Hermit polinomları - Hermite polynomials

Gelen matematik , Hermite polinomları klasik olan ortogonal polinom sekansı .

Polinomlar şu durumlarda ortaya çıkar:

Hermite polinomları 1810'da Pierre-Simon Laplace tarafından tanımlandı , ancak pek tanınmaz haldeydi ve 1859'da Pafnuty Chebyshev tarafından ayrıntılı olarak incelendi . Chebyshev'in çalışması gözden kaçırıldı ve daha sonra , 1864'te polinomlar üzerine yazan Charles Hermite'in adını aldılar. onları yeni olarak tanımlıyor. Sonuç olarak, Hermite daha sonraki 1865 yayınlarında çok boyutlu polinomları tanımlayan ilk kişi olmasına rağmen, bunlar yeni değildi.

Tanım

Diğer klasik ortogonal polinomlar gibi, Hermite polinomları da birkaç farklı başlangıç ​​noktasından tanımlanabilir. Ortak kullanımda iki farklı standardizasyon olduğuna baştan dikkat edilerek, uygun bir yöntem aşağıdaki gibidir:

  • "Probabilist en Hermite polinomları" tarafından verilmektedir
  • ise "fizikçi Hermite polinomları" tarafından verilmektedir

Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir:

İki tanım tam olarak aynı değildir; her biri diğerinin yeniden ölçeklenmesidir:

Bunlar, farklı varyanslara sahip Hermite polinom dizileridir; aşağıdaki varyanslarla ilgili malzemeye bakın.

He ve H gösterimi , standart referanslarda kullanılandır. He n polinomları bazen H n ile gösterilir , özellikle olasılık teorisinde, çünkü

bir olasılık yoğunluk fonksiyonu için normal dağılım ile beklenen değer 0 ve standart sapma 1.

İlk altı olasılıkçının Hermite polinomu He n ( x )
  • İlk on bir olasılıkçının Hermite polinomları şunlardır:
İlk altı (fizikçinin) Hermite polinomu H n ( x )
  • İlk on bir fizikçinin Hermite polinomları şunlardır:

Özellikler

N inci düzey Hermite polinom polinom derecesi n . Olasılıkçının versiyonu He n , önde gelen katsayı 1'e sahipken, fizikçinin versiyonu H n , önde gelen katsayıya 2 n sahiptir .

ortogonallik

H , n ( x ) ve O N ( X ) olan , n inci derecelik polinomları için , n = 0, 1, 2, 3, ... . Bu polinomlar ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir ( ölçü )

veya

yani, bizde

Üstelik,

veya

nerede olduğunu Kronecker delta .

Olasılıkçı polinomlar bu nedenle standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre ortogonaldir.

eksiksizlik

Hermite polinomları (olasılıkçıların veya fizikçilerinkiler) , tatmin edici fonksiyonların Hilbert uzayının ortogonal bir temelini oluşturur.

iç ürünün integral tarafından verildiği

önceki bölümde tanımlanan Gauss ağırlık fonksiyonu w ( x ) dahil

İçin bir ortogonal baz L 2 ( R , W ( x ) dx ) a, tam dik sistemi . Ortogonal bir sistem için tamlık , 0 fonksiyonunun sistemdeki tüm fonksiyonlara dik olan tek fL 2 ( R , w ( x ) dx ) fonksiyonu olduğu gerçeğine eşdeğerdir .

Yana doğrusal yayılma Hermite polinomlar her polinomların alanıdır, bir (fizikçi durumunda) göstermek zorundadır ki eğer f tatmin

Her için n ≥ 0 , daha sonra f = 0 .

Bunu yapmanın olası bir yolu, tüm işlevi takdir etmektir.

aynı şekilde yok olur. Aslında o F ( o ) = 0 , her gerçek t vasıtaların Fourier dönüşümü ve f ( x ) e - x 2 dolayısıyla 0, f hemen hemen her yerde 0'dır. Yukarıdaki tamlık kanıtının varyantları, üstel bozulmaya sahip diğer ağırlıklar için geçerlidir.

Hermite durumunda, eksiksizliği ima eden açık bir özdeşliği kanıtlamak da mümkündür ( aşağıdaki Tamlık ilişkisi hakkındaki bölüme bakınız).

Hermite polinomları için bir ortogonal baz olduğu gerçeğinin eşdeğer formülasyon L 2 ( R , W ( x ) dx ) Hermit ilave edilir, işlevleri (aşağıya bakınız), ve Hermite fonksiyonlar ortonormal baz olduğu söyleyerek L 2 ( R ) .

