Ideal gaz - Ideal gas

Bir ideal gaz teorik olan gaz çok rastgele hareket oluşan nokta parçacıklar tabi değildir arası etkileşimleri . İdeal gaz kavramı, basitleştirilmiş bir durum denklemi olan ideal gaz yasasına uyduğu ve istatistiksel mekanik altında analize uygun olduğu için yararlıdır . Sıfır etkileşim şartı, örneğin etkileşim tamamen esnekse veya nokta benzeri çarpışmalar olarak kabul edilirse, genellikle gevşetilebilir .

Çeşitli sıcaklık ve basınç koşulları altında, birçok gerçek gaz , gaz moleküllerinin (veya monatomik gaz için atomların ) ideal parçacıkların rolünü oynadığı ideal bir gaz gibi niteliksel olarak davranır . Azot , oksijen , hidrojen , soy gazlar gibi birçok gaz , karbondioksit gibi bazı ağır gazlar ve hava gibi karışımlar , standart sıcaklık ve basınç civarında önemli bir parametre aralığında makul toleranslar dahilinde ideal gazlar olarak ele alınabilir . Genel olarak, bir gaz , moleküller arası kuvvetlerden kaynaklanan potansiyel enerji , parçacıkların kinetik enerjisine kıyasla daha az önemli hale geldiğinden ve moleküllerin boyutu, boş alana kıyasla daha az önemli hale geldiğinden , daha yüksek sıcaklıkta ve daha düşük basınçta daha ideal bir gaz gibi davranır. onların arasında. Bir mol ideal gazın hacmi, 1982'den beri IUPAC tarafından tanımlanan standart sıcaklık ve basınçta ( 273,15  K sıcaklık ve tam olarak 10 5 Pa mutlak basınç ) 22.710947(13) litredir .  

İdeal gaz modeli, moleküller arası kuvvetler ve moleküler boyut önemli hale geldiğinde, daha düşük sıcaklıklarda veya daha yüksek basınçlarda başarısız olma eğilimindedir. Aynı zamanda, birçok soğutucu akışkan gibi çoğu ağır gaz için ve özellikle su buharı gibi güçlü moleküller arası kuvvetleri olan gazlar için başarısız olur . Yüksek basınçlarda, gerçek bir gazın hacmi genellikle ideal bir gazın hacminden oldukça büyüktür. Düşük sıcaklıklarda, gerçek bir gazın basıncı genellikle ideal bir gazın basıncından oldukça düşüktür. Düşük sıcaklık ve yüksek basıncın bir noktasında, gerçek gazlar sıvı veya katı gibi bir faz geçişine uğrar . Ancak ideal gaz modeli, faz geçişlerini tanımlamaz veya buna izin vermez. Bunlar daha karmaşık durum denklemleriyle modellenmelidir. İdeal gaz davranış sapması ile tarif edilebilir boyutsuz miktar , sıkıştırma faktörü , Z .

İdeal gaz modeli hem Newton dinamiğinde (" kinetik teori "de olduğu gibi) hem de kuantum mekaniğinde (" kutudaki gaz " olarak) araştırılmıştır . İdeal gaz modeli, bir metaldeki elektronların davranışını modellemek için de kullanılmıştır ( Drude modelinde ve serbest elektron modelinde ) ve istatistiksel mekanikteki en önemli modellerden biridir.

Kısma işleminde ideal bir gazın basıncı düşürülürse , gazın sıcaklığı değişmez. (Bir kısma işleminde gerçek bir gazın basıncı düşürülürse, Joule-Thomson katsayısının pozitif veya negatif olmasına bağlı olarak sıcaklığı düşer veya yükselir .)

İdeal gaz türleri

İdeal gazın üç temel sınıfı vardır:

Klasik ideal gaz iki türe ayrılabilir: Klasik termodinamik ideal gaz ve ideal kuantum Boltzmann gazı. Klasik termodinamik ideal gazın klasik istatistiksel mekaniğe dayanması ve entropi gibi belirli termodinamik parametrelerin yalnızca belirlenmemiş bir katkı sabiti içinde belirtilmesi dışında ikisi de esasen aynıdır . İdeal kuantum Boltzmann gazı, bu katkı sabitlerini belirtmek için kuantum Bose gazının ve kuantum Fermi gazının sınırını yüksek sıcaklık sınırında alarak bu sınırlamanın üstesinden gelir. Bir kuantum Boltzmann gazının davranışı, bu sabitlerin belirtilmesi dışında klasik bir ideal gazın davranışı ile aynıdır. Kuantum Boltzmann gazının sonuçları, ideal bir gazın entropisi için Sackur-Tetrode denklemi ve zayıf iyonize bir plazma için Saha iyonizasyon denklemi dahil olmak üzere birçok durumda kullanılır .

