Markov numarası - Markov number

Bir Markov numarası veya Markov numarası bir pozitif tamsayıdır x , y veya z Markov için bir çözeltinin bir parçası olan Diofant denklemi

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

Andrey Markoff  ( 1879 , 1880 ) tarafından incelenmiştir .

İlk birkaç Markov sayısı

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (dizi A002559 olarak OEIS )

Markov üçlülerinin koordinatları olarak görünen

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169) , 985), (13, 34, 1325), ...

Sonsuz sayıda Markov sayısı ve Markov üçlüsü vardır.

Markov ağacı

Eski bir Markov üçlüsünden yeni bir Markov üçlüsü elde etmenin iki basit yolu vardır ( x ,  y ,  z ). İlk olarak, x , y , z 3 sayısına izin verilebilir , böylece özellikle üçlüler x  ≤  y  ≤  z olacak şekilde normalleştirilebilir . İkinci olarak, eğer ( x ,  y ,  z ) bir Markov üçlüsüyse, o zaman Vieta atlama ile ( x ,  y , 3 xy  −  z ) olur. Bu işlemi iki kez uygulamak, başladığı üçlünün aynısını döndürür. Buradan elde edilebilecek 1, 2 veya 3 normalize üçlüye her bir normalize Markov üçlüsünün birleştirilmesi, diyagramdaki gibi (1,1,1)'den başlayan bir grafik verir. Bu grafik bağlı; başka bir deyişle, her Markov üçlüsü, bu işlemlerin bir dizisi ile (1,1,1)'e bağlanabilir. Örnek olarak (1, 5, 13) ile başlarsak, Markov ağacında z ise üç komşusunu (5, 13, 194), (1, 13, 34) ve (1, 2, 5) alırız. sırasıyla 1, 5 ve 13 olarak ayarlanır. Örneğin, (1, 1, 2) ile başlamak ve dönüşümün her yinelemesinden önce y ve z ticareti yapmak , Markov'un Fibonacci sayılarıyla üçlülerini listeler. Aynı üçlü ile başlamak ve her yinelemeden önce x ve z ticareti yapmak, Pell sayıları olan üçlüleri verir.

2'nin bölgesine bitişik bölgelerde tüm Markov numaraları tek-indisli olan Pell numaraları (veya numaraları N şekilde 2 n- ²  - 1 A kare, OEIS :  A001653 ve 1'in bölgesine bitişik bölgelerde tüm Markov sayılardır) garip-endeksli Fibonacci sayıları ( OEIS :  A001519 ). Böylece, formun sonsuz sayıda Markov üçlüsü vardır.

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

burada K _x olan x Fibonacci sayıda inci. Aynı şekilde, formun sonsuz sayıda Markov üçlüsü vardır.

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

burada P _x olan X inci Pell sayısı .

Diğer özellikler

En küçük iki tekil üçlü (1,1,1) ve (1,1,2) dışında, her Markov üçlüsü üç farklı tam sayıdan oluşur.

Olmakadır varsayım , belirli bir Markov numarası için belirtmektedir c , tam olarak bir normalize çözüm sahip olduğu c bu varsayım deliller iddia edilmiş fakat hiçbiri doğru gibi görünüyor: onun büyük unsur olarak.

Tek Markov sayıları 4'ün katlarından 1, çift Markov sayıları ise 32'nin katlarından 2 fazladır.

1982'de yazıda, Don Zagier conjectured n Markov sayıda inci asimptotik ile verilmektedir

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{ile }}C=2.3523414972\ldots . }$

Hata aşağıda çizilmiştir. ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

Ayrıca, orijinal Diophantine denkleminin bir yaklaşımının f ( t ) = arkosh (3 t /2) ile eşdeğer olduğuna dikkat çekti . Bu varsayım, 1995 yılında hiperbolik geometri teknikleri kullanılarak Greg McShane ve Igor Rivin tarafından kanıtlandı . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$${\görüntüleme stili f(x)+f(y)=f(z)}$

N inci Lagrange sayısı hesaplanabilir n formül Markov sayıda inci

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \üzerinde {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Markov sayıları (benzersiz olmayan) kare çiftlerinin toplamıdır.

Markov teoremi

Markoff ( 1879 , 1880 ) gösterdi ki eğer

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

Gerçek katsayılı ile belirsiz bir ikili kuadratik şeklidir diskriminant , o tamsayılardır vardır x ,  y olan ön en mutlak değerinin sıfır olmayan bir değer alır ${\ Displaystyle D=b^{2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

f bir Markov formu olmadıkça : a sabit çarpı a form

${\displaystyle piksel^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

öyle ki

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases} }}$

burada ( p ,  q ,  r ) bir Markov üçlüsüdür.

Bir de bulunmaktadır Markov teoremi içinde topoloji Andrey Markov, oğlu adını, Andrey Andreevich Markov .

matrisler

Tr matrisler üzerindeki trace fonksiyonunu göstersin . Eğer X ve Y'nin olan SL ₂ ( ℂ , daha sonra)

Tr ( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) + Tr( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) + 2 = Tr( X ) ² + Tr( Y ) ² + Tr( X ⋅ Y ) ²

öyle ki Tr( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) = −2 ise

Tr( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) = Tr( X ) ² + Tr( Y ) ² + Tr( X ⋅ Y ) ²

Özellikle X ve Y'nin tamsayı girişleri varsa, o zaman Tr( X )/3, Tr( Y )/3 ve Tr( X ⋅ Y )/3 bir Markov üçlüsüdür. Eğer X, ⋅ Y ⋅ Z  =  1 daha sonra Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( Z ), bu nedenle daha fazla simetrik olarak eğer X , Y ve Z, SL olan ₂ ile (ℤ) X ⋅ Y ⋅ Z  = 1 ve komütatör ve ikisinde iz -2 var, o zaman izleri/3 bir Markov üçlüsüdür.

Ayrıca bakınız

• Markov spektrumu

Notlar

Referanslar

• Cassels, JWS (1957). Diophantine yaklaşımına giriş . Matematik ve Matematiksel Fizikte Cambridge Yolları. 45 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . Zbl  0077.04801 .
• Kuzen, Thomas; Flahive, Mari (1989). Markoff ve Lagrange spektrumları . Matematik. Anketler ve Monograflar. 30 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023 .
• Adam, Richard K. (2004). Sayılar Teorisinde Çözülmemiş Problemler . Springer-Verlag . s. 263–265. ISBN'si 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001 .
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Markov spektrum problemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Matematikçi Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. ISSN  0025-5831 .

Markoff, A. (1879). "İlk hafıza" . Matematikçi Annalen . 15 (3–4): 381–406. doi : 10.1007/BF02086269 . S2CID  179177894 .

Markoff, A. (1880). "İkinci hafıza" . Matematikçi Annalen . 17 (3): 379-399. doi : 10.1007/BF01446234 . S2CID  121616054 .