Landau-Lifshitz modeli - Landau–Lifshitz model

Gelen katı hal fiziği , Landau-Lifschitz denklemi ( LLE adlı), Lev Landau ve Evgeny Lifshitz , a, kısmi diferansiyel denklem zaman değişimini tanımlayan manyetik 1 kez değişken ve 1, 2, ya da 3 yer değişkenlere bağlı katılarda .

Landau-Lifshitz denklemi

LLE bir anlatır anizotrop mıknatıs. Denklem (anlatılan Faddeev ve Takhtajan 2007 , aşağıdaki gibi, Bölüm 8): Bir için bir denklemdir vektör alanı S , diğer bir deyişle, bir işlev R ^{1+ n} değerleri alınarak R ³ . Denklem 3 ile sabit bir simetrik 3 bağlıdır matris J , genellikle olduğu varsayılır diyagonal ; yani, . Bunun için Hamilton'un hareket denklemi ile verilir Hamiltoniyen'e${\ Displaystyle J = \ operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, J_ {3})}$

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ int \ sol [\ toplamı _ {I} \ sol ({\ frac {\ kısmi \ mathbf {S}} {\ kısmi x_ {i}}} \ sağ) ^ {2} -J (\ mathbf {S}) \ doğru] \, dx \ qquad (1)},$

(burada J ( S ) 'dir ve ikinci dereceden bir şekilde J vektör uygulanan S olan)

${\ Displaystyle {\ frac {\ kısmi \ mathbf {S}} {\ kısmi t}} = \ mathbf {S} \ kama \ toplamı _ {I} {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S} } {\ kısmi x_ {i} ^ {2}}} + \ mathbf {S} \ kama J \ mathbf {S}. \ qquad (2)}$

1 + 1 boyutta bu denklem olduğu

${\ Displaystyle {\ frac {\ kısmi \ mathbf {S}} {\ kısmi t}} = \ mathbf {S} \ kama {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S}} {\ kısmi x ^ {2}}} + \ mathbf {S} \ kama J \ mathbf {S}. \ qquad (3)}$

2 + 1 boyutları, bu denklem şeklini alır

${\ Displaystyle {\ frac {\ kısmi \ mathbf {S}} {\ kısmi t}} = \ mathbf {S} \ kama \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S}} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S}} {\ kısmi y ^ {2}}} \ sağ) + \ mathbf {S} \ kama J \ mathbf { S} \ qquad (4)}$

ki (2 + 1) boyutlu LLE olup. (3 + 1) boyutlu durum için LLE benziyor

${\ Displaystyle {\ frac {\ kısmi \ mathbf {S}} {\ kısmi t}} = \ mathbf {S} \ kama \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S}} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S}} {\ kısmi y ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2} \ mathbf {S }} {\ kısmi z ^ {2}}} \ sağ) + \ mathbf {S} \ kama J \ mathbf {S}. \ qquad (5)}$

İntegrallenebilir azalmalar

Genel durumda, LLE (2) nonintegrable olup. Fakat iki integrallenebilen azalmalar itiraf:

a) 1 + 1 boyutta, bu Denklem olup. (3), bu integrallenebilirdir

b): . Bu durumda, (1 + 1) boyutlu LLE (3) dönüşür sürekli klasik Heisenberg ferromagnet denklem (bakınız örneğin ) Heisenberg modeli (klasik zaten integrali olan).${\ Displaystyle J = 0}$

Ayrıca bakınız

• Doğrusal Olmayan Schrödinger denklemi
• Heisenberg modeli (klasik)
• sıkma dalga
• Micromagnetism
• Ishimori denklemi
• Mıknatıs
• Ferromanyetizma

Referanslar

• Faddeev Ludwig D .; Takhtajan Leon A. (2007), solitonlar teorik olarak Hamilton yöntemler , Matematik Berlin, Classics. Springer, s, x + 592, DOI : 10.1007 / 978-3-540-69969-9 , ISBN  978-3- 540-69843-2 , MR  2348643
• Guo, Boling; Ding Shijin (2008), Landau-Lifshitz Denklemler , Çin Bilimler Akademisi ile Araştırma Frontiers, Dünya Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Kosevich AM , Ivanov BA, Kovalev AS Doğrusal olmayan mıknatıslanma dalgalar. Dinamik ve topolojik solitonlar. - Kiev: Naukova Dumka , 1988 - 192, s.