Hausdorff ölçüsü - Hausdorff measure

Gelen matematik , Hausdorff ölçü geleneksel kavramları bir genellemedir alanı ve hacmi tamsayı olmayan boyutları, özel olarak Fraktaller ve Haussdorf boyutları . Bu, Felix Hausdorff olarak adlandırılan ve her kümeye veya daha genel olarak herhangi bir metrik uzayda [0,∞] içinde bir sayı atayan bir tür dış ölçüdür . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sıfır boyutlu Hausdorff ölçüsü, kümedeki nokta sayısıdır (küme sonluysa) veya küme sonsuzsa ∞. Benzer bir şekilde, tek boyutlu Hausdorff ölçmek basit eğri olarak eğrinin uzunluğuna eşit, ve bir iki boyutlu Hausdorff ölçü Lebesgue ölçülebilir bir alt bölgesinin kümesinin alanı ile orantılıdır. Böylece, Hausdorff ölçüsü kavramı, Lebesgue ölçüsünü ve onun sayma, uzunluk ve alan kavramlarını genelleştirir . Ayrıca hacmi genelleştirir. Aslında, herhangi bir d  ≥ 0 için d -boyutlu Hausdorff ölçüleri vardır ve bu mutlaka bir tam sayı değildir. Bu ölçüler geometrik ölçü teorisinde temeldir . Harmonik analizde veya potansiyel teoride doğal olarak görünürler . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Tanım

Let bir olmak metrik uzay . Herhangi alt kümesi için , let , yani onun çapını göstermektedirler ${\görüntüleme stili (X,\rho )}$${\görüntüleme stili U\alt küme X}$${\displaystyle \mathrm {diam} \;U}$

${\displaystyle \operatöradı {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatöradı {diam} \emptyset :=0}$

Izin herhangi alt kümesi ve gerçek sayı. Tanımlamak ${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatöradı {diam} U_{i})^{d} :\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatöradı {diam} U_{i}<\delta \sağ\},}$

burada infimum tatmin edici by setlerinin tüm sayılabilir kapaklarının üzerindedir . ${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle \operatöradı {diam} U_{i}<\delta }$

Ne kadar büyük olursa , o kadar fazla set koleksiyonuna izin verildiğinden, infimum'un daha büyük olmamasına izin verildiğinden monoton artmaz . Böylece, var ama sonsuz olabilir. İzin vermek ${\ Displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\görüntüleme stili \delta }$${\görüntüleme stili \delta }$${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta } ^{d}(S).}$

Bunun bir dış ölçü olduğu görülebilir (daha doğrusu, bir metrik dış ölçüdür ). By Caratheodory uzantısı teoremi , bir σ-alanına kendi sınırlandırma Caratheodory-ölçülebilir kümeler bir ölçüsüdür. Bu adlandırılır - boyutlu Haussdorf tedbiri arasında . Nedeniyle için metrik dış ölçü özelliği, tüm Borel alt kümeleri olan ölçülebilir. ${\görüntüleme stili H^{d}(S)}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili S}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili H^{d}}$

Yukarıdaki tanımda, kaplamadaki kümeler keyfidir.

Bununla birlikte, örtü kümelerinin açık veya kapalı olmasını veya aynı sayıları, dolayısıyla aynı ölçüyü verecek normlu uzaylarda bile dışbükey olmasını isteyebiliriz . Gelen kaplama setleri kısıtlayan tedbirler değişebilir topları olmak ancak ölçülen setlerinin boyutu değişmez. ${\ Displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Hausdorff ölçülerinin özellikleri

Eğer d pozitif bir tamsayıysa, d boyutlu Hausdorff ölçüsünün, [0,1] ^d biriminin Lebesgue ölçüsünün 1 olacağı şekilde normalize edilen olağan d -boyutlu Lebesgue ölçüsünün yeniden ölçeklendirilmesi olduğuna dikkat edin . herhangi bir Borel seti E , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

burada α _d , d- top biriminin hacmidir ; Euler'in gama fonksiyonu kullanılarak ifade edilebilir.

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})^{d}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1) }}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}$

Açıklama . Bazı yazarlar, burada seçilenden biraz farklı bir Hausdorff ölçüsü tanımı benimserler, fark , Öklid uzayı durumunda Hausdorff d -boyutlu ölçüsünün Lebesgue ölçüsü ile tam olarak çakışacağı şekilde normalleştirilmesidir .