Hermite diferansiyel denklemi

Olasılıkçının Hermite polinomları, diferansiyel denklemin çözümleridir.

burada λ bir sabittir. Bu sınır koşulu empoze u polynomially sonsuzda sınırlı olmalıdır, denklem sadece çözümler vardır λ , negatif olmayan bir tam sayı olduğu, ve çözelti benzersiz verilir , burada sabit bir belirtmektedir.

Diferansiyel denklemi bir özdeğer problemi olarak yeniden yazmak

Hermite polinomları , diferansiyel operatörün özfonksiyonları olarak anlaşılabilir . Bu özdeğer problemine Hermite denklemi denir , ancak terim aynı zamanda yakından ilişkili denklem için de kullanılır.

çözümü, fizikçinin Hermite polinomları cinsinden benzersiz bir şekilde verilen formda , burada bir sabiti ifade eder, u'nun polinom olarak sonsuzda sınırlandırılması gerektiği sınır koşulunu empoze ettikten sonra .

Yukarıdaki ikinci mertebeden diferansiyel denklemlerin genel çözümleri aslında hem Hermite polinomlarının hem de birinci türden birleşik hipergeometrik fonksiyonların lineer kombinasyonlarıdır. Örneğin, fizikçinin Hermite denklemi için

genel çözüm şeklini alır

nerede ve sabitler, fizikçinin Hermite polinomlarıdır (birinci türden) ve fizikçinin Hermite fonksiyonlarıdır (ikinci türden). Son bahsedilen fonksiyonlar, kompakt olarak temsil edilir burada olan birinci tür konflüent hipergeometrik fonksiyonlar . Geleneksel Hermite polinomları, birleşik hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden de ifade edilebilir, aşağıya bakınız.

Daha genel sınır koşullarıyla , Hermite polinomları, karmaşık değerli λ için daha genel analitik fonksiyonlar elde etmek üzere genelleştirilebilir . Kontur integralleri ( Courant & Hilbert 1989 ) cinsinden Hermite polinomlarının açık bir formülü de mümkündür.

Tekrarlama ilişkisi

Olasılıkçının Hermite polinomlarının dizisi de yineleme bağıntısını karşılar.

Bireysel katsayılar aşağıdaki özyineleme formülü ile ilişkilidir:

ve bir 0,0 = 1 , bir 1,0 = 0 , bir 1,1 = 1 .

Fizikçinin polinomları için,

sahibiz

Bireysel katsayılar aşağıdaki özyineleme formülü ile ilişkilidir:

ve bir 0,0 = 1 , bir 1,0 = 0 , bir 1,1 = 2 .

Hermite polinomları bir Appell dizisi oluşturur , yani bunlar özdeşliği sağlayan bir polinom dizisidir.

Eşdeğer olarak, Taylor-genişlemesine göre ,

Bunlar umbral kimlikler aşikar ve vardır dahil içinde diferansiyel operatör temsil , aşağıda ayrıntıları

Sonuç olarak, için m inci türevleri, aşağıdaki ilişkileri sahip:

Hermite polinomları da yineleme bağıntısını sağlar.

Bu son ilişkiler, ilk polinomlar H 0 ( x ) ve H 1 ( x ) ile birlikte , polinomları hızlı bir şekilde hesaplamak için pratikte kullanılabilir.

Turán eşitsizliği vardır

Ayrıca, aşağıdaki çarpma teoremi geçerlidir:

açık ifade

Fizikçinin Hermite polinomları açıkça şu şekilde yazılabilir:

Bu iki denklem, kat fonksiyonu kullanılarak tek bir denklemde birleştirilebilir :

Probabilist en Hermite polinomları O gücü değiştirerek bu elde edilebilir içindeki formüllere sahiptir, 2 x karşılık gelen güç ile 2 x ve tamamını toplamı çarpılması 2 - n/2:

Ters açık ifade

Probabilist en Hermite polinomlar açısından monomials için olanlar, yukarıdaki açık ifadelerin ters, O vardır

Fizikçinin Hermite polinomları H için karşılık gelen ifadeler, bunu uygun şekilde ölçeklendirerek doğrudan takip eder:

oluşturma işlevi

Hermite polinomları, üstel üretici fonksiyon tarafından verilir.