Klasik termodinamik ideal gaz

İdeal bir gazın klasik termodinamik özellikleri, iki durum denklemi ile tanımlanabilir :

İdeal gaz yasası

Arasındaki ilişkiler Boyle'un , Charles adlı , Gay-Lussac en , Avogadro en , kombine ve ideal gaz yasaları ile, Boltzmann sabiti k B = r/K bir = n R/n (Her hukuk, özellikleri çember değişkendir ve çember değil özellikler bekletilen sabittir)

İdeal gaz yasası tarafından verilen ideal gaz hal denklemi geçerli:

nerede

İdeal gaz yasası, deneysel olarak keşfedilen gaz yasalarının bir uzantısıdır . Mikroskobik değerlendirmelerden de türetilebilir.

Düşük yoğunluklu ve yüksek sıcaklıktaki gerçek akışkanlar , klasik bir ideal gazın davranışına yaklaşır. Bununla birlikte, daha düşük sıcaklıklarda ya da daha yüksek bir yoğunluğa, özellikle de ideal bir gaz davranışı, kuvvetlice gerçek sıvı sapmasıdır kondanse bir sıvı halinde ya da bir gaz yataklarının katı bir gazdan. Bu sapma, sıkıştırılabilirlik faktörü olarak ifade edilir .

Bu denklemden türetilmiştir

Üç yasayı birleştirdikten sonra elde ederiz

Yani:

.

İçsel enerji

İdeal bir gazın diğer hal denklemi, sabit bir ideal gaz kütlesinin iç enerjisinin yalnızca sıcaklığının bir fonksiyonu olduğu Joule'nin ikinci yasasını ifade etmelidir . Mevcut amaçlar için, bu yasanın örnek bir versiyonunu aşağıdakileri yazarak önermek uygundur:

nerede

  • U bir iç enerji
  • ĉ V , sabit hacimde yaklaşık olarak boyutsuz özgül ısı kapasitesidir .3/2Bir için tek atomlu bir gaz ,5/2diatomik gaz için ve 3, doğrusal olmayan moleküller için, ötelemeleri ve dönmeleri klasik olarak ele alır ve kuantum titreşim katkısını ve elektronik uyarımı göz ardı edersek. Bu formüller, klasik eşbölme teoreminin öteleme ve dönme serbestlik derecelerine uygulanmasından doğar .

Bu U Genel durumda, her ne kadar ideal bir gazın sadece sıcaklığa bağlıdır, bu denklemin bir sonucudur V sıcaklığa bağlıdır ve tamamlayıcı hesaplamak için gerekli olan U .

mikroskobik model

Makroskopik büyüklüklerden (aşağıdaki denklemin sol tarafı) mikroskobik büyüklüklere (sağ taraf) geçmek için

nerede

  • gaz parçacıklarının sayısıdır
  • olan Boltzmann sabiti (1.381 × 10 −23  J·K −1 ).

Parçacıkların hız veya enerjiye göre olasılık dağılımı, Maxwell hız dağılımı ile verilir .

İdeal gaz modeli aşağıdaki varsayımlara bağlıdır:

  • Gazın molekülleri ayırt edilemez, küçük, sert kürelerdir.
  • Tüm çarpışmalar esnektir ve tüm hareketler sürtünmesizdir (hareket veya çarpışmada enerji kaybı olmaz)
  • Newton yasaları geçerlidir
  • Moleküller arasındaki ortalama mesafe, moleküllerin boyutundan çok daha büyüktür.
  • Moleküller, bir hız dağılımı ile sürekli olarak rastgele yönlerde hareket ederler.
  • Moleküller arasında noktasal çarpışmalarını belirleyenler dışında çekici veya itici kuvvetler yoktur.
  • Gaz molekülleri ile çevre arasındaki tek kuvvet, moleküllerin duvarlarla noktasal çarpışmalarını belirleyen kuvvetlerdir.
  • En basit durumda, gazın molekülleri ile çevresi arasında uzun menzilli kuvvetler yoktur.

İki atomlu bir gazın aksine, hiçbir dönme moduna izin verilmemesi için küresel parçacıkların varsayımı gereklidir. Aşağıdaki üç varsayım birbiriyle yakından ilişkilidir: moleküller serttir, çarpışmalar esnektir ve moleküller arası kuvvetler yoktur. Parçacıklar arasındaki boşluğun parçacıkların kendisinden çok daha büyük olduğu varsayımı çok önemlidir ve ideal gaz yaklaşımının neden yüksek basınçlarda başarısız olduğunu açıklar.