Hausdorff boyutuyla ilişkisi

En fazla bir için sonlu, sıfır olmayan bir değere sahip olabileceği ortaya çıktı . Yani, Hausdorff Ölçüsü, belirli bir boyutun üzerindeki herhangi bir değer ve belirli bir boyutun altındaki sonsuz için sıfırdır; bu, bir çizginin alanının sıfır olduğu ve bir 2B şeklin uzunluğunun bir anlamda sonsuz olduğu fikrine benzer. Bu, Hausdorff boyutunun birkaç olası eşdeğer tanımlarından birine yol açar: ${\görüntüleme stili H^{d}(S)}$${\görüntüleme stili d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup \left(\{d\geq 0 :H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}\sağ),}$

nereye götürüyoruz

${\displaystyle \inf \emptyset =\infty .}$

Bazı d için Hausdorff ölçüsünün sonlu ve sıfırdan farklı olması gerektiğinin garanti edilmediğine ve aslında Hausdorff boyutundaki ölçünün hala sıfır olabileceğine dikkat edin; bu durumda, Hausdorff boyutu hala sıfır ve sonsuz ölçüleri arasında bir bükülme noktası olarak hareket eder.

genellemeler

Olarak geometrik ölçü teorisi ve ilgili alanlarda, Minkowsky içeriği genellikle metrik ölçü alanının bir alt-kümesinin boyutunu ölçmek için kullanılır. Öklid uzayındaki uygun alanlar için, iki boyut kavramı, konvansiyonlara bağlı genel normalleştirmelere kadar çakışır. Daha doğrusu, bir alt kümesi Be söylenen -rectifiable bir görüntü ise sınırlı sette de bir altında Lipschitz fonksiyonu . ise , kapalı doğrultulabilir bir alt kümesinin boyutlu Minkowski içeriği , boyutlu Hausdorff ölçüsünün çarpımına eşittir ( Federer 1969 , Teorem 3.2.29). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\görüntüleme stili m<n}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$${\görüntüleme stili m}$

Gelen fraktal geometri , Hausdorff bazı Fraktaller boyuta sıfır veya sonsuz sahip boyutlu Hausdorff ölçü. Örneğin, düzlemsel Brown hareketinin görüntüsünün Hausdorff boyutu 2'ye sahip olduğu ve iki boyutlu Hausdorff ölçüsü sıfır olduğu neredeyse kesindir. Bu tür kümelerin "boyutunu" "ölçmek" için, matematikçiler Hausdorff ölçüsü kavramının aşağıdaki varyasyonunu dikkate aldılar: ${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili d}$

Ölçünün tanımında , herhangi bir monoton artan set fonksiyonunun tatmin edici olduğu yer ile değiştirilir.${\displaystyle (\operatör adı {diam} U_{i})^{d}}$${\displaystyle \phi (U_{i}),}$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Bu, Hausdorff ölçüsüdür ile göstergesi işlevi veya -Hausdorff ölçü. Bir boyutlu küme tatmin edebilir, ancak uygun bir ölçü fonksiyonu ile aşağıdakileri içerir: ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili\phi ,}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili S}$${\ Displaystyle H^{d}(S)=0,}$${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$${\görüntüleme stili \fi.}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{veya}}\quad \phi (t)=t^{2} \log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

İlki , Brownian yoluna ne zaman , ikincisi ise ne zaman konusunda neredeyse kesin olarak pozitif ve sonlu bir ölçü verir . ${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili n>2}$${\görüntüleme stili n=2}$

Ayrıca bakınız

• Hausdorff boyutu
• Geometrik ölçü teorisi
• ölçü teorisi
• Dış ölçü

Referanslar

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Ölçü Teorisi ve Fonksiyonların İnce Özellikleri , CRC Press.
• Federer, Herbert (1969), Geometrik Ölçü Teorisi , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1–2): 157–179, doi : 10.1007/BF01457179.
• Morgan, Frank (1988), Geometrik Ölçü Teorisi , Academic Press.
• Rogers, CA (1998), Hausdorff önlemleri , Cambridge Mathematical Library (3. baskı), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La boyut et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89 , doi : 10.4064/fm-28-1-81-89.

Dış bağlantılar

• Hausdorff boyutu en Matematik Ansiklopedisi
• Hausdorff önlem de Matematik Ansiklopedisi