Bu eşitlik, x ve t'nin tüm karmaşık değerleri için geçerlidir ve ze z 2 (fizikçinin durumunda) tüm fonksiyonunun x noktasında Taylor açılımı yazılarak elde edilebilir . Hermite polinomlarını şu şekilde yazmak için Cauchy'nin integral formülünü kullanarak (fizikçinin) üreten işlevi de türetilebilir.

Bunu toplamda kullanmak

artıklar hesabını kullanarak kalan integrali değerlendirebilir ve istenen üretici fonksiyona ulaşabilir.

Beklenen değerler

Eğer X, a, rastgele değişken bir ile normal dağılım standart sapma 1 ve beklenen değer ile u , daha sonra

Standart normalin momentleri (beklenen sıfır değeri ile) çift indeksler için doğrudan ilişkiden okunabilir:

nerede (2 n − 1)!! olan çift faktöryel . Yukarıdaki ifadenin, olasılıkçının Hermite polinomlarının momentler olarak temsilinin özel bir durumu olduğuna dikkat edin:

asimptotik genişleme

Asimptotik olarak, n → ∞ olarak , genişleme

doğru tutar. Daha geniş bir değerlendirme aralığına ilişkin belirli durumlar için, genliği değiştirmek için bir faktörün dahil edilmesi gerekir:

hangi, Stirling'in yaklaşımı kullanılarak , limitte daha da basitleştirilebilir,

Bu genişleme, bir kuantum harmonik osilatörün dalga fonksiyonunu , denklik ilkesinin limitindeki klasik yaklaşımla uyumlu olacak şekilde çözmek için gereklidir .

Frekanstaki değişimi açıklayan daha iyi bir yaklaşım şu şekilde verilir:

Kenarlara yakın sıfırların eşit olmayan aralıklarını hesaba katan daha ince bir yaklaşım, ikameyi kullanır.

hangisinin tekdüze yaklaşıma sahip olduğu

Benzer yaklaşımlar monoton ve geçiş bölgeleri için de geçerlidir. Özellikle, eğer

sonra

süre

ile T kompleksi ve sınırlı, tahmini olduğu

burada Ai , birinci türün Havadar işlevidir .

Özel değerler

Fizikçinin sıfır bağımsız değişkeni H n (0)' da değerlendirilen Hermite polinomlarına Hermite sayıları denir .

H n (0) = -2( n − 1) H n − 2 (0) yineleme bağıntısını sağlayan .

Olasılıkçının polinomları açısından bu şu anlama gelir:

Diğer işlevlerle ilişkiler

Laguerre polinomları

Hermite polinomları, Laguerre polinomlarının özel bir hali olarak ifade edilebilir :

Birleşen hipergeometrik fonksiyonlarla ilişkisi

Fizikçinin Hermite polinomları, parabolik silindir fonksiyonlarının özel bir durumu olarak ifade edilebilir :

içinde sağ yarı düzlemde , U ( a , b , z ) olan Tricomi en konfluent hipergeometrik işlevi . Benzer şekilde,

burada 1 F 1 ( a , b ; z ) = K ( a , b ; Z ) olduğu Kummer konfluent hipergeometrik işlevi .

Diferansiyel operatör gösterimi

Olasılıkçının Hermite polinomları özdeşliği sağlar

burada D , x'e göre farklılaşmayı temsil eder ve üstel , bir kuvvet serisi olarak genişletilerek yorumlanır . Bu serinin polinomlar üzerinde çalıştığı zaman, sonlu terimlerin çoğu hariç tümü ortadan kalktığı için, bu serinin yakınsaklığıyla ilgili hassas bir soru yoktur.

Üstellerin kuvvet serisi katsayıları iyi bilindiğinden ve tek terimli x n'nin yüksek dereceli türevleri açıkça yazılabileceğinden, bu diferansiyel operatör gösterimi, kullanılabilecek H n katsayıları için somut bir formül ortaya çıkarmaktadır. Bu polinomları hızlı bir şekilde hesaplamak için.

İçin resmi ifade yana Weierstrass'ın dönüşümü W olan E D 2 biz Weierstrass'ın dönüşümü görüyoruz ( 2 ) n- He N (x/2) Olan X , n . Esasen Weierstrass dönüşümü böylece bir dizi Hermite polinomunu karşılık gelen bir Maclaurin serisine dönüştürür .

He n ( x ) = g ( D ) x n olacak şekilde sıfırdan farklı sabit katsayılı g ( D ) bazı formal kuvvet serilerinin varlığı, bu polinomların bir Appell dizisi oluşturduğu ifadesine bir başka eşdeğerdir . Bunlar bir Appell dizisi olduklarından, a fortiori a Sheffer dizisidir .

