Jordan ölçüsü - Jordan measure

Gelen matematik , Peano-Jordan ölçer (aynı zamanda Ürdün içeriği ) haşıl (kavramının bir uzantısıdır uzunluğu , alan , hacim , örneğin, bir den fazla karmaşık şekillere), üçgen , bir disk , ya da paralel yüzlü .

Bir setin Jordan ölçmesine sahip olması için belirli bir kısıtlayıcı anlamda iyi davranılması gerektiği ortaya çıktı . Bu nedenle, Jordan ölçüsünün daha büyük bir kümeler sınıfına bir uzantısı olan Lebesgue ölçüsü ile çalışmak artık daha yaygındır . Tarihsel olarak konuşursak, Ürdün ölçüsü on dokuzuncu yüzyılın sonlarına doğru ilk sırada geldi. Tarihsel nedenlerden ötürü, Ürdün ölçüsü terimi , modern tanımında gerçek bir ölçü olmamasına rağmen, artık sağlam bir şekilde oluşturulmuştur, çünkü Jordan ile ölçülebilir kümeler bir σ-cebir oluşturmaz. Örneğin, tekil setleri içinde iken, her biri 0 bir Ürdün ölçüsünü var , bunlardan bir sayılabilir birliği, Ürdün-ölçülebilir değildir. Bu nedenle, bazı yazarlar terim kullanmayı tercih Ürdün içeriği (ilgili makaleye bakın içeriği ) .${\ displaystyle \ {x \} _ {x \ in \ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ cap [0,1]}$

Peano-Jordan ölçüsü, ismini yaratıcılarından Fransız matematikçi Camille Jordan ve İtalyan matematikçi Giuseppe Peano'dan almıştır .

Jordan "basit kümeler" ölçüsü

Basit bir küme, tanım gereği, dikdörtgenlerin (muhtemelen üst üste binen) bir birleşimidir.

Yukarıdan gelen basit set, üst üste binmeyen dikdörtgenlerin bir birleşimi olarak ayrıştırıldı.

Öklid uzayını düşünün R ⁿ . Biri sınırlı aralıkların ürünlerini dikkate alarak başlar

${\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}$

sol uçta kapalı ve sağ uçta açık olan (yarı açık aralıklar teknik bir seçimdir; aşağıda gördüğümüz gibi tercih edilirse kapalı veya açık aralıklar kullanılabilir). Bu tip bir set çağrılır n - boyutlu dikdörtgen , ya da sadece bir dikdörtgen . Bir tanımlayan Ürdün ölçü aralıklarının uzunluklarının ürünü olduğu, böyle bir dikdörtgenin:

${\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

Sonra, bir gördüğü basit setleri bazen denilen polyrectangles sonlu olan sendikalar , dikdörtgenler

${\ displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}$

herhangi bir  k  ≥ 1 için.

S'nin Jordan ölçüsü , tek tek dikdörtgenlerin ölçülerinin toplamı olarak tanımlanamaz , çünkü S'nin böyle bir temsili benzersiz olmaktan uzaktır ve dikdörtgenler arasında önemli örtüşmeler olabilir.

Neyse ki, bu kadar basit herhangi bir S kümesi , başka bir sonlu dikdörtgen ailesinin bir birleşimi olarak yeniden yazılabilir, bu kez karşılıklı olarak ayrık olan dikdörtgenler ve daha sonra Jordan ölçüsü m ( S ), ayrık dikdörtgenlerin ölçülerinin toplamı olarak tanımlanır.

Bir Ürdün ölçü bu tanım olduğunu gösterebilir S temsil bağımsızdır S ayrık dikdörtgenler sonlu birlik olarak. Yarı açık aralıklardan oluşan dikdörtgenlerin varsayımı "yeniden yazma" adımında kullanılır.

Daha karmaşık setlere genişletme

Bir küme (resimde mavi eğri içindeki bölge ile temsil edilir) Jordan ölçülebilir ancak ve ancak hem içeriden hem de dışarıdan basit kümelerle (sınırları koyu yeşil ve koyu pembe olarak gösterilmiştir) iyi bir şekilde yaklaştırılabilirse .

Kapalı aralıkların ürünü olan bir setin,

${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}$

ne basit bir set ne de bir top . Bu nedenle, şimdiye kadar Ürdün ölçülebilir set seti hala çok sınırlıdır. Daha sonra anahtar adım, sınırlı bir kümenin basit kümelerle "iyi yaklaştırılmışsa" ölçülebilir olması için Jordan'ın tanımlanmasıdır; tıpkı bir fonksiyonun parçalı sabit fonksiyonlarla iyi yaklaştırıldığında Riemann integrallenebilir olması gibi.

Resmi olarak, sınırlı bir B kümesi için iç Jordan ölçüsünü şöyle tanımlayın:

${\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ alt küme B} m (S)}$

ve dış ölçüsü olarak

${\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}$

nerede infimum ve sup basit setleri üzerinde alınır S . B'nin iç ölçüsü dış ölçüye eşitse, B kümesinin Jordan ölçülebilir olduğu söylenir . İki ölçünün ortak değeri daha sonra basitçe B'nin Ürdün ölçüsü olarak adlandırılır .

Tüm dikdörtgenlerin (açık veya kapalı) yanı sıra tüm topların, simplekslerin vb. Ürdün ölçülebilir olduğu ortaya çıktı. Ayrıca, iki sürekli fonksiyon düşünülürse , bu fonksiyonların grafikleri arasındaki noktalar kümesi, bu küme sınırlı olduğu ve iki işlevin ortak alanı Jordan ölçülebilir olduğu sürece ölçülebilirdir. Ölçülebilir Ürdün kümelerinin herhangi bir sonlu birleşimi ve kesişimi, Ürdün ölçülebilir ve aynı zamanda ölçülebilir herhangi iki Ürdün kümesinin küme farkıdır . Bir kompakt küme mutlaka Ürdün ölçülebilir değildir. Örneğin fat Cantor seti değildir. İç Ürdün ölçüsü, tamamlayıcısı yoğun olduğu için kaybolur ; bununla birlikte, dış Jordan ölçüsü, Lebesgue ölçüsünden daha az olamaz (aslında eşittir) çünkü kaybolmaz. Ayrıca, sınırlı bir açık küme mutlaka Ürdün ölçülebilir değildir. Örneğin yağ kantoru setinin tamamlayıcısı (aralık dahilinde) değildir. Bir sınırlı grubu Ürdün ölçülebilir, ancak ve sadece, eğer gösterge işlevi olan Riemann-integrallenebilen ve integral değeri, Ürdün ölçüsüdür. [1]

Aynı şekilde, sınırlı bir grubu için B iç Ürdün ölçer B Lebesgue ölçüsüdür iç bölgesinin B ve dış Ürdün ölçü Lebesque ölçüsüdür kapağın . Buradan, sınırlı bir küme, ancak ve ancak sınırı Lebesgue sıfır ölçüsüne sahipse ölçülebilirdir . (Ya da eşdeğer olarak, eğer sınır Jordan ölçüsüne sıfırsa; eşdeğerlik sınırın kompaktlığı nedeniyle geçerlidir.)

Lebesgue ölçümü

Bu son özellik, Jordan ölçülebilir olan set türlerini büyük ölçüde sınırlar. Örneğin, [0,1] aralığında yer alan rasyonel sayılar kümesi bu durumda Ürdün ölçülebilir değildir, çünkü sınırı [0,1] ve Jordan'ın sıfır ölçüsü değildir. Bununla birlikte, sezgisel olarak, rasyonel sayılar kümesi sayılabilir olduğu için "küçük" bir kümedir ve "boyutu" sıfır olmalıdır. Bu gerçekten doğrudur, ancak yalnızca Jordan ölçüsü Lebesgue ölçüsü ile değiştirilirse . Bir kümenin Lebesgue ölçüsü, bu kümenin Jordan ölçüsü olduğu sürece Jordan ölçüsü ile aynıdır. Bununla birlikte, Lebesgue ölçümü, daha önce bahsedilen bir aralıktaki rasyonel sayılar kümesi gibi çok daha geniş bir küme sınıfı ve ayrıca sınırsız veya fraktal olabilen kümeler için tanımlanmıştır . Ayrıca, Jordan ölçüsünden farklı olarak Lebesgue ölçümü, gerçek bir ölçüdür , yani, Lebesgue ölçülebilir kümelerinin herhangi bir sayılabilir birliği Lebesgue ölçülebilirken, Jordan ölçülebilir kümelerinin sayılabilir birliklerinin Jordan ölçülebilir olması gerekmez.

Referanslar

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Gerçek analiz . Basel, İsviçre: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
• Richard Courant; Fritz John (1999). Hesap ve Analize Giriş Cilt II / 1: Bölüm 1–4 (Matematikte Klasikler) . Berlin: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

Dış bağlantılar

• Derwent, John. "Jordan Measure" . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], "Ürdün ölçüsü" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press