying (2007). "Belirli Markov Sayılarının Uyum ve Tekliği" . Açta Aritmetik . 128 (3): 295–301. arXiv : matematik/0612620 . Bibcode : 2007AcAri.128..295Z . doi : 10.4064/aa128-3-7 . MR 2313995 . S2CID 9615526 .
- ^ Zagier, Don B. (1982). "Belirli Bir Sınırın Altındaki Markoff Sayılarının Sayısı Üzerine" . Hesaplama Matematiği . 160 (160): 709-723. doi : 10.2307/2007348 . JSTOR 2007348 . MR 0669663 .
- ^ Greg McShane; Igor Rivin (1995). "Hiperbolik tori üzerine basit eğriler". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Seri I . 320 (12).
- ^ Cassels (1957) s.39
- ^ Louis H. Kauffman, Knots and Physics , s. 95, ISBN 978-9814383011
- ^ Aigner, Martin (2013), "Cohn ağacı", Markov Teoremi ve Benzersizlik Varsayımının 100 Yılı , Springer, s. 63–77, doi : 10.1007/978-3-319-00888-2_4 , ISBN 978-3-319-00887-5, MR 3098784.
Referanslar
- Cassels, JWS (1957). Diophantine yaklaşımına giriş . Matematik ve Matematiksel Fizikte Cambridge Yolları. 45 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . Zbl 0077.04801 .
- Kuzen, Thomas; Flahive, Mari (1989). Markoff ve Lagrange spektrumları . Matematik. Anketler ve Monograflar. 30 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023 .
- Adam, Richard K. (2004). Sayılar Teorisinde Çözülmemiş Problemler . Springer-Verlag . s. 263–265. ISBN'si 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 .
- Malyshev, AV (2001) [1994], "Markov spektrum problemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
- Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Matematikçi Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. ISSN 0025-5831 .
- Markoff, A. (1879). "İlk hafıza" . Matematikçi Annalen . 15 (3–4): 381–406. doi : 10.1007/BF02086269 . S2CID 179177894 .
- Markoff, A. (1880). "İkinci hafıza" . Matematikçi Annalen . 17 (3): 379-399. doi : 10.1007/BF01446234 . S2CID 121616054 .