Markov eşitsizliği - Markov's inequality

Markov'un eşitsizliği, belirli bir düzeyi aştığı durumda (kırmızı ile gösterilen) kümenin ölçüsü için bir üst sınır verir . Sınır, seviyeyi ortalama değeriyle birleştirir .${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\görüntüleme stili\varepsilon }$${\görüntüleme stili f}$

Olarak olasılık teorisi , Markov eşitsizliği bir verir üst sınırı için olasılık bir bu negatif olmayan fonksiyonu a rastgele değişkenin bir pozitif eşit ya da bundan daha büyük olan bir sabit . Adını Rus matematikçi Andrey Markov'dan almıştır, ancak daha önce Pafnuty Chebyshev'in (Markov'un öğretmeni) çalışmasında ortaya çıkmıştır ve birçok kaynak, özellikle analizde , buna Chebyshev'in eşitsizliği olarak atıfta bulunur (bazen, buna ilk Chebyshev eşitsizliği denir). Chebyshev'in eşitsizliğine ikinci Chebyshev eşitsizliği olarak atıfta bulunarak ) veya Bienaymé'nin eşitsizliği.

Markov'un eşitsizliği (ve diğer benzer eşitsizlikler) olasılıkları beklentilerle ilişkilendirir ve bir rasgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonu için (sıklıkla gevşek ama yine de yararlı) sınırlar sağlar .

Beyan

Eğer X, negatif olmayan bir rastgele değişken ve olduğu bir  > 0 , bu olasılık x , en azından, bir beklentisi en olduğu X bölü bir :

${\displaystyle \operatöradı {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatöradı {E} (X)}{a}}.}$

Let (nerede ); o zaman önceki eşitsizliği şu şekilde yeniden yazabiliriz: ${\displaystyle a={\tilde {a}}\cdot \operatöradı {E} (X)}$${\displaystyle {\tilde {a}}>0}$

${\displaystyle \operatöradı {P} (X\geq {\tilde {a}}\cdot \operatöradı {E} (X))\leq {\frac {1}{\tilde {a}}}.}$

Dilinde ölçü teorisi ise, Markov eşitsizliği devletler olduğunu ( X , Σ,  μ ) bir olan ölçü uzayı , bir olan ölçülebilir genişletilmiş reel -valued fonksiyon ve ε > 0 , daha sonra ${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|f|\, d\mu.}$

Bu ölçü-teorik tanım bazen Chebyshev'in eşitsizliği olarak adlandırılır .

Monoton artan fonksiyonlar için genişletilmiş versiyon

Eğer φ a, monoton artan negatif olmayan reals negatif olmayan fonksiyonu, X, rastgele değişken olup, bir ≥ 0 ve φ ( bir 0>) , sonra

${\displaystyle \operatöradı {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatöradı {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}.}$

0'dan büyük değerlerde desteklenen daha yüksek X momentlerini kullanan acil bir sonuç,

${\displaystyle \operatöradı {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatöradı {E} (|X|^{n})}{a^{n}}}.}$

Kanıtlar

Ölçüm uzayının bir olasılık uzayı olduğu durumu daha genel durumdan ayırırız çünkü olasılık durumu genel okuyucu için daha erişilebilirdir.

Sezgi

${\displaystyle \operatöradı {E} (X)=\operatöradı {P} (X<a)\cdot \operatöradı {E} (X|X<a)+\operatöradı {P} (X\geq a)\cdot \operatöradı {E} (X|X\geq a)}$burada Rv olarak 0'dan büyük negatif olmayan ve daha büyük olan koşullu beklenti sadece daha büyük değerler dikkate alır, çünkü rv olan sunar. ${\displaystyle \operatöradı {E} (X|X<a)}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle \operatöradı {E} (X|X\geq a)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili X}$

Dolayısıyla sezgisel olarak , bu da doğrudan yol açar . ${\displaystyle \operatöradı {E} (X)\geq \operatöradı {P} (X\geq a)\cdot \operatöradı {E} (X|X\geq a)\geq a\cdot \operatöradı {P} ( X\geq a)}$${\displaystyle \operatöradı {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatöradı {E} (X)}{a}}}$

Olasılık-teorik kanıt

Yöntem 1: Beklentinin tanımından:

${\displaystyle \operatöradı {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$

Bununla birlikte, X negatif olmayan bir rastgele değişkendir, dolayısıyla,

${\displaystyle \operatöradı {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\, dx}$

Bundan çıkarabileceğimiz,

${\displaystyle \operatöradı {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \ int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty } f(x)\,dx=a\operatöradı {Pr} (X\geq a)}$

Buradan, bölerek bunu görmemizi sağlar ${\görüntüleme stili bir}$

${\displaystyle \Pr(X\geq a)\leq \operatör adı {E} (X)/a}$

Yöntem 2: bir olay için , Let göstergesi rastgele değişken olduğu, eğer meydana gelir ve aksi. ${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle I_{E}}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle I_{E}=1}$${\görüntüleme stili E}$${\ Displaystyle I_{E}=0}$

Bu gösterimi kullanarak , olayın meydana gelip gelmediğini ve if . Sonra verilen , ${\displaystyle I_{(X\geq a)}=1}$${\displaystyle X\geq a}$${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$${\görüntüleme stili X<a}$${\görüntüleme stili a>0}$

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X}$

bu iki olası değeri göz önüne alırsak açıktır . Eğer , o zaman , vb . Aksi takdirde, bunun için ve benzerine sahibiz . ${\displaystyle X\geq a}$${\görüntüleme stili X<a}$${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$${\displaystyle aI_{(X\geq a)}=0\leq X}$${\displaystyle X\geq a}$${\displaystyle I_{X\geq a}=1}$${\displaystyle aI_{X\geq a}=a\leq X}$

Yana bunu tersine neden olan bir eşitsizlik her iki tarafın beklenti alarak, monoton artan bir fonksiyon olmasıdır. Öyleyse, ${\displaystyle \operatöradı {E} }$

${\displaystyle \operatöradı {E} (aI_{(X\geq a)})\leq \operatöradı {E} (X).}$

Şimdi, beklentilerin doğrusallığını kullanarak, bu eşitsizliğin sol tarafı,

${\displaystyle a\operatöradı {E} (I_{(X\geq a)})=a(1\cdot \operatöradı {P} (X\geq a)+0\cdot \operatöradı {P} (X<a) ))=a\operatöradı {P} (X\geq a).}$

Böylece biz var

${\displaystyle a\operatöradı {P} (X\geq a)\leq \operatöradı {E} (X)}$

ve a  > 0 olduğundan, her iki tarafı da a ile bölebiliriz  .

Ölçü-teorik kanıt

Denkleme sadece mutlak değeri girdiğinden , fonksiyonun negatif olmadığını varsayabiliriz . Şimdi, gerçek değerli işlevin düşünün lar üzerinde X tarafından verilen ${\görüntüleme stili f}$

${\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&{\text{if }}f(x)\geq \varepsilon \\0,&{\text{if }}f(x)< \varepsilon \end{durumlar}}}$

Sonra . Lebesgue integralinin tanımıyla${\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)}$

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\, f(x)\geq \varepsilon \})}$

ve , her iki taraf da elde edilerek bölünebildiğinden , ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over\varepsilon }\int _{X}f\,d\mu.}$

doğal sonuçlar

Chebyshev eşitsizliği

Chebyshev'in eşitsizliği , rastgele bir değişkenin ortalamadan çok sapma olasılığını sınırlamak için varyansı kullanır . özellikle,

${\displaystyle \operatöradı {P} (|X-\operatöradı {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatöradı {Var} (X)}{a^{2}}},}$

herhangi bir a > 0 için . Burada Var( X ) , X'in şu şekilde tanımlanan varyansıdır :

${\displaystyle \operatöradı {Var} (X)=\operatöradı {E} [(X-\operatöradı {E} (X))^{2}].}$

Chebyshev'in eşitsizliği, rastgele değişkeni dikkate alarak Markov'un eşitsizliğinden çıkıyor

${\displaystyle (X-\operatöradı {E} (X))^{2}}$

ve Markov eşitsizliğinin okuduğu sabit${\görüntüleme stili bir^{2},}$

${\displaystyle \operatöradı {P} ((X-\operatöradı {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatöradı {Var} (X)}{a ^{2}}}.}$

Bu argüman özetlenebilir ("MI", Markov eşitsizliğinin kullanımını gösterir):

${\displaystyle \operatöradı {P} (|X-\operatöradı {E} (X)|\geq a)=\operatöradı {P} \left((X-\operatöradı {E} (X))^{2} \geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatöradı {E} \left((X- \operatöradı {E} (X))^{2}\sağ)}{a^{2}}}={\frac {\operatöradı {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

Diğer sonuçlar

1. "Monotonik" sonuç şu şekilde gösterilebilir:

   ${\displaystyle \operatöradı {P} (|X|\geq a)=\operatöradı {P} {\big (}\varphi (|X|)\geq \varphi (a){\big )}\,{\ taşan {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatöradı {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

2. Sonuç, bir negatif olmayan rasgele değişken için X , kantil fonksiyonu ve X, tatmin:

   ${\displaystyle Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatör adı {E} (X)}{p}},}$

   kullanarak kanıt

   ${\displaystyle p\leq \operatöradı {P} (X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\, {\frac {\operatör adı {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.}$

3. Izin bir özeslenik matris değerli rastgele değişken ve olmayacak bir > 0 . Sonra ${\ Displaystyle M\succeq 0}$

   ${\displaystyle \operatöradı {P} (M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\operatöradı {tr} \left(E(M)\sağ)}{na}}.}$

   benzer şekilde gösterilebilir.

Örnekler

Hiçbir gelirin negatif olmadığı varsayıldığında, Markov'un eşitsizliği, nüfusun 1/5'inden fazlasının ortalama gelirin 5 katından fazlasına sahip olamayacağını gösteriyor.

Ayrıca bakınız

• Paley–Zygmund eşitsizliği – karşılık gelen bir alt sınır
• Konsantrasyon eşitsizliği - rastgele değişkenler üzerindeki kuyruk sınırlarının bir özeti.

Referanslar

Dış bağlantılar

• Markov eşitsizlik resmi kanıtı içinde Mizar sisteminde .