Isı kapasitesi

Sabit hacimde boyutsuz ısı kapasitesi genellikle şu şekilde tanımlanır:

burada G bir entropi . Bu miktar, moleküller arası ve moleküller arası kuvvetlerden dolayı genellikle sıcaklığın bir fonksiyonudur, ancak orta dereceli sıcaklıklar için yaklaşık olarak sabittir. Spesifik olarak, Eş Bölme Teoremi , tek atomlu bir gaz için sabitin ĉ V  =  olduğunu tahmin eder.3/2iki atomlu bir gaz için ise ĉ V  = 5/2titreşimler ihmal edilirse (ki bu genellikle mükemmel bir yaklaşımdır). Isı kapasitesi gazın atomik veya moleküler yapısına bağlı olduğundan, ısı kapasitesi üzerindeki makroskopik ölçümler, moleküllerin mikroskobik yapısı hakkında faydalı bilgiler sağlar.

İdeal bir gazın sabit basınçta boyutsuz ısı kapasitesi:

burada H = u + PV olan entalpisi gaz.

Bazen, ĉ V ve ĉ P'nin sıcaklıkla değişebildiği ideal bir gaz ile durumun böyle olmadığı mükemmel bir gaz arasında bir ayrım yapılır .

Sabit hacim ve sabit basınç ısı kapasitesinin oranı adyabatik indekstir.

Bir gaz karışımı olan hava için bu oran 1.4'tür.

Entropi

Yalnızca termodinamiğin sonuçlarını kullanarak, ideal bir gazın entropisinin ifadesini belirlemede uzun bir yol kat edebiliriz . Bu önemli bir adımdır, çünkü termodinamik potansiyeller teorisine göre , eğer entropiyi U'nun ( U bir termodinamik potansiyeldir), hacim V'nin ve parçacık sayısı N'nin bir fonksiyonu olarak ifade edebilirsek , o zaman tam bir ifadeye sahip olacağız. ideal gazın termodinamik davranışı. Hem ideal gaz yasasını hem de ondan iç enerji ifadesini türetebileceğiz.

Entropi tam bir diferansiyel olduğundan , zincir kuralı kullanılarak, 0 referans durumundan entropi S ile başka bir duruma geçerken entropideki değişiklik Δ S olarak yazılabilir, burada:

burada referans değişkenler, N parçacıklarının sayısının fonksiyonları olabilir . Birinci diferansiyel için sabit hacimdeki ısı kapasitesi tanımını ve ikinci için uygun Maxwell ilişkisini kullanarak:

İfade V açısından Cı- V durumuna doğru gaz denklemini ayırt, yukarıdaki bölümde geliştirilen ve verimleri entegre:

bu, entropinin şu şekilde ifade edilebileceği anlamına gelir:

burada tüm sabitler, logaritmanın argümanının boyutsuz olması için VT ĉ V ile aynı boyutlara sahip olan parçacık sayısı N'nin bir fonksiyonu olan f ( N ) olarak logaritmaya dahil edilmiştir . Şimdi entropinin kapsamlı olması kısıtlamasını uyguluyoruz. Bu, kapsamlı parametreler ( V ve N ) bir sabitle çarpıldığında, entropinin aynı sabitle çarpılacağı anlamına gelir. Matematiksel olarak:

Bundan f ( N ) fonksiyonu için bir denklem buluyoruz.

İle ilgili olarak bu farklılaşan bir ayar, bir 1 'e eşit, ve daha sonra diferansiyel denklem verim çözme f ( K ) :

burada Φ farklı gazlar için değişebilir, ancak gazın termodinamik durumundan bağımsız olacaktır. VT ĉ V / N boyutlarında olacaktır . Entropi için denklemde yerine koymak:

ve ideal bir gazın iç enerjisi için ifade kullanılarak entropi yazılabilir:

Bu, U , V ve N cinsinden entropi için bir ifade olduğundan, ideal gazın diğer tüm özelliklerinin türetilebileceği temel bir denklemdir.

Bu, sadece termodinamiği kullanarak gidebileceğimiz kadarıyla. Yukarıdaki denklemin hatalı olduğuna dikkat edin - sıcaklık sıfıra yaklaştıkça entropi , termodinamiğin üçüncü yasasına aykırı olarak negatif sonsuza yaklaşır . Yukarıdaki "ideal" gelişmede, mutlak sıfırda değil, logaritmanın argümanının bir olduğu ve entropinin sıfır olduğu kritik bir nokta vardır. Bu fiziksel değil. Yukarıdaki denklem, yalnızca logaritmanın argümanı birlikten çok daha büyük olduğunda iyi bir yaklaşımdır - ideal gaz kavramı, düşük değerlerinde bozulur.V/n. Bununla birlikte, kusurlu ideallik varsayımı göz önüne alındığında, tahmin edilen entropinin gerçek entropiye mümkün olduğunca yakın olması anlamında sabitin "en iyi" bir değeri olacaktır. Bu sabitin kuantum-mekanik bir türevi, bir monatomik maddenin entropisini ifade eden Sackur-Tetrode denkleminin türetilmesinde geliştirilmiştir ( ĉ V  = 3/2) Ideal gaz. Sackur-Tetrode teorisinde sabit sadece gaz parçacığının kütlesine bağlıdır. Sackur-Tetrode denklemi de mutlak sıfırda farklı bir entropiden muzdariptir, ancak yeterince yüksek sıcaklıklar için tek atomlu bir ideal gazın entropisi için iyi bir yaklaşımdır.