Kontur-integral gösterimi

Yukarıda üreten fonksiyonlu temsil kaynaktan, Hermite polinomlar açısından bir dağılıma sahip olduğunu görmek için kontur integrali olarak,

orijini çevreleyen kontur ile.

genellemeler

Yukarıda tanımlanan olasılıkçının Hermite polinomları, yoğunluk fonksiyonu olan standart normal olasılık dağılımına göre ortogonaldir.

beklenen değeri 0 ve varyansı 1 olan

Ölçekleme, genelleştirilmiş Hermite polinomlarından benzer şekilde söz edilebilir.

varyansı α , burada α herhangi bir pozitif sayıdır. Bunlar daha sonra yoğunluk fonksiyonu olan normal olasılık dağılımına göre ortogonaldir.

onlar tarafından verilir

Şimdi eğer

Daha sonra, polinom sekansı olan N inci terimdir

iki polinom dizisinin umbral bileşimi olarak adlandırılır . Kimlikleri tatmin etmek için gösterilebilir

ve

Son özdeşlik, bu parametreli polinom dizileri ailesinin çapraz dizi olarak bilindiği söylenerek ifade edilir . (Appell dizileri ve diferansiyel operatör gösterimi ile ilgili yukarıdaki bölüme bakın , bu onun hazır bir türevine yol açar. α = β = için bu binom tipi özdeşlik1/2, #Recursion ilişkileri ile ilgili yukarıdaki bölümde zaten karşılaşıldı .)

"Olumsuz varyans"

Polinom dizileri , umbral kompozisyon işlemi altında bir grup oluşturduğundan , şu şekilde gösterilebilir:

benzer şekilde gösterilene ters olan, ancak eksi işareti olmayan ve dolayısıyla negatif varyanslı Hermite polinomlarından bahseden dizi. İçin a> 0 , katsayılarının karşılık gelen katsayılar sadece mutlak değerler .

Bunlar normal olasılık dağılımları anları olarak ortaya: n beklenen değerle normal dağılımın inci anı μ ve varyansı σ 2 isimli

burada X , belirtilen normal dağılıma sahip rastgele bir değişkendir. Çapraz dizi kimliğinin özel bir durumu daha sonra şunu söyler:

Uygulamalar

Hermit fonksiyonları

Bir tanımlayabilirsiniz Hermite fonksiyonları fizikçi polinom (genellikle denilen Hermite-Gauss fonksiyonları):

Böylece,

Bu fonksiyonlar ağırlık fonksiyonunun karekökünü içerdiğinden ve uygun şekilde ölçeklendirildiğinden ortonormaldir :

ve ortonormal bir formu L 2 ( R ) . Bu gerçek, Hermite polinomları için karşılık gelen ifadeye eşdeğerdir (yukarıya bakın).

Hermite fonksiyonları, Whittaker fonksiyonu ile yakından ilişkilidir ( Whittaker & Watson 1996 ) D n ( z ) :

ve böylece diğer parabolik silindir fonksiyonlarına .

Hermite fonksiyonları diferansiyel denklemi sağlar

Bu denklem, kuantum mekaniğinde harmonik bir osilatör için Schrödinger denklemine eşdeğerdir , dolayısıyla bu fonksiyonlar özfonksiyonlardır .

Hermite fonksiyonları: 0 (mavi, düz), 1 (turuncu, kesikli), 2 (yeşil, noktalı), 3 (kırmızı, noktalı), 4 (mor, düz) ve 5 (kahverengi, kesikli)
Hermite fonksiyonları: 0 (mavi, düz), 2 (turuncu, kesikli), 4 (yeşil, noktalı) ve 50 (kırmızı, düz)

özyineleme ilişkisi

Hermite polinomlarının özyineleme bağıntılarını takiben, Hermite fonksiyonları

ve

Rasgele ilk ilişki uzatılması m herhangi bir pozitif tam sayı için türevleri inci m için potansiyel

Bu formül , Hermite fonksiyonlarının herhangi bir türevini verimli bir şekilde hesaplamak için He n ve ψ n için tekrarlama ilişkileri ile bağlantılı olarak kullanılabilir .

