ZFC'den bağımsız ifadelerin listesi - List of statements independent of ZFC

Matematiksel aşağıda ele alınan açıklamalar kanıtlanmıştır olan bağımsız bir ZFC (standart belitsel grubu teorinin oluşan güncel matematik Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla artı seçim belitinin ZFC olduğunu varsayarak) tutarlı . Bir ifade, ZFC'nin aksiyomlarından ne kanıtlanabiliyor ne de aksi ispatlanamıyorsa, ZFC'den bağımsızdır (bazen "ZFC'de karar verilemez" olarak ifade edilir).

aksiyomatik küme teorisi

1931'de Kurt Gödel , ilk ZFC bağımsızlık sonucunu, yani ZFC'nin tutarlılığının ZFC'den bağımsız olduğunu kanıtladı ( Gödel'in ikinci eksiklik teoremi ).

Aşağıdaki ifadeler diğerlerinin yanı sıra ZFC'den bağımsızdır:

  • ZFC'nin tutarlılığı;
  • sürekli hipotez veya CH (Gödel CH ZFC çürütüldü edilemez olduğunu gösteren, CH doğru olduğu ZFC bir model üretilir; Paul Cohen, daha sonra bir yöntem icat zorlayarak gösteren, CH başarısız olan ZFC bir model sergileme olduğu CH olamaz ZFC'de kanıtlanmalıdır.Aşağıdaki dört bağımsızlık sonucu da Gödel/Cohen'den kaynaklanmaktadır.);
  • genelleştirilmiş sürekli hipotezi (GCH);
  • ilgili bağımsız bir ifade, eğer bir x kümesinin y'den daha az elemanı varsa , o zaman x'in de y'den daha az altkümesi vardır . Özellikle, bu ifade, x ve y'nin kuvvet kümelerinin kardinaliteleri çakıştığında başarısız olur ;
  • constructibility beliti ( V = L );
  • Elmas prensibi (◊);
  • Martin aksiyomu (MA);
  • MA + ¬CH (bağımsızlık Solovay ve Tennenbaum tarafından gösterilmiştir ).
Uygulama zincirlerini gösteren diyagram

Aşağıdaki çıkarım zincirlerine sahibiz:

V = L → ◊ → CH,
V = L → GCH → CH,
CH → MA,

ve (düzen teorisi bölümüne bakınız):

◊ → ¬ SH ,
MA + ¬CH → EATS → SH.

Büyük kardinallerin varlığına ilişkin çeşitli ifadeler ZFC'de kanıtlanamaz (ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılırsa). Bunlar, çoğu çalışma kümesi teorisyeninin durumun böyle olduğuna inandığı ZFC ile tutarlı olmaları koşuluyla ZFC'den bağımsızdır. Bu ifadeler, ZFC'nin tutarlılığını ima edecek kadar güçlüdür. Bu, ( Gödel'in ikinci eksiklik teoremi aracılığıyla ) ZFC ile tutarlılıklarının ZFC'de kanıtlanamaması sonucunu doğurur ( ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılarak). Aşağıdaki ifadeler bu sınıfa aittir:

Aşağıdaki ifadelerin, uygun bir büyük kardinal tutarlılığı varsayılarak ZFC'den bağımsız olduğu kanıtlanabilir:

Gerçek çizginin teorisini ayarla

Gerçek çizginin, tam değerleri ZFC'den bağımsız olan Baire kategori teoremi ile ilgili ölçü teorisi ve ifadelerle bağlantılı birçok temel değişmezi vardır. Aralarında önemsiz olmayan ilişkiler kanıtlanabilse de, çoğu kardinal değişmez, 1 ile 2 0 arasında herhangi bir normal kardinal olabilir . Bu, gerçek doğrunun küme teorisinde önemli bir çalışma alanıdır (bkz. Cichon diyagramı ). MA, en ilginç temel değişmezleri 2 0'a eşitleme eğilimindedir .

Gerçek doğrunun bir X alt kümesi , pozitif gerçeklerin her dizisine ( ε n ) X'i kapsayan ve I n'nin en fazla ε n uzunluğa sahip olduğu bir aralıklar dizisi ( I n ) varsa, güçlü bir sıfır ölçüsü kümesidir . Borel'in, her güçlü ölçü sıfır kümesinin sayılabilir olduğu varsayımı, ZFC'den bağımsızdır.

Her açık aralık X'in -many öğelerini içeriyorsa , gerçek satırın bir X alt kümesi -yoğundur . Tüm yoğun kümelerin sıralı izomorfik olup olmadığı ZFC'den bağımsızdır.

sipariş teorisi

Suslin'in problemi , belirli bir kısa özellikler listesinin sıralı gerçek sayılar kümesini karakterize edip etmediğini sorar R . ZFC'de bu karar verilemez. Bir Suslin çizgisi , bu belirli özellikler listesini karşılayan, ancak R için sıra izomorfik olmayan sıralı bir kümedir . Elmas prensibi MA + ¬CH yiyen ima ederken ◊ (bir Suslin hattının varlığını kanıtlayan her Aronszajn ağaç özeldir sırayla ima (ancak eşdeğer değildir) hangi Suslin hatlarının bulunmadığını). Ronald Jensen , CH'nin bir Suslin çizgisinin varlığını ima etmediğini kanıtladı.

Kurepa ağaçlarının varlığı, erişilemeyen bir kardinal tutarlılığı varsayılarak ZFC'den bağımsızdır .

Tek renkli sayılamayan ardışık olarak kapalı alt kümesi olmayan sıra sayısının iki renge bölünmesinin varlığı, Mahlo kardinalinin tutarlılığını varsayarak ZFC, ZFC + CH ve ZFC + ¬CH'den bağımsızdır . Shelah'ın bu teoremi H. Friedman'ın bir sorusunu yanıtlıyor .

soyut cebir

1973 yılında, Saharon Shelah gösterdi Whitehead sorunu ( "her bir değişmeli grubu A ile Dahili 1 (A, Z ) = 0, bir serbest değişmeli grubu ?") ZFC bağımsızdır. Ext 1 (A, Z ) = 0 olan bir değişmeli gruba Whitehead grubu denir; MA + ¬CH, özgür olmayan bir Whitehead grubunun varlığını kanıtlarken, V = L , tüm Whitehead gruplarının özgür olduğunu kanıtlar. Uygun zorlamanın en eski uygulamalarından birinde , Shelah, içinde serbest olmayan bir Whitehead grubunun bulunduğu bir ZFC + CH modeli oluşturmuştur.

Gerçek sayılar üzerinde üç değişkenli polinomların A = R [ x , y , z ] halkasını ve M = R ( x , y , z ) kesirlerinin alanını düşünün . Yansıtmalı boyuta ait M olarak bir Modül 2 ya da 3 olduğu, ancak o 2'ye eşit olup olmadığını ZFC bağımsızdır; ancak ve ancak CH geçerliyse 2'ye eşittir.

Bir doğrudan ürün sayılabilir birçok alanları vardır küresel boyut süreklilik hipotezi tutan ancak ve ancak 2.

Sayı teorisi

Bir somut polinom pZ [ x 1 , ..., x 9 ] yazılabilir , öyle ki " p ( m 1 , ..., m 9 ile birlikte m 1 , ..., m 9 tamsayıları vardır ) ) = 0", ZFC'de ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir (ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılarak). Bu, Yuri Matiyasevich'in Hilbert'in onuncu sorununa ilişkin çözümünden kaynaklanmaktadır ; polinom, ancak ve ancak ZFC tutarsız olduğunda bir tamsayı köküne sahip olacak şekilde oluşturulur.

ölçü teorisi

Fubini'nin pozitif fonksiyonlar için teoreminin daha güçlü bir versiyonu , burada fonksiyonun artık ölçülebilir olmadığı, sadece iki yinelenen integralin iyi tanımlanmış ve mevcut olduğu varsayılır , ZFC'den bağımsızdır. Bir yandan CH, birim kare üzerinde yinelenen integralleri eşit olmayan bir fonksiyonun var olduğunu ima eder - fonksiyon basitçe [0, 1] sıralamasının gösterge fonksiyonudur ve kardinal ω 1'in iyi sıralamasına eşittir . MA kullanılarak benzer bir örnek oluşturulabilir . Öte yandan, güçlü Fubini teoreminin tutarlılığı ilk olarak Friedman tarafından gösterildi . Aynı zamanda, Freiling'in simetri aksiyomunun bir varyantından da çıkarılabilir .

topoloji

Normal Moore alan tahmin, yani her bu , normal Moore alanı olan metriklenebilir , CH veya MA + ¬CH varsayarak çürütülmüştü olabilir ve büyük kardinal varlığını ima belirli aksiyomu varsayılarak ispat edilebilir. Böylece, verilen büyük kardinaller, Normal Moore Uzay varsayımı ZFC'den bağımsızdır.

Sonlu, P noktaları, Q noktaları hakkında çeşitli iddialar , ...

S- ve L-uzayları

Fonksiyonel Analiz

Garth yerler ve Robert M. Solovay 1976 ispat Kaplansky en varsayım her adlandırılan, cebri homomorfizması gelen Banach cebri -C (X) (burada X, bazı küçük Hausdorff alan başka Banach cebir içine) sürekli olmalıdır, ZFC bağımsızdır. CH, herhangi bir sonsuz X için, herhangi bir Banach cebirinde süreksiz bir homomorfizma olduğunu ima eder .

Sonsuz boyutlu ayrılabilir Hilbert uzayı H üzerindeki sınırlı lineer operatörlerin B ( H ) cebirini düşünün . Kompakt operatörler bir iki taraflı ideal form B ( H ). Bu idealin daha küçük iki idealin toplamı olup olmadığı sorusu, 1987'de Andreas Blass ve Saharon Shelah tarafından kanıtlandığı gibi, ZFC'den bağımsızdır .

Charles Akemann ve Nik Weaver 2003'te " Naimark'ın ℵ 1 , elementler tarafından üretilen problemine karşı bir karşı örnek var" ifadesinin ZFC'den bağımsız olduğunu gösterdiler.

Miroslav Bačák ve Petr Hájek 2008'de "her Asplund yoğunluk karakteri ω 1 uzayı Mazur kesişim özelliği ile bir yeniden normlamaya sahiptir " ifadesinin ZFC'den bağımsız olduğunu kanıtladı. Sonuç, Martin'in maksimum aksiyomu kullanılarak gösterilirken , Mar Jiménez ve José Pedro Moreno (1997) CH'yi varsayarak bir karşı örnek sunmuşlardır.

Ilijas Farah ve N. Christopher Phillips ve Nik Weaver tarafından gösterildiği gibi , Calkin cebirinin dış otomorfizmlerinin varlığı, ZFC'nin ötesinde küme teorik varsayımlara bağlıdır.

model teorisi

Chang'ın varsayımı , bir Erdős kardinalinin tutarlılığını varsayarak ZFC'den bağımsızdır .

hesaplanabilirlik teorisi

Marcia Groszek ve Theodore Slaman , Turing derecelerinin yapısı hakkında ZFC'den bağımsız ifadelere örnekler verdiler. Özellikle, süreklilikten daha küçük maksimum bağımsız bir büyüklük dereceleri dizisinin olup olmadığı.

Referanslar

Dış bağlantılar