Entropideki değişimi ifade etmenin alternatif bir yolu:

termodinamik potansiyeller

Entropiyi T , V ve N'nin bir fonksiyonu olarak ifade etmek :

Kimyasal potansiyel İdeal gaz durumuna (bakınız karşılık gelen aşağıdaki denklem ile hesaplanır termodinamik potansiyeli ):

burada G , Gibbs serbest enerjisidir ve U + PVTS'ye eşittir, böylece:

Kimyasal potansiyel genellikle bazı standart basınçtaki potansiyele atıfta bulunur P o , böylece :

Bir karışım için ( j kısmi basıncı her yere gazlarının, ... = 1,2) p j , kimyasal potansiyeli olduğu gösterilebilir μ j basıncı yukarıda ifade ile verilecektir P ile ikame P j .

İdeal bir gaz için termodinamik potansiyeller şimdi T , V ve N'nin fonksiyonları olarak şu şekilde yazılabilir :

nerede, daha önce olduğu gibi,

.

Potansiyelleri yazmanın en bilgilendirici yolu, doğal değişkenleri cinsindendir, çünkü bu denklemlerin her biri sistemin diğer tüm termodinamik değişkenlerini türetmek için kullanılabilir. Doğal değişkenleri açısından, tek tür bir ideal gazın termodinamik potansiyelleri:

Olarak istatistiksel mekanik arasındaki ilişki Helmholtz serbest enerji ve bölme fonksiyonu temel ve hesaplamak için kullanılır termodinamik özelliklerini maddenin; bkz yapılandırma integrali daha fazla ayrıntı için.

Sesin hızı

Sesin hızı için ideal bir gaz olarak Newton Laplace aşağıdaki formül ile verilir:

nerede izentropik Bulk modülü .

İdeal bir gazın izentropik süreci için , bu nedenle,

Buraya,

γ ise adyabatik indeksi (ĉ P/ĉ V)
s , gazın parçacığı başına entropidir .
ρ olan kütle yoğunluğu gaz.
P bir basınç gazı.
R, bir evrensel gaz sabiti
T bir sıcaklık
M , gazın molar kütlesidir .

İdeal gaz denklemleri tablosu

İdeal kuantum gazları

Yukarıda bahsedilen Sackur-Tetrode denkleminde , entropi sabitinin en iyi seçiminin bir parçacığın kuantum termal dalga boyu ile orantılı olduğu ve logaritmanın argümanının sıfır olduğu noktanın kabaca şu noktaya eşit olduğu bulundu. parçacıklar arasındaki ortalama mesafe termal dalga boyuna eşit olur. Aslında, kuantum teorisinin kendisi de aynı şeyi öngörür. Herhangi bir gaz, yeterince yüksek sıcaklıkta ve yeterince düşük yoğunlukta ideal bir gaz gibi davranır, ancak Sackur-Tetrode denkleminin bozulmaya başladığı noktada gaz, bozonlardan veya fermiyonlardan oluşan bir kuantum gazı gibi davranmaya başlayacaktır . ( İdeal Boltzmann gazı da dahil olmak üzere ideal kuantum gazlarının bir türevi için kutudaki gaza bakın .)

Gazlar, sıcaklık Boyle sıcaklığına ulaştığında, daha geniş bir basınç aralığında ideal gaz gibi davranma eğilimindedir .

İdeal Boltzmann gazı

İdeal Boltzmann gazı, klasik termodinamik gazla aynı sonuçları verir, ancak belirsiz sabit Φ için aşağıdaki tanımlamayı yapar :

burada Λ olan termal Broglie de dalga boyu gaz ve g olan dejenerasyon durumlarının.

İdeal Bose ve Fermi gazları

İdeal bir bozon gazı (örneğin bir foton gazı ) Bose–Einstein istatistikleri tarafından yönetilecek ve enerji dağılımı Bose–Einstein dağılımı şeklinde olacaktır . İdeal bir fermiyon gazı, Fermi-Dirac istatistikleri tarafından yönetilecek ve enerjinin dağılımı Fermi-Dirac dağılımı şeklinde olacaktır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

Notlar
Referanslar