Krull teoremi - Krull's theorem

In matematik ve daha özel de halka teorisi , Krull teoremi adını, Wolfgang Krull bir iddia sıfırdan farklı halka en az birine sahiptir maksimal ideali . Teorem, 1929'da, transfinite indüksiyon kullanan Krull tarafından kanıtlandı . Teorem, Zorn'un lemmasını kullanan basit bir kanıtı kabul eder ve aslında, seçim aksiyomuna eşdeğer olan Zorn'un lemmasına eşdeğerdir .

Varyantlar

• İçin olmayan halkalar , maximal analogları da tutun ideallerini ve maksimal sağa ideallerini bıraktı.
• İçin sözde halkaları , teorem için de geçerlidir düzenli idealler .
• Benzer bir şekilde kanıtlanabilecek biraz daha güçlü (ancak eşdeğer) bir sonuç aşağıdaki gibidir:

Let R bir halka olabilir ve izin ben bir olmak uygun idealdir ait R . O halde I içeren maksimal bir R ideali vardır .

Bu sonuç, I'i sıfır ideal (0) olarak alarak orijinal teoremi ifade eder . Tersine, orijinal teoremini uygulayarak R / I Bu sonuca yol açar.

Daha güçlü sonucu doğrudan kanıtlamak için, I içeren R'nin tüm uygun ideallerinin S kümesini düşünün . S kümesi , I ∈ S olduğundan boş değildir . Bundan başka, herhangi bir zincir için T ve S , ideallerin birliği T bir idealdir J böylece, ve 1 içermeyen 1 içermeyen ideallerin birliği, J ∈ S . Zorn'un lemmasına göre, S'nin maksimum M öğesi vardır . Bu M , I içeren maksimal bir idealdir .

Krull's Hauptidealsatz

Yaygın olarak Krull teoremi olarak adlandırılan başka bir teorem:

Izin vermek bir Noetherian halkası ve ne sıfır bölen ne de birim olan bir öğesi . Sonra her minimal asal idealdir içeren sahiptir yüksekliği 1.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle a}$

Notlar

Referanslar

• Krull, W. (1929). "Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen'de İdealtheorie". Mathematische Annalen . 101 (1): 729–744. doi : 10.1007 / BF01454872 .
• Hodges, W. (1979). "Krull, Zorn'u ima eder". Journal of the London Mathematical Society . s2-19 (2): 285–287. doi : 10.1112 / jlms / s2-19.2.285 .