Cramer eşitsizliği

Gerçek x için , Hermite fonksiyonları Harald Cramér ve Jack Indritz'e bağlı olarak aşağıdaki sınırı sağlar:

Fourier dönüşümünün özfonksiyonları olarak Hermite fonksiyonları

Hermite fonksiyonları ψ n ( x ) sürekli Fourier dönüşümü F'nin bir dizi özfonksiyonudur . Bunu görmek için, üreten fonksiyonun fizikçi versiyonunu alın ve e ile çarpın -1/2x 2 . Bu verir

Sol tarafın Fourier dönüşümü şu şekilde verilir:

Sağ tarafın Fourier dönüşümü şu şekilde verilir:

Sol ve sağ tarafların dönüştürülmüş versiyonlarında t'nin güçlerini benzer şekilde eşitlemek , sonunda

Hermite fonksiyonları ψ n ( x ) Bu şekilde bir ortonormal baz olan L 2 ( R ) , Fourier dönüşümü operatörü köşegenleştirir .

Hermite fonksiyonlarının Wigner dağılımları

Dağılım fonksiyonu arasında N inci düzey Hermite fonksiyonu ile ilişkili olan , n inci dereceden Laguerre polinom . Laguerre polinomları,

osilatöre giden Laguerre fonksiyonları

Tüm doğal tamsayılar n için , bunu görmek kolaydır.

burada xL 2 ( R , C ) fonksiyonunun Wigner dağılımı şu şekilde tanımlanır:

Bu, Hip Groenewold tarafından 1946'da doktora tezinde keşfedilen kuantum harmonik osilatör için temel bir sonuçtur . Faz uzayında kuantum mekaniğinin standart paradigmasıdır .

İki polinom ailesi arasında başka ilişkiler de vardır .

Katsayıların kombinatoryal yorumu

Varyans 1'in Hermite polinomunda He n ( x ) , x k katsayısının mutlak değeri , bir n - elemanının k singleton'a ayarlanmış (sırasız) bölümlerinin sayısıdır ven - k/2(sırasız) çiftler. Aynı şekilde, bir involutions sayısıdır , n , tam ile -eleman grubu k sabit nokta ya da başka bir deyişle, içerisinde eşleşmeleri sayısı tam bir grafik ile , n izin bu köşe k köşe gerçekten (ortaya, Hermite polinomları olan uygun bu grafiklerin polinomları ). Katsayıların mutlak değerlerinin toplamı, telefon numaraları olarak adlandırılan tekil ve çiftlere toplam bölme sayısını verir.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (dizi A000085 olarak OEIS ).

Bu kombinasyon yorumlama üstel tamamlamak için ilgili olabilir Çan polinomları olarak

burada tüm i > 2 için x ben = 0 .

Bu sayılar, Hermite polinomlarının özel bir değeri olarak da ifade edilebilir:

tamlık ilişkisi

Christoffel-Darboux formül Hermite polinomları için okuma

Ayrıca, yukarıdaki Hermite fonksiyonları için aşağıdaki tamlık özdeşliği dağılımlar anlamında da geçerlidir :

burada δ olan Dirac delta fonksiyonu , ψ n Hermite fonksiyonları ve δ ( X - Y ) temsil eden Lebesgue ölçümünü hattı üzerinde y = x de R 2 , yatay eksen üzerindeki uzantısının normal Lebesgue ölçümü olduğu şekilde normalize.

Bu dağılım kimliği , Mehler'in formülünde u → 1 alarak Wiener'i (1958) takip eder , −1 < u < 1 olduğunda geçerlidir :

genellikle ayrılabilir bir çekirdek olarak ifade edilir,

Fonksiyonu ( X , Y →) E ( x , y , u ) üzerinde iki değişkenli Gauss olasılık yoğunluğu R 2 olduğunda ise, u , 1'e yakın ait hattı çevresinde konsantredir y = x ve çok yayılmış o çizgi. Bunu takip ediyor

zaman f ve g sürekli ve kompakt desteklenir.

Bu verimler f vektörler bir dizi toplamı olarak Hermite fonksiyonları ifade edilebilir L 2 ( R ) , yani

Yukarıda için eşitlik kanıtlamak için E ( x , y , u ) , Fourier dönüşümü ve Gauss fonksiyonu sürekli kullanılır:

Hermite polinomu daha sonra şu şekilde temsil edilir:

H n ( x ) ve H n ( y ) için bu temsil ile açıkça görülmektedir ki,

ve bu, ikame altında Gauss çekirdeklerinin Fourier dönüşümünü tekrar kullanarak kimlik sonucunun istenen çözünürlüğünü verir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar