Tutarlı ve tutarsız denklemler - Consistent and inconsistent equations

Gelen matematik ve özellikle de cebire , bir doğrusal ya da doğrusal olmayan denklem sisteminin adlandırılır tutarlı zaman tatmin sisteminde-olduğu, her denklem, bu bilinmeyen için değerlerin en az bir set ise, ikame edilmiş denklemlerinin her biri içine, yaptıkları her denklem bir kimlik olarak doğrudur . Buna karşılık, tüm denklemleri karşılayan bilinmeyenler için bir değer kümesi yoksa, doğrusal veya doğrusal olmayan bir denklem sistemi tutarsız olarak adlandırılır .

Bir denklem sistemi tutarsızsa, denklemleri 2 = 1 veya x 3 + y 3 = 5 ve x 3 + y 3 = 6 gibi çelişkili bilgiler elde edecek şekilde manipüle etmek ve birleştirmek mümkündür. (ki bu 5 = 6 anlamına gelir).

Tutarlı ve tutarsız her iki denklem sistemi türü de aşırı belirlenmiş ( bilinmeyenlerden daha fazla denkleme sahip), eksik belirlenmiş (bilinmeyenlerden daha az denkleme sahip) veya tam olarak belirlenmiş olabilir.

Basit örnekler

Belirsiz ve tutarlı

sistem

sonsuz sayıda çözümü vardır, bunların tümü z = 1'dir (ilk denklemi ikinciden çıkararak görülebileceği gibi) ve bu nedenle tümü, herhangi bir x ve y değeri için x+y = 2'ye sahiptir .

Doğrusal olmayan sistem

hepsi içeren sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Bu sistemlerin her birinin birden fazla çözümü olduğu için belirsiz bir sistemdir .

Belirsiz ve tutarsız

sistem

İmkansız 0 = 1'i elde etmek için birinci denklemi ikinciden çıkararak görülebileceği gibi hiçbir çözümü yoktur.

Doğrusal olmayan sistem

çözümü yok, çünkü bir denklem diğerinden çıkarılırsa imkansız 0 = 3 elde ederiz.

Kesinlikle kararlı ve tutarlı

sistem

tam olarak bir çözümü vardır: x = 1, y = 2.

Doğrusal olmayan sistem

( x, y ) = (1, 0) ve ( x, y ) = (0, 1) olmak üzere iki çözüme sahiptir.

sonsuz sayıda çözüme sahiptir çünkü üçüncü denklem birinci denklem artı ikincinin iki katıdır ve dolayısıyla bağımsız bilgi içermez; böylece herhangi bir z değeri seçilebilir ve x ve y değerlerinin ilk iki (ve dolayısıyla üçüncü) denklemi sağladığı bulunabilir.

Kesinlikle kararlı ve tutarsız

sistem

çözümü yok; Tutarsızlık, imkansız 0 = 2'yi elde etmek için ilk denklemi 4 ile çarparak ve ikinci denklemi çıkararak görülebilir.

Aynı şekilde,

tutarsız bir sistemdir, çünkü ilk denklem artı ikincinin iki katı eksi üçüncü, 0 = 2 çelişkisini içerir.

Aşırı belirlenmiş ve tutarlı

sistem

çözümü vardır, x = –1, y = 4, çünkü ilk iki denklem birbiriyle çelişmez ve üçüncü denklem gereksizdir (çünkü ilk iki denklemden her biri ile çarpılarak elde edilebilecek bilgilerle aynı bilgiyi içerir). 2 ve onları toplama).

sistem

Üç denklemin tümü birbiriyle aynı bilgiyi verdiği için sonsuz sayıda çözüme sahiptir (ilk denklemi 3 veya 7 ile çarparak görülebileceği gibi). Herhangi bir y değeri bir çözümün parçasıdır ve buna karşılık gelen x değeri 7–2y'dir.

Doğrusal olmayan sistem

( x, y ) = (1, –1), (–1, 1) ve (1, 1) olmak üzere üç çözüme sahiptir .

Aşırı belirlenmiş ve tutarsız

sistem

tutarsızdır çünkü son denklem, ilk ikisinin her birini 2 ile çarparak ve toplayarak görüldüğü gibi, ilk ikisine gömülü bilgilerle çelişir.

sistem

tutarsız çünkü ilk iki denklemin toplamı üçüncü denklemle çelişiyor.

Tutarlılık kriterleri

Yukarıdaki örneklerden görülebileceği gibi, tutarlılık ve tutarsızlık, denklem ve bilinmeyen sayılarını karşılaştırmaktan farklı bir konudur.

Doğrusal sistemler

Doğrusal bir sistem tutarlıdır ancak ve ancak onun katsayısı matris aynı olan seviye olan olduğu gibi , arttırılmış bir matris (eklenen ilave bir kolon ile katsayı matrisinin, olan bu sütun sütun vektördür sabitleri).

Doğrusal olmayan sistemler

Referanslar