Hirzebruch imza teoremi - Hirzebruch signature theorem

Olarak farklı topoloji , bir alan matematik , Hirzebruch imza teoremi (bazen Hirzebruch göstergesi teoremi olarak da adlandırılır) , Friedrich Hirzebruch ifade sitesindeki 1954 sonuç imzasını bir doğrusal kombinasyonu ile bir düz kapalı yönlendirilmiş manifoldunun Pontryagin numaraları adı L-cinsi . Hirzebruch–Riemann–Roch teoreminin ispatında kullanıldı .

Teoremin ifadesi

L-cinsi, karakteristik güç serileriyle ilişkili polinomların çarpımsal dizisinin cinsidir.

${\displaystyle {x \over \tanh(x)}=\sum _{k\geq 0}{{2^{2k}B_{2k} \over (2k)!}x^{2k}}=1+ {x^{2} \3'ün üzerinde}-{x^{4} \45'in üzerinde}+\cdots .}$

Ortaya çıkan L-polinomlarının ilk ikisi:

• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$

4 n boyutlu düzgün kapalı yönlendirilmiş bir manifold M'nin tanjant demetinin Pontryagin sınıflarını alarak, M'nin L sınıflarını elde ederiz. Hirzebruch, M'nin n'inci L sınıfının M'nin temel sınıfı üzerinde değerlendirildiğini gösterdi , eşittir , M imza (yani 2 kesişim formunun imza n M inci cohomoloji grubu): ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}(M)}$${\görüntüleme stili [M]}$${\görüntüleme stili \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle .}$

İmza teoreminin ispat taslağı

René Thom daha önce imzanın Pontryagin sayılarının bazı lineer kombinasyonları tarafından verildiğini kanıtlamıştı ve Hirzebruch, çarpımsal bir dizinin cinsi kavramını ortaya koyarak bu lineer kombinasyonun tam formülünü buldu.

Rasyonel yönelimli kobordizm halkası eşit olduğundan ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {S} }$

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} [\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} ),\mathbb {P} ^{4}(\mathbb {C} ),\ldots ],}$

çift ​​boyutlu karmaşık projektif uzayların yönlendirilmiş kobordizm sınıfları tarafından üretilen polinom cebiri , bunu doğrulamak için yeterlidir. ${\displaystyle [\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )]}$

${\displaystyle \sigma (\mathbb {P} ^{2i})=1=\langle L_{i}(p_{1}(\mathbb {P} ^{2i}),\ldots ,p_{n}( \mathbb {P} ^{2i})),[\mathbb {P} ^{2i}]\rangle }$

tüm i için

genellemeler

İmza teoremi, imza operatörü için Atiyah-Singer indeks teoreminin özel bir halidir . İmza operatörünün analitik indeksi manifoldun imzasına eşittir ve topolojik indeksi manifoldun L cinsidir. Atiyah-Singer indeks teoremi ile bunlar eşittir.

Referanslar

Kaynaklar