Öklid tek tip döşemelerin listesi - List of Euclidean uniform tilings

İspanya Sevilla , Sevilla Arkeoloji Müzesi'nde tek tip döşeme örneği : eşkenar dörtgen döşeme

Bu tablo, Öklid düzleminin 11 dışbükey düzgün eğimini (düzenli ve yarı düzgün ) ve bunların ikili eğimlerini göstermektedir.

Düzlemde üç normal ve sekiz yarı düzgün eğim vardır. Yarı düzenli döşemeler, her biri bir tür düzensiz yüzden yapılmış çiftlerinden yeni döşemeler oluşturur.

John Conway , Katalan katı çokyüzlülerine paralel olarak bu tek tip çiftlere Katalan döşemeleri diyor .

Tek tip döşemeler, her tepe noktasında bulunan yüzlerin sırası olan tepe konfigürasyonuna göre listelenir . Örneğin 4.8.8 , bir tepe üzerinde bir kare ve iki sekizgen anlamına gelir.

Bu 11 tek tip döşeme 32 farklı tek tip renklendirmeye sahiptir . Tek tip bir renklendirme, bir tepe noktasındaki özdeş kenarlı çokgenlerin farklı şekilde renklendirilmesine izin verirken, tepe tekdüzeliğini ve köşeler arasında dönüşümsel uyumu korumaya devam eder. (Not: Aşağıda gösterilen döşeme resimlerinden bazıları tek tip renk değildir )

11 dışbükey tekdüze döşemeye ek olarak, yıldız çokgenleri ve ters yönelim tepe konfigürasyonları kullanan 14 dışbükey olmayan döşeme de vardır .

Laves döşemeleri

1987 kitabında, tilings ve Grafikleri , Branko Grünbaum tepe üniform tilings aramaları Arşimet paralel Arşimet katı . Onların ikili döşemelerine , kristalograf Fritz Laves onuruna Laves döşemeleri denir . Bunlara Aleksei Shubnikov'dan sonra Shubnikov – Laves döşemeleri de denir . John Conway , Katalan katı çokyüzlülerine paralel olarak tek tip çift Katalan döşemelerini çağırdı .

Laves döşemelerinin, normal çokgenlerin merkezlerinde köşeleri ve bir kenarı paylaşan normal çokgenlerin merkezlerini birleştiren kenarları vardır. Fayans Laves tilings ait denir planigons . Buna 3 normal karo (üçgen, kare ve altıgen) ve 8 düzensiz karo dahildir. Her köşe, etrafında eşit aralıklarla yerleştirilmiş kenarlara sahiptir. Üç boyutlu analoglar planigons denir stereohedrons .

Bu ikili eğmeler, yüz konfigürasyonlarına , bir yüzün her köşesindeki yüzlerin sayısına göre listelenmiştir . Örneğin V4.8.8 , bir köşesi dört üçgen ve iki köşesi sekiz üçgen içeren ikizkenar üçgen karolar anlamına gelir. Tepe düzlemlerinin yönelimleri ( D _{12'ye kadar} ) aşağıdaki bölümlerdeki tepe diyagramları ile tutarlıdır.

On bir düzlem
üçgenler				Dörtgenler			Beşgenler			Altıgen
V6 ³	V4.8 ²	V4.6.12	V3.12 ²	V4 ⁴	V (3.6) ²	V3.4.6.4	V3 ² .4.3.4	V3 ⁴ .6	V3 ³ .4 ²	V3 ⁶

Öklid düzleminin dışbükey düzgün eğimleri

Tüm yansıma formları, Wythoff sembolleri ile temsil edilen Wythoff yapıları veya Coxeter-Dynkin diyagramları ile yapılabilir , her biri üç Schwarz üçgeni (4,4,2), (6,3,2) veya (3,3) üzerinde çalışır. , 3), Coxeter grupları tarafından temsil edilen simetriyle : [4,4], [6,3] veya [3 ^[3] ]. Snub gibi alternatif formlar, her sistemdeki özel işaretlerle de temsil edilebilir. Bir Wythoff işlemiyle yalnızca bir tek tip döşeme inşa edilemez, ancak üçgen döşemenin uzatılmasıyla yapılabilir . Dikdörtgen bir temel alan oluşturan iki paralel ayna takımı olarak görülen dik bir ayna yapısı [∞, 2, ∞] da mevcuttur. Alan kare ise, bu simetri diyagonal bir ayna ile [4,4] ailesine iki katına çıkarılabilir.

Aileler:

(4,4,2),, [4,4] - Normal kare döşemenin
simetrisi ${\ displaystyle {\ tilde {BC}} _ {2}}$ ${{\ tilde {BC}}} _ {2}$
- ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1} ^ {2}}$ , [∞, 2, ∞]
(6,3,2),, [6,3] - Normal altıgen döşeme ve üçgen döşemenin
simetrisi . ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ ${\ tilde {G}} _ {2}$
- (3,3,3),, [3
^[3] ] ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$

[4,4] grup ailesi

Düzgün döşemeler (Platonik ve Arşimet)	Vertex şekil ve çift yüzlü Wythoff işaret (ler) Simetri grubu Coxeter diyagramı (lar)	Çift tek biçimli döşemeler (Laves veya Katalan döşemeleri olarak adlandırılır)
Kare döşeme (kadril)	4.4.4.4 (veya 4 ⁴ ) 4 \| 2 4 p4m , [4,4], (* 442)	öz-ikili (kadril)
Kesilmiş kare döşeme (kesilmiş kadril)	4.8.8 2 \| 4 4 4 4 2 \| p4m , [4,4], (* 442) veya	Tetrakis kare döşeme (kisquadrille)
Kesikli kare döşeme ( çarpık dörtgen )	3.3.4.3.4 \| 4 4 2 p4g , [4 ⁺ , 4], (4 * 2) veya	Catalan_Cairo beşgen döşeme (4 katlı pentille)

[6,3] grup ailesi

Platonik ve Arşimet döşemeleri	Vertex şekil ve çift yüzlü Wythoff işaret (ler) Simetri grubu Coxeter diyagramı (lar)	Dual Laves döşemeleri
Altıgen döşeme (hextille)	6.6.6 (veya 6 ³ ) 3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \| p6m , [6,3], (* 632)	Üçgen döşeme (deltille)
Üçgen döşeme (hexadeltille)	(3.6) ² 2 \| 6 3 3 3 \| 3 p6m , [6,3], (* 632) =	Eşkenar dörtgen döşeme (eşkenar dörtgen)
Kesik altıgen döşeme (kesik hextille)	3.12.12 2 3 \| 6 p6m , [6,3], (* 632)	Triakis üçgen döşeme (kisdeltille)
Üçgen döşeme (deltille)	3.3.3.3.3.3 (veya 3 ⁶ ) 6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3 p6m , [6,3], (* 632) =	Altıgen döşeme (hextille)
Rhombitrihexagonal döşeme (rhombihexadeltille)	3.4.6.4 3 \| 6 2 p6m , [6,3], (* 632)	Deltoidal triheksagonal döşeme (tetril)
Kesik üçheksagonal döşeme (kesik hexadeltille)	4.6.12 2 6 3 \| p6m , [6,3], (* 632)	Kisrhombille döşeme (kisrhombille)
Kesikli triheksagonal döşeme (kesik hextille)	3.3.3.3.6 \| 6 3 2 p6 , [6,3] ⁺ , (632)	Floret beşgen döşeme (6 kat